Laboratorium Podstaw Fizyki

Numer ćwiczenia 1

Temat ćwiczenia : Wyznaczanie momentu bezwładności ciał metodą wahadła fizycznego i sprawdzenie twierdzenia Steinera

Nazwisko i imię prowadzącego kurs : Dr inż. Adam Sieradzki

Wykonawca:
Imię i nazwisko Nr indeksu, wydział	Magdalena Kaleta 217319, Wydział Chemiczny
Termin zajęć: dzień tygodnia, godzina	Wtorek, 17:05-18:45
Numer grupy zajęciowej:	FZP002080L
Data oddania sprawozdania:	16.06.2015
Ocena końcowa:

Zatwierdzam wyniki pomiarów.

Data i podpis prowadzącego zajęcia:.........................................................................................

Adnotacje dotyczące wymaganych poprawek oraz daty otrzymania poprawionego sprawozdania.

1.Wstęp:

Głównym celem tego doświadczenia jest potwierdzenia twierdzenia Steinera. Oprócz tego wyznaczamy moment bezwładności tarczy z otworami względem osi środkowej i osi obrotu .

Przyrządy potrzebne do wykonania doświadczenia :

• Stojak z metalową pryzmą do zawieszania badanych ciał

• Tarcza metalowa z symetrycznie wyciętymi otworami w różnych odległościach od środka masy tarczy

• Metalowy pierścień

• Pręt metalowy

• Waga laboratoryjna

• Suwmiarka

• Stoper

2.Wyniki pomiarów i ich opracowanie

Tabelki dla pomiarów średnic oraz dla czasu 50 wahnięć sześciu różnych średnic.

Nr pomiaru	d1[cm]	d2[cm]	d3[cm]	d4[cm]	d5[cm]	d6[cm]
1	7,00	4,50	6,40	7,50	5,00	2,45
2	7,00	4,50	6,41	7,50	4,95	2,46
3	6,95	4,45	6,40	7,49	5,00	2,45
$$\overset{\overline{}}{\mathbf{d}}$$	6,98	4,48	6,41	7,49	4,98	4,45
d[cm]	0,01
m[kg]	1,2224
m[kg]	0,0001

Wyznaczanie wartości średniej:

$$\overset{\overline{}}{d} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}d_{i}$$

$${\overset{\overline{}}{d}}_{2} = \frac{13,45}{3} = 4,48\lbrack cm\rbrack$$

Nr pomiaru	t1[s]	t2[s]	t3[s]	t4[s]	t5[s]	t6[s]
1.	35,01	34,19	34,74	34,48	34,14	37,24
2.	35,42	34,23	34,11	34,06	34,68	37,30
3.	38,36	34,75	34,36	35,01	33,95	38,92
4.	38,04	34,94	34,29	35,53	33,81	38,97
$$\overset{\overline{}}{\mathbf{t}}$$	36,71	34,53	34,38	34,77	34,15	38,11
δt	0,87	0,20	0,46	0,32	0,19	0,48
t	0,01
$$\mathbf{T =}\frac{\overset{\overline{}}{\mathbf{t}}}{\mathbf{n}}$$
T(okres)	0,7342	0,6906	0,6876	0,6954	0,6830	0,7622

Niepewność:

$$\delta t = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}\left( T_{sr} - T_{i} \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}}$$

$$\delta t_{1} = \sqrt{\frac{{(35,01 - 36,71)}^{2} + {(35,42 - 36,71)}^{2} + {(38,36 - 36,71)}^{2} + {(38,04 - 36,71)}^{2}}{4 \bullet 3}}$$

$$\delta t_{1} = \sqrt{\frac{2,89 + 1,66 + 2,72 + 1,77}{12}} = 0,87$$

Moment bezwładności tarczy względem określonej osi (wzór i przykład):

$$I_{d} = \frac{T^{2} \bullet m \bullet g \bullet d}{8\pi^{2}}$$

$$m\left\lbrack \text{kg} \right\rbrack,d\left\lbrack m \right\rbrack,g = 9,80665\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack,\ \pi = 3,14159$$

Dla d₁:

$$\text{Id}_{1} = \frac{T_{1}^{2} \bullet m \bullet g \bullet d_{1}}{8\pi^{2}}$$

$$\text{Id}_{1} = \frac{{0,7342}^{2} \bullet 1,2224 \bullet 9,80665 \bullet 0,0698}{8{\bullet 3,14159}^{2}}$$

$$\text{Id}_{1} = \frac{0,451043}{78,9568} = 5,712 \bullet 10^{- 3}$$

Tabelka do wykresu I_d od d².

