Wydział Budowy Maszyn i Informatyki

Rok akademicki: 2010/2011

Studia: stacjonarne/inżynierskie

Semestr: 4

Kierunek: mechanika

PRACA DOMOWA NR 6

Dane:

- średnica zewnętrzna rury: D = 66 [mm];

- grubość ścianki rury: g = 8 [mm];

- długość całkowita: L = 1000 [mm];

- długość rury: l₁ = 453 [mm];

- grubość spoiny pachwinowej: a = 8 [mm];

- siły: P₁ = 4300 [N];  α = 14;     x₁ = 23 [mm];    y₁ = −45 [mm];

P₂ = 6100 [N];  β = 72 ;    x₂ = −36 [mm];  y₂ = 60 [mm].

Materiał rury:

Materiał dobrany na rurę to stal niestopowa konstrukcyjna wyższej jakości wg PN-75/H-84019 o znaku St3S o wartości R_e=235 MPa.

Spoina pachwinowa:

Na schemacie występują następujące zależności:

P₁ = P₁^′

P₁^″ = P₁ • cosα

P₁^‴ = P₁ • sinα

P₂ = P₂^‴

P₂^″ = P₂ • cosβ

P₂^′ = P₂ • sinβ

Suma rzutów sił na osie:

$$\sum_{}^{}{F_{\text{ix}} = P_{2}^{''} = P_{2} \bullet cos\beta = 6100 \bullet \cos 72} = 1885,003\ N \equiv P_{\text{tx}}$$

$$\sum_{}^{}{F_{\text{iy}} = {- P}_{1}^{''} = - P_{1} \bullet cos\alpha = - 4300 \bullet \cos 14} = - 4172,27\ N \equiv P_{\text{ty}}$$

$$\sum_{}^{}{F_{\text{iz}} = P_{1}^{'''} + P_{2}^{'} = P_{1} \bullet sin\alpha + P_{2} \bullet sin\beta = 4300 \bullet \sin 14 + 6100 \bullet \sin 72} = 6841,709\ N \equiv P_{\text{tz}}$$

Suma momentów sił względem osi:

$$\sum_{}^{}{M_{\text{ix}} = P_{2}^{'} \bullet y_{2} - P_{1}^{'} \bullet \text{cosα} \bullet L - P_{1}^{'} \bullet \text{sinα} \bullet y_{1} = P_{2} \bullet \text{sinβ} \bullet y_{2} + P_{1} \bullet \text{cosα} \bullet L - P_{1} \bullet sin\alpha \bullet y_{1} = = 6100 \bullet \sin 72 \bullet 0,060 + 4300 \bullet \cos 14 \bullet 1 - 4300 \bullet \sin 12 \bullet \left| - 0,045 \right| = = 4473,546\ \ Nm \equiv M_{\text{gx}}}$$

$$\sum_{}^{}{M_{\text{iy}} = P_{1}^{'''} \bullet x_{1} + P_{2}^{'''} \bullet L \bullet \text{cosβ} + P_{2}^{'''} \bullet \text{sinβ} \bullet x_{2} = P_{1} \bullet \text{sinα} \bullet x_{1} + P_{2} \bullet L \bullet \text{cosβ} + P_{2} \bullet \text{sinβ} \bullet x_{2} = 4300 \bullet \sin 24 \bullet 0,023 + 6100 \bullet 1 \bullet \cos 72 + 6100 \bullet \sin 72 \bullet \left| - 0,045 \right| = = 2069,929\ Nm \equiv M_{\text{gy}}}$$

$$\sum_{}^{}{M_{\text{iz}} = {- P}_{2}^{''} \bullet y_{2} - P_{1}^{''} \bullet x_{1} = - P_{2} \bullet \text{cosβ} \bullet y_{2} - P_{1} \bullet \text{cosα} \bullet x_{1} = = - 6100 \bullet \cos 72 \bullet 0,060 - 4300 \bullet \cos 14 \bullet 0,023 = - 209,062\ Nm \equiv M_{s}}$$

Moment gnący:

$$M_{g} = \sqrt{M_{\text{gx}}^{2} + M_{\text{gy}}^{2}} = \sqrt{\left( 4473,546 \right)^{2} + \left( 2069,929 \right)^{2}} = 4929,221\ \text{Nm}$$

Naprężenia:

$$\tau_{x} = \frac{\left| P_{\text{tx}} \right|}{A} = \frac{1885,003}{1859,822} = 1,014\ \text{MPa}$$

$$\tau_{y} = \frac{\left| P_{\text{ty}} \right|}{A} = \frac{\left| - 4172,27 \right|}{1859,822} = 2,243\ \text{MPa}$$

$$\tau_{s} = \frac{\left| M_{s} \right|}{W_{o}} = \frac{\left| - 209,062 \right|}{62825,710} = 3,328\ \text{MPa}$$

Pole przekroju spoiny:

$$A = \frac{\pi}{4} \bullet \left( \left( D + 2 \bullet a \right)^{2} - D^{2} \right) = \frac{\pi}{4} \bullet \left( \left( 66 + 2 \bullet 8 \right)^{2} - 66^{2} \right) = {1859,822\ \text{mm}}^{2}$$

Wskaźnik wytrzymałości:

$$W_{o} = \frac{I_{o}}{\frac{D + 2 \bullet a}{2}} = \frac{2755854,113}{\frac{66 + 2 \bullet 8}{2}} = 62825,710\ \text{mm}^{3}$$

