Pole elektryczne

Ad 1. Pole elektrostatyczne: q const, v_q = 0

-Istnieje, kiedy ładunki się nie poruszają, nie ma pola magnetycznego

Ad 2. Pole elektryczne/przepływowe: v_q ≠ 0

-ładunki mogą się poruszać, pojawia się pole magnetyczne

Charakterystyka pola elektrostatycznego: bezwirowe, źródłowe, potencjalne.

Ad 1. Pole elektrostatyczne jest bezwirowe:

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = 0$$

-Pole elektryczne jest Wirowe, wirowość pola:

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = - \frac{d\Psi_{B}}{\text{dt}}$$

Ad 2. Pole elektrostatyczne jest polem źródłowym:

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{D}d\overrightarrow{s} = Q$$

Ad 3. Pole elektrostatyczne jest potencjalne (Praca nie zależy od drogi)

$$P = \oint_{}^{}\overrightarrow{F_{c}}d\overrightarrow{l} = 0$$

Siła Coulombowska

-Prawo coulomba:

$$F_{12} = \frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}}\ \frac{q_{1}q_{2}}{\left| r_{12} \right|^{3}}\overrightarrow{r_{12}}\text{\ \ }\left\lbrack N \right\rbrack$$

$$\varepsilon_{0} = 8.85 \bullet 10^{- 12}\ \left\lbrack \frac{F}{m} \right\rbrack$$

Natężenie pola elektrycznego

Def. (Stosunek wypadkowej siły coulombowskiej działającej na ładunek q₀ do wartości tego ładunku)

$$\overrightarrow{E} = \ \operatorname{}{\frac{F_{q_{0}}}{q_{0}}\ \left\lbrack \frac{V}{m} \right\rbrack;\ \ \ q_{0} > 0\ \ }$$

Od ładunku punktowego:

$$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \frac{q}{\left| \overrightarrow{r} \right|^{3}}\overrightarrow{r}\ \left\lbrack \frac{V}{m} \right\rbrack\ $$

Potencjał elektryczny

Def. (Praca, jaką siła pola wykonuje przy przesunięciu ładunku q₀ od ∞ do punktu P)

$$\phi_{P} = - \int_{\infty}^{P}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}}\ \left\lbrack V \right\rbrack$$

P₀ = ∞;        ϕ_∞ = 0 − wartosc potencjalu w nieskonczonosci

Od ładunku punktowego.

$$\phi_{p} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \frac{q}{R}$$

Obliczanie potencjału z superpozycji.

$$\phi_{p} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \sum_{i = 1}^{N}\frac{q_{i}}{R_{i}}\left\lbrack V \right\rbrack$$

$$\phi_{p} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \int_{l}^{}\frac{\text{τ\ dl}}{r}\left\lbrack V \right\rbrack$$

$$\phi_{p} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \int_{s}^{}\frac{\sigma_{q}\text{\ ds}}{r}\left\lbrack V \right\rbrack$$

$$\phi_{p} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\ \frac{\rho_{v}\text{\ dv}}{r}\left\lbrack V \right\rbrack$$

Związek pomiędzy potencjałem i natężeniem pola elektrycznego $\overrightarrow{\mathbf{E}}$.

(Potencjał to jest pole skalarne, licząc gradient tego pola otrzymujemy natężenie pola.)

$$\overrightarrow{E} = - grad\ \phi\ $$

Twierdzenie Poissona i Laplace’a

Równanie Poissona:

$$\phi = \frac{- \rho_{v}}{\varepsilon_{0}}\ ;\ \ \ - laplasian\ skalarny$$

Równanie Laplacea, w tych miejscach przestrzeni, gdzie nie ma ładunku, ρ_v = 0

ϕ = 0

Rozwiązanie równania Poissona.

$$\phi_{p} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\int_{v}^{}\frac{\rho_{v}\text{\ dv}}{r}\ ;\ \phi_{\infty} = 0$$

Prawa Maxwella

Ad. 1 Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = - \frac{d\Psi_{B}}{\text{dt}}$$

Ad. 2 Prawo Gaussa

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{D}d\overrightarrow{s} = Q$$

Ad. 3 Równanie ciągłości

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{I}d\overrightarrow{s} = - \frac{\text{dQ}}{\text{dt}}$$

Cechy ładunku elektrycznego

Ad. 1 Skwantowanie

e = 1.6 • 10⁻¹⁹ [C]

Ad. 2 Niezmienność relatywistyczna (Niezależnie od prędkości wartość ładunku jest stała.)

q = q₀(v → c)

Ad. 3 Stałość ładunku. (Nie można zniszczyć tylko jednej formy ładunku.)

