Zestaw zadań rachunkowych

przygotowujących do pracy klasowej

ze światła i budowy atomu wodoru.

Materiał dla klas idących dalej kursem rozszerzonym. Jest tu 8 typów zadań o elementarnym stopniu trudności. Każde zadanie jest rozwiązane w formie przykładu, a następnie w nieco zmienionej postaci zaproponowane do przećwiczenia.

Zadanie 1. Oblicz długość fali światła jeśli jej częstotliwość wynosi 10¹⁴ Hz.

Rozw:

Wstępne wyjaśnienie dla tych, co zapomnieli z gimnazjum:

W przypadku fali częstotliwość f mówi ile pojedynczych fal (górka +dolina) przejdzie przez dany punkt w ciągu jednostki czasu.

Sumaryczna długość górki i doliny jest taka sama jak długość fali mierzona między wierzchołkami (patrz rysunek powyżej).

W ciągu czasu t fala przesunie się z punktu P o odległość s=vt .

Ile to jest długości fali?

.

Jeśli podzielimy to przez ilość jednostek czasu, czyli przez t, otrzymamy ile pojedynczych fal przechodziło na jednostkę czasu.

Ten wzór można też zapisać jako
.

A teraz właściwe rozwiązanie:

Prędkość światła to
(to trzeba wiedzieć!)

Zadanie 2. Oblicz częstotliwość fali światła, jeśli jej długość wynosi 3 10^-6 m.

Rozwiązania nie zamieszczam, bo jest to odwrócenie zadania 1.

Zadanie 3. Cząstka alfa ma dwa protony i dwa neutrony, stąd jej ładunek to +2e. Została rozpędzona napięciem 100 V. Ile uzyskała energii (w dżulach i elektronowoltach).

Rozwiązanie: Definicja wolta mówi:

Napięcie wynosi 1V gdy przy przepływie jednego kulomba z punktu do punktu wykonywana jest praca 1 J (czyli taka jak przy podniesieniu tabliczki czekolady o 1m).

Warto wiedzieć, że kulomb to ok. miliard razy więcej elektronów niż jest ludzi na Ziemi. Ludzi jest już 7 mld, ale niedawno było 6 mld i tę liczbę wykorzystamy.

1 kulomb to zatem około 6 miliardów miliardów elektronów.

Ta wiedza wystarcza do rozwiązania zadania.

1 elektron rozpędzony 1 woltem uzyskuje 1eV. Jeden elektron rozpędzony przez 100 V uzyska więc 100 eV. W takim razie dwa uzyskają 200 eV. Można to ująć wzorem:

E=qU=2e 100V=200 eV

Zamienimy to na dżule. 1 elektron jest 6 miliardów miliardów mniejszy od kulomba. W takim razie energia dostarczana mu przez 1 V jest tyle samo razy mniejsza niż dostarczana 1 kulombowi.

Stąd:

200 eV to w takim razie:

Zadanie 4. Jaki ładunek w elektronach miała cząstka jeśli rozpędzona napięciem 200 V uzyskała energię
.

Jest to odwrócenie zadania poprzedniego, więc polecam samodzielne dojście do odpowiedzi. Trzeba wszystkie czynności przeprowadzić wstecz.

Zadanie 5. Ile energii ma w dżulach i elektronowoltach elektron o prędkości 100 m/s. Masa elektronu to około 10^-30 kg.

Rozwiązanie: Chodzi tu oczywiście o energię kinetyczną, czyli związaną z ruchem, której ilość łatwo wyliczyć wykorzystując wzór:

Teraz trzeba przejść na jednostki używane w mikroświecie czyli elektronowolty. Jak już wcześniej mówiliśmy dżul jest 6 mld mld razy większy od eV ( bo tak samo jest z kulombem i elektronem).

Zatem:

Widać, że w takim razie ten elektron został rozpędzony napięciem zaledwie 0,000 000 03 V.

Zadanie 6. Oblicz prędkość elektronu o energii
.