Id1	0,005712	d1^2	0,00487
Id2	0,003243	d2^2	0,00200
Id3	0,004601	d3^2	0,00410
Id4	0,005499	d4^2	0,00561
Id5	0,003527	d5^2	0,00248
Id6	0,003924	d6^2	0,00198

Sprawdzenie twierdzenia Steinera

Obliczanie momenty bezwładności względem osi środkowej dla wszystkich wartości d

$$Io = I_{d} - m\frac{d^{2}}{4} = \frac{T^{2}\text{mgd}}{8\pi^{2}} - m\frac{d^{2}}{4}$$

$$\text{Io}_{1} = \ \text{Id}_{1} - m\frac{d_{1}^{2}}{4} = 0,005712 - 1,2224\frac{{0,0698}^{2}}{4} = 0,00422$$

$$\text{Io}_{2} = \ \text{Id}_{2} - m\frac{d_{2}^{2}}{4} = 0,003243 - 1,2224\frac{{0,0448}^{2}}{4} = 0,00263$$

$$\text{Io}_{1} = \ \text{Id}_{3} - m\frac{d_{3}^{2}}{4} = 0,004601 - 1,2224\frac{{0,0641}^{2}}{4} = 0,00334$$

$$\text{Io}_{1} = \ \text{Id}_{4} - m\frac{d_{4}^{2}}{4} = 0,005499 - 1,2224\frac{{0,0749}^{2}}{4} = 0,00378$$

$$\text{Io}_{1} = \ \text{Id}_{1} - m\frac{d_{1}^{2}}{4} = 0,003527 - 1,2224\frac{{0,0498}^{2}}{4} = 0,00276$$

$$\text{Io}_{1} = \ \text{Id}_{1} - m\frac{d_{1}^{2}}{4} = 0,003924 - 1,2224\frac{{0,0445}^{2}}{4} = 0,00332$$

Nr wartości C	C[m^2]	$$\overset{\overline{}}{C}$$	δC
1.	0,1364	0,1080	0,00792
2.	0,0849
3.	0,1080
4.	0,1220
5.	0,0894
6.	0,1072

Obliczanie C, następnie jej średniej wartości oraz niepewności:

$$C = T^{2}g\frac{d}{2} - \pi^{2}d^{2}$$

$$\overset{\overline{}}{C} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}C_{i}$$

$$\delta C = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}\left( C_{sr} - C_{i} \right)^{2}}{n\left( n - 1 \right)}}$$

Przykład obliczania C₁:

$$C_{1} = T_{1}^{2}g\frac{d_{1}}{2} - \pi^{2}d_{1}^{2}$$

$$C_{1} = \left( 0,7342 \right)^{2}9,80665\frac{0,0698}{2} - \left( 3,1415 \right)^{2}\left( 0,0698 \right)^{2} = 0,1364$$

Średnia:

$$\overset{\overline{}}{C} = \frac{0,6479}{6} = 0,1080$$

Niepewność:

$$\delta C = \sqrt{\frac{\left( 0,0284 \right)^{2} + \left( 0,0231 \right)^{2} + \left( 0 \right)^{2} + \left( 0,0140 \right)^{2} + \left( 0,0186 \right)^{2} + \left( 0,0008 \right)^{2}}{30}} = \sqrt{\frac{0,00188307}{30}} = 0,00792$$

Moment bezwładności I₀ tarczy względem osi środkowej:

$$I_{0} = \frac{\text{mC}}{4\pi^{2}} = 0,00334\lbrack kgm^{2}\rbrack$$

3. Wnioski.

Doświadczenie powiodło się, twierdzenie Steinera zostało potwierdzone, wyliczone C dla różnych średnic i okresów ma zbliżone wartości, które wynikają z niepewności pomiarów. Błędy spowodowane są złymi zaokrągleniami, wykonaniem błędnych pomiarów oraz niepewności przyrządów potrzebnych do wykonywania tego doświadczenia.