1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia był pomiar wydłużenia względnego drutu w funkcji temperatury oraz wyznaczenie liniowego współczynnika rozszerzalności cieplnej.

1. Uzyskane wyniki

Tabela 1

L0	ΔL0	t0	t	Δt	ΔT	ΔL	Δ(ΔL)
[m]	[m]	[°C]	[°C]	[°C]	[°C]	[m]	[m]
0,900	0,004	24,0	26,4	1,1	2,4	4*10^-5	1*10^-5
			35,8	1,2	11,8	20*10^-5
			47,1	1,2	23,1	41*10^-5
			65,0	1,2	41,0	73*10^-5
			85,3	1,3	61,3	109*10^-5
			104,0	1,4	80,0	131*10^-5
			118,9	1,4	94,9	169*10^-5
			138,6	1,5	114,6	210*10^-5

Tabela 2

$$\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}_{\mathrm{0}}}$$	$$\mathrm{\Delta}\left( \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}_{\mathrm{0}}} \right)$$	z wykresu	z regresji	$$\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{A}}$$
		α	α=A	Δα=ΔA
		[1/K]	[1/K]	[1/K]
4,4*10^-5	1,7*10^-5	199,8*10^-7	199,0*10^-7	5,4*10^-7
22*10^-5	4*10^-5
45,6*10^-5	6,2*10^-5
81,1*10^-5	1,5*10^-5
121*10^-5	2*10^-5
146*10^-5	2*10^-5
187,8 *10^-5	2*10^-5
233,3*10^-5	2,2*10^-5

Wykres 1

Miernik i dane:

Termometr cyfrowy YF-160A Δt = ± (0,3% + 1°C)

L₀ = 0,9 ± 0,004 [m] - początkowa długość drutu w temperaturze t₀

Δ(ΔL) = 0,01 [mm] - błąd pomiaru wydłużenia drutu

β - kąt nachylenia prostej na wykresie zależności względnego wydłużenia drutu od zmiany temperatury

1. Przykładowe obliczenia

Zmiana temperatury ΔT:

ΔT=t-t₀

ΔT₁=26,4-24,0=2,4 [°C]

Wydłużenie względne drutu $\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}_{\mathrm{0}}}$:

$\frac{\mathrm{}L_{1}}{\mathrm{L}_{\mathrm{0}}} = \frac{0,00004}{0,9} = 0,000044$

Współczynnik rozszerzalności liniowej α: [metoda trygonometryczna]

α=tgβ=y_B-y_A/x_B-x_A

Wybrane punkty na wykresie:

A(11,8; 0,000222222), B(61,3; 0,001211111)

A=(0,001211111-0,000222222)/(61,3-11,8)=1,99776*10^-5

Współczynnik kierunkowy (rozszerzalności liniowej) [metoda regresji liniowej]

A= α i wyraz wolny B dla równania prostej y=Ax±B:

Współczynnik kierunkowy i wyraz wolny prostej y=Ax+B w metodzie regresji liniowej wyznaczamy przy pomocy wzorów:

a

b , gdzie

Natomiast niepewności tych współczynników za pomocą wzorów:

∆a ∆b , gdzie

Współczynniki zostały wyliczone przy wykorzystaniu powyższych wzorów za pośrednictwem programu Regresja liniowa.

Współczynnik kierunkowy:

A=0,0000199

ΔA=0,00000054

Wyraz wolny:

B=-0,00001621

ΔB=0,00003499

Niepewność względnego wydłużenia drutu: [metoda różniczki zupełnej]

$$\left( \frac{L}{L_{0}} \right) = \left| - \frac{L}{L_{0}^{2}}*L_{0} \right| + \left| \frac{1}{L_{0}}*\left( L \right) \right|$$

$$\left( \frac{\text{ΔL}_{1}}{L_{0}} \right) = \left| - \frac{0,00004}{\left( 0,9 \right)^{2}}*0,1 \right| + \left| \frac{1}{0,9}*0,00001 \right| = 1,60494*10^{- 5}$$

1. Analiza uzyskanych wyników i wnioski:

Współczynnik rozszerzalności liniowej dla miedzi wynosi 1,6*10^-5 [1/K]. My, w naszych obliczeniach, dla drutu uzyskałyśmy współczynnik równy ~2*10^-5 [1/K]. Podejrzewamy, że drut był wykonany ze stopu miedzi z domieszką innych metali, więc wynik uzyskany przez nas jest z pewnym przybliżeniem prawidłowy.

Głównym problemem podczas pomiarów były zmienne wskazania termometru i miernika wydłużenia drutu dla danego natężenia prądu (dla trzech ostatnich pomiarów). Po około 5 minutach od przyłożenia nowego (większego) natężenia, wskazania termometru, zamiast rosnąć, zaczynało oscylować w granicy nawet około 8°C (dla ostatniego pomiaru). Drut w tym czasie dosyć gwałtownie się ochładzał i rozgrzewał, zmieniając również swoją długość. W takich przypadkach starałyśmy się zanotować największe wskazanie termometru i towarzyszące mu wydłużenie. W tabeli 1 widać, że wpływ na wielkość błędu ma wpływ mierzona temperatura – im wyższa, tym większa niepewność pomiaru.

Porównując współczynnik rozszerzalności liniowej obliczony przy zastosowaniu metody trygonometrycznej ze współczynnikiem uzyskanym z regresji liniowej, możemy zaobserwować, że względne wydłużenie drutu w funkcji przyrostu temperatury jest rzeczywiście zależnością liniową – oba współczynniki mają bardzo zbliżoną wartość.