LABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI	Politechnika Radomska Wydział Transportu
Temat ćwiczenia: Stabilność układów liniowych	Ćwiczenie nr:...............
Zespół nr:............. Grupa: Dnia: Rok akad.: 2	Skład zespołu: 1.Kołodziejczuk Dariusz 2.Najdyhor Marek 3.Sołoducha Arkadiusz

Zbadać stabilność układu zamkniętego, jeżeli transmisja układu otwartego wynosi:

K(s)=$\frac{\mathbf{10}}{\left( \mathbf{s + 1} \right)\left( \mathbf{0,1s + 1} \right)\mathbf{(0,2s + 1)}}$

Kryterium stabilności Nyquista jest to kryterium częstotliwościowe. Ma ono duże znaczenie w praktyce, gdyż umożliwia badanie stabilności układu zamkniętego, nawet w przypadku nieznajomości opisu matematycznego niektórych członów układu. W takich przypadkach eksperymentalnie określa się amplitudowo-fazowe charakterystyki oddzielnych członów, a następnie amplitudowo-fazowe charakterystyki układu otwartego.

Rysunek przedstawia układ regulacji, w którym K(s) oznacza transmisje układu otwartego.

Transmisja układu z rysunku w stanie zamkniętym, wyniesie:

G(s)=$\frac{K(s)}{1 + K\left( s \right)} = \frac{L0(s)}{L0(s) + M0\left( s \right)}$

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego ma zatem postać:

L₀(s)+M₀(s)=0

Można zatem napisać:

1+K(s)=$\ \frac{L0\left( s \right) + M0(s)}{M0(s)}$

Jeżeli układ zamknięty jest stabilny, to pierwiastki równania charakterystycznego znajdują się w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.

Logarytmiczne kryterium Nyquista polega na badaniu charakterystyki L(ω) i ψ(ω) układu otwartego.

Z kryterium wynika warunek:

|Re K(jω_k)|<1

gdzie:

ω_k- częstotliwość, przy której

arg K(jω)=-π

Dla zbadania powyższych warunków, mając do dyspozycji logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe, należy sprawdzić, czy dla częstotliwości, przy której charakterystyka fazy osiąga wartość –π charakterystyka amplitudy ma wartość ujemną czy dodatnią.

Kryterium stabilności Hurwitza:

Aby był spełniony warunek konieczny i wystarczający stabilności muszą być spełnione następujące wymagania:

1* Wszystkie współczynniki są większe od 0: a₀>0,… a_n-1>0, a_n>0

2* Podwyznaczniki(minory) ∆₂, ∆₃,… ∆_n >0

Podwyznaczniki mają postać:

∆₁=a₂

∆₂=$\left| \begin{matrix} a2 & a3 \\ a0 & a1 \\ \end{matrix} \right|$

∆₃=$\left| \begin{matrix} a2 & a3 & 0 \\ a0 & a1 & a2 \\ 0 & 0 & a0 \\ \end{matrix} \right|$

Gdy wymnozymy:

(s+1)(0,1s+1)(0, 2s + 1)

otrzymujemy:

0,02s³+0,032s²+1,3s+1

Uwzględniając transmisję K(s) otrzymujemy :

$$M\left( s \right) = 1 + \frac{1}{0,02s^{3} + 0,32s^{2} + 1,3s + 1} = \frac{0,02s^{3} + 0,32s^{2} + 1,3s + 10 + 1}{0,02s^{3} + 0,32s^{2} + 1,3s + 1} = \frac{0,02s^{3} + 0,32s^{2} + 1,3s + 11}{0,02s^{3} + 0,32s^{2} + 1,3s + 1} = 0$$

Zatem współczynniki równania mają postać:

a₀=11

a₁=1,3

a₂=0,32

a₃=0,02

1* warunek Hurwitza jest spełniony:

a₀=11>0,a₁=1,3>0,a₂=0,32>0,a₃=0,02>0

2* warunek Hurwitza jest spełniony:

∆₁=a₂=1,3 >0

∆₂=$\left| \begin{matrix} 0,32 & 0,02 \\ 11 & 1,3 \\ \end{matrix} \right|$=0,196 >0

∆₃=$\left| \begin{matrix} 0,32 & 0,02 & 0 \\ 11 & 1,3 & 0,32 \\ 0 & 0 & 11 \\ \end{matrix} \right|$=2,156 >0

Podwyznaczniki ∆₂ i ∆₃ są większe od 0.

Spełnione są warunki Kryterium Hurwitza, więc układ zamknięty jest stabilny.