Jest to odwrócenie zadania poprzedniego. Odpowiedź jest już zatem znana. Radzę w ramach przygotowań do sprawdzianu dojść do niej samemu. Kto tego nie przećwiczy w domu, na sprawdzianie na pewno nie da rady.

Zadanie 7. Elektron pochłonął foton o energii 10 eV dzięki czemu wyskoczył z metalu z prędkością 100 m/s. Ile wynosiła praca wyjścia z tego metalu?

Rozwiązanie: Skoro dostał 10 eV, a wyskoczył z prędkością 100 m/s, to znaczy, że zostało mu tylko
energii. (Nie będziemy drugi raz tej końcowej energii obliczać skoro zrobiliśmy to w zadaniu 5. Na klasówce tak dobrze być nie musi.)

Czemu tak mało energii zostało? Bo część została zużyta podczas wychodzenia elektronu na powierzchnię metalu. Energia, która została elektronowi ma postać energii kinetycznej. Zapisać to możemy wzorem:

E_k = hf - W

gdzie hf jest energią fotonu, a W pracą wyjścia.

Zatem: W= hf- E_k=10 eV - 0,000 000 03 eV = 9,999 999 97 eV

Zadanie 8. Praca wyjścia wynosi 9,999 999 97 eV. Oblicz energię fotonu jeśli pochłonąwszy go elektron wyskoczył z prędkością 100 m/s.

To znowu jest zadanie postawione w drugą stronę, by każdy mógł sprawdzić swoje siły.

Zadanie 9.

Foton ma długość fali 3 10^-6 m. Oblicz jego energię w eV i J. Stała Plancka h=6, 62 10^-34 Js

Rozwiązanie:

Skorzystaliśmy tu z wykonanego w zadaniu 1 obliczenia częstotliwości.

Zamieniamy teraz na eV. Pamiętamy, że w dżulu jest 6 mld mld eV.

Jest to zatem foton podczerwony. Widzialne maja energię od ok. 1,5 do 3 eV.

Zadanie 10. Energia fotonu to 0,3972 eV. Jaką ma długość fali?

Pozostawiam do samodzielnemu przećwiczenia..

Zadanie 11. Oblicz energię fotonu, który wysyła elektron spadając w atomie wodoru z orbity 3 na 2.

Rozwiązanie:

Pamiętamy, że na orbicie drugiej energia wynosi -13,6 eV/2², a na trzeciej -13,6 eV/3². Energia jest ujemna, bo umówiono się, że stojący nieruchomo poza atomem elektron ma energię zerową. Skoro wpadłszy do atomu, nie jest sam w stanie z niego wyjść, więc ma brak energii, czyli energie ujemną. Na drugiej orbicie brakuje mu 13,6 eV/2²

Na trzeciej orbicie ma mniejszy brak energii, ale spadając na drugą go pogłębi. Przy tym wyśle w postaci światła energię:

Zadanie 12. Proponuję samodzielnie zrobić to samo dla przejścia elektronu z orbity 6 na 5.

Zadanie 13. Oblicz długość fali elektronu na drugiej orbicie wiedząc, że promień pierwszej to 0,5 Å.

Rozwiązanie:

Promień drugiej orbity jest 4 razy większy od pierwszej, zgodnie ze wzorem:

Czyli wynosi 2 Å. Długość drugiej orbity to 2 r = 4 Å . Mieszczą się na niej dwie długości fali elektronu. Zatem jedna to 2 Å, czyli około 6 Å.

Zadanie 14. Proponuję obliczyć długość fali elektronu na trzeciej orbicie.

Zadanie 15. Oblicz, jaka prędkość musi mieć elektron by długość jego fali wynosiła 6 Å.

Rozwiązanie: przekształcamy wzór de Broglie'a na długość fali materii:

Uzyskujemy:

Podstawiamy wartości stałej Plancka i masy elektronu oraz żądaną długość fali.

Zadanie 16. Prędkość elektronu to 110 km/s. Oblicz jego długość fali.

Rozwiązanie do samodzielnego ćwiczenia.

---