1. Treść zadania

Dla funkcji f(x)=sin²(x) w punktach {0, π/3, π/2, 3 π/4} wyznacz używając skryptów Octava (Matlaba) postać naturalnej funkcji sklejanej S₃ (wielomian trzeciego stopnia) dla zadanego zbioru punktów. Następnie wyznacz (znów używając skryptów) postać wielomianu interpolacyjnego P₃(x) metodą Newtona. Znając postacie funkcji S₃(x) i P₃(x) wykreśl za pomocą komendy plot błędy lokalne E₁(x)=abs(f(x)-P₃(x)) oraz E₂(x)=abs(f(x)-S₃(x)) i skomentuj rezultat. Wykreśl podane punkty oraz przebieg wyznaczonego wielomianu interpolacyjnego P₃(x), S₃(x) i funkcji f(x) używając komendy plot. Wydruk wykresy (wraz z kodem) dołącz do sprawozdania.

1. Wstęp teoretyczny

Interpolacja funkcjami sklejanymi – metoda numeryczna polegająca na przybliżaniu nieznanej funkcji wielomianami niskiego stopnia.

Dla przedziału <a, b>, zawierającego wszystkie n+1 węzły interpolacji, tworzy się m przedziałów:

takich, że 

i w każdym z nich interpoluje się funkcję wielomianem (raczej niskiego stopnia) interpolacyjnym.

"Sklejenie" tych wielomianów ma tworzyć funkcję sklejaną.

Funkcja sklejana S jest funkcją interpolującą funkcję F, jeżeli:

, dla  są węzłami interpolacyjnymi funkcji F.

1. Kod źródłowy

clc: close all; clear all;

x=[0 pi/3 pi/2 3*pi/4];

y=sin(x).^2;

S=nsfit(x,y);

N=length(x)-1;

H=diff(x);

D=diff(y)./H;

A=H(2:N-1);

B=2*(H(1:N-1)+H(2:N));

C=H(2:N);

U=6*diff(D);

for k=2:N-1

temp=A(k-1)/B(k-1);

B(k)=B(k)-temp*C(k-1);

U(k)=U(k)-temp*U(k-1);

end

M(N)=U(N-1)/B(N-1);

for k=N-2:-1:1

M(k+1)=(U(k)-C(k)*M(k+2))/B(k);

end

M(1)=0;

M(N+1)=0;

for k=0:N-1

S(k+1,1)=(M(k+2)-M(k+1))/(6*H(k+1));

S(k+1,2)=M(k+1)/2;

S(k+1,3)=D(k+1)-H(k+1)*(2*M(k+1)+M(k+2))/6;

S(k+1,4)=y(k+1);

end

xpom=linspace(x(1),x(4));

ypom=sin(xpom).^2;

x1=x(1):0.01:x(2); y1=polyval(S(1,:),x1-x(1));

x2=x(2):0.01:x(3); y2=polyval(S(2,:),x2-x(2));

x3=x(3):0.01:x(4); y3=polyval(S(3,:),x3-x(3));

[E,F]=newpoly(x,y);

n=length(x);

F=zeros(n,n);

F(:,1)=y';

for j=2:n

for k=j:n

F(k,j)=(F(k,j-1)-F(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));

end

end

E=F(n,n);

for k=(n-1):-1:1

E=conv(E,poly(x(k)));

m=length(E);

E(m)=E(m)+F(k,k);

end

yy=polyval(E,xpom);

Error1=abs(ypom-yy);

ypom1=sin(x1).^2;

ypom2=sin(x2).^2;

ypom3=sin(x3).^2;

E1=abs(ypom1-y1);

E2=abs(ypom2-y2);

E3=abs(ypom3-y3);

subplot(3,1,1);

hh1=plot(xpom,yy,'k-',x1,y1,x2,y2,x3,y3,'g:',xpom,ypom,'r-');

subplot(3,1,2);

hh2=plot(xpom,Error1,'k-');

title('błąd lokalny dla wielomianu Newtona')

subplot(3,1,3);

hh3=plot(x1,E1,x2,E2,x3,E3,'k-');

title('błąd lokalny dla funkcji sklejanych')

1. Wyniki obliczeń – wykresy.

1. Analiza wniosków.

Błędy lokalne wyszły nieduże. Największe błędy były na pierwszym przedziale. Z powyższych wykresów widać, że funkcje sklejane nieznacznie lepiej dopasowują się do badanej funkcji ponieważ na drugim oraz trzecim przedziale ich błąd lokalny wraz ze wzrostem wartości x maleje, dlatego jeżeli to możliwe należy stosować dopasowanie funkcjami sklejanymi.