Rachunek operatorowy

Pole wektorowe – każdemu punktowi w przestrzeni przyporządkowana jest wielkość / funkcja wektorowa

$$\overrightarrow{E} - natezenie\ pola\ elektrycznego$$

$$\overrightarrow{D} - \text{indukcja\ pola\ elektrycznego}\ $$

$$\overrightarrow{H} - natezenie\ pola\ magnetycznego\ $$

$$\overrightarrow{B} - \ \text{indukcja\ pola\ magnetycznego}$$

$$\overrightarrow{J} - wektor\ gestosci\ pradu\ $$

Ad. 1 Operacje całkowe

$$\int_{l}^{}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}} - calka\ krzywoliniowa\ skierowana$$

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} - \ cyrkulacja,\ calka\ krzywoliniowa\ skierowana\ po\ drodze\ zamknietej$$

$$\int_{s}^{}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}} - calka\ powierzchniowa\ skierowana$$

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s} - calka\ powierzchniowa\ skierowana\ po\ powierzchni\ zamknietej$$

Ad. 2 Operacje różniczkowe

Dywergencja pola wektorowego

Def.

$$\text{\ div\ }\overrightarrow{E} = \ \operatorname{}{\frac{\oint_{\text{Δs}}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s}}{\text{ΔV}}\text{\ \ }}$$

W układzie kartezjańskim

$$\text{div\ }\overrightarrow{E} = \frac{\text{dEx}}{\text{dx}} + \ \frac{\text{dEy}}{dy} + \ \frac{\text{dEz}}{dz}$$

-, Jeśli otoczymy punkt, w którym jest ładunek, wtedy div ≠ 0

-, Jeśli ładunki są na zewnątrz, wtedy strumień wychodzący z takiej powierzchni zamkniętej Δs będzie równy 0

$$\overrightarrow{E} = \lbrack Ex,\ Ey,Ez\rbrack$$

$$\overrightarrow{\nabla} = \left\lbrack \frac{d}{\text{dx}},\ \frac{d}{dy},\ \frac{d}{dz} \right\rbrack - operator\ Nabla$$

$$\overrightarrow{\nabla} \bullet \overrightarrow{E} = \ div\ \overrightarrow{E}$$

- Dywergencja jest operację różniczkową, która danemu polu wektorowemu przyporządkowuje pewne nowe pole skalarne.

- Dywergencja służy do sprawdzania, czy dane pole ma źródła.

Rotacja pola wektorowemu

- przypisuje danemu polu wektorowemu, pewne nowe pole wektorowe

Def.

$$\text{rot\ }\overrightarrow{E} = \ \operatorname{}{\frac{\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}}{\text{ΔS}}\text{\ \ }}$$

Cyrkulacja służy do sprawdzania, czy dane pole jest polem wirowym, czy bezwirowym.

$$\text{rot\ }\overrightarrow{E} = \ \overrightarrow{\nabla} \times \overrightarrow{E}\ $$

$$\text{rot\ }\overrightarrow{E} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ \text{dx} & dy & dz \\ \text{Ex} & \text{Ey} & \text{Ez} \\ \end{matrix} \right| = \left( \frac{\text{dEz}}{dy} - \ \frac{\text{dEy}}{dz} \right)\overrightarrow{i} + \left( \frac{\text{dEx}}{dz} - \ \frac{\text{dEz}}{dx} \right)\overrightarrow{j} + \ \left( \frac{\text{dEy}}{dx} - \ \frac{\text{dEx}}{dy} \right)\overrightarrow{k}\ $$

Gradient pola skalarnego

- przypisuje danemu polu skalarnemu pewne nowe pole wektorowe.

$$grad\ \phi = \ \overrightarrow{\nabla}\ \phi\ ;\ \ \ \ \ \phi - funkcja\ skalarna$$

W układzie kartezjańskim

$$grad\ \phi = \ \frac{\text{dϕ}}{\text{dx}}\overrightarrow{i} + \ \frac{\text{dϕ}}{dy}\overrightarrow{j} + \ \frac{\text{dϕ}}{dz}\overrightarrow{k}$$

$$\nabla^{2}\phi = \ \text{Δϕ} = \ \frac{d^{2}\phi}{dx^{2}}\ + \ \frac{d^{2}\phi}{dy^{2}}\ + \frac{d^{2}\phi}{dz^{2}}\ \ ;\ \ \ \phi - funkcja\ skalarna\ $$

Laplasjan wektorowy

$$\Delta\overrightarrow{E} = \ \left( \frac{d^{2}\text{Ex}}{dx^{2}}\ + \ \frac{d^{2}\text{Ex}}{dy^{2}}\ + \frac{d^{2}\text{Ex}}{dz^{2}}\ \right)\overrightarrow{i} + \left( \frac{d^{2}Ey}{dx^{2}}\ + \ \frac{d^{2}Ey}{dy^{2}}\ + \frac{d^{2}Ey}{dz^{2}}\ \right)\overrightarrow{j} + \left( \frac{d^{2}Ez}{dx^{2}}\ + \ \frac{d^{2}Ez}{dy^{2}}\ + \frac{d^{2}Ez}{dz^{2}}\ \right)\overrightarrow{k}$$

Twierdzenie Stokesa

$$\oint_{l}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l} = \ \int_{s}^{}\text{rot\ E\ ds}\ $$

Twierdzenie Gausa – Ostrogradskiego – Greena

$$\oint_{s}^{}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{s} = \ \int_{v}^{}{\text{div}\ \overrightarrow{E}\text{\ d}v}$$

Tożsamości rachunku operatorowego

$$\text{div}\text{\ rot}\ \overrightarrow{E}\ \equiv 0$$

rot grad ϕ  ≡ 0

$$\text{rot}\text{\ rot\ }\overrightarrow{E} = grad\left( \ \text{rot\ }\overrightarrow{E}\ \right) - \ \Delta\overrightarrow{E}\ $$

$$\overrightarrow{A}\ \times \overrightarrow{B} = \ - \ \overrightarrow{B}\ \times \overrightarrow{A}$$