Moment bezwładności:

$$I_{o} = \frac{\pi}{32} \bullet \left\lbrack \left( D + 2 \bullet a \right)^{4} - D^{4} \right\rbrack = \frac{\pi}{32} \bullet \left\lbrack \left( 66 + 2 \bullet 8 \right)^{4} - 66^{4} \right\rbrack = 2575854,113\ \text{mm}^{4}$$

$$\tau = \sqrt{\tau_{x}^{2} + \tau_{y}^{2}} = \sqrt{\left( 1,014 \right)^{2} + \left( 2,243 \right)^{2}} = 2,462\ \text{MPa}$$

$$\tau_{\text{wyp}} = \sqrt{\tau^{2} + \tau_{s}^{2} - 2 \bullet \tau \bullet \tau_{s} \bullet \text{cosϵ}} = \sqrt{{2,462}^{2} + {3,328}^{2} - 2 \bullet 2,462 \bullet 3,328 \bullet cos89,483} = = 4,289\ \text{MPa}$$

Wyznaczenie kątów:

$$\text{tgψ} = \frac{M_{\text{gy}}}{M_{\text{gx}}} = > \psi = \text{arctg}\frac{M_{\text{gy}}}{M_{\text{gx}}} = \text{arctg}\frac{2069,969}{4473,546} = 24,830$$

$$\text{tgδ} = \frac{\tau_{y}}{\tau_{x}} = > \delta = \text{arctg}\frac{\tau_{y}}{\tau_{x}} = \text{arctg}\frac{2,243}{1,014} = 65,687$$

ϵ = δ + ψ = 180 − (65, 687 + 24, 830)=89, 483

$$\sigma_{g}^{\left( \text{Mgx} \right)} = \frac{\left| M_{\text{gx}} \right|}{W_{o}} = \frac{4473,546}{62825,710} = 71,206\ \text{MPa}$$

$$\sigma_{g}^{\left( \text{Mgy} \right)} = \frac{\left| M_{\text{gy}} \right|}{W_{o}} = \frac{2069,969}{62825,710} = 32,957\ \text{MPa}$$

$$\sigma_{r} = \frac{P_{n}}{A} = \frac{6841,709}{1859,822} = 3,679\ \text{MPa}$$

σ_n = σ_g^(Mgx) + σ_g^(Mgy) + σ_r = 71, 206 + 32, 957 + 3, 679 = 107, 832 MPa

P_n = P_tz = 6841, 709 N

Naprężenie zredukowane w spoinie pachwinowej:

$$\sigma_{z} = \sqrt{\sigma_{n}^{2} + \tau_{\text{wyp}}^{2}} = \sqrt{\left( 107832 \right)^{2} + \left( 3,679 \right)^{2}} = 107,910\ \text{MPa}\ \leq \ k_{t} = 111,361\ \text{MPa}$$

$$k_{r} = \frac{R_{e}}{x_{e}} = \frac{235}{1,9} = 123,684\ \text{MPa}$$

k_t = s • k_r = 0, 9 • 123, 684 = 111, 361 MPa

Został tutaj uwzględniony współczynnik jakości i statycznej wytrzymałości spoiny: s = 0, 9, oraz współczynnik bezpieczeństwa x_e = 1, 9.

Warunek wytrzymałościowy dla spoiny pachwinowej o grubości a=8mm jest spełniony.

Spoina czołowa:

P₁ = P₁^′

P₁^″ = P₁ • cosα

P₁^‴ = P₁ • sinα

P₂ = P₂^‴

P₂^″ = P₂ • cosβ

P₂^′ = P₂ • sinβ

Suma rzutów sił na osie:

$$\sum_{}^{}{F_{\text{ix}} = P_{2}^{''} = P_{2} \bullet cos\beta = 6100 \bullet \cos 72} = 1885,003\ N \equiv P_{\text{tx}}$$

$$\sum_{}^{}{F_{\text{iy}} = {- P}_{1}^{''} = - P_{1} \bullet cos\alpha = - 4300 \bullet \cos 14} = - 4172,272\ N \equiv P_{\text{ty}}$$

$$\sum_{}^{}{F_{\text{iz}} = P_{1}^{'''} + P_{2}^{'} = P_{1} \bullet sin\alpha + P_{2} \bullet sin\beta = 4300 \bullet \sin 14 + 6100 \bullet \sin 72} = 6841,709\ N \equiv P_{\text{tz}}$$

Suma momentów sił względem osi:

$$\sum_{}^{}{M_{\text{ix}} = P_{2}^{'} \bullet y_{2} + P_{1}^{'} \bullet \text{cosα} \bullet l_{1} - P_{1}^{'} \bullet \text{sinα} \bullet y_{1} = P_{2} \bullet \text{sinβ} \bullet y_{2} + P_{1} \bullet \text{cosα} \bullet l_{1} - P_{1} \bullet sin\alpha \bullet y_{1} = = 6100 \bullet \sin 72 \bullet 0,060 + 4300 \bullet \cos 14 \bullet 0,453 - 4300 \bullet \sin 14 \bullet \left| - 0,045 \right| = = 2203,831\ \ Nm \equiv M_{\text{gx}}}$$

$$\sum_{}^{}{M_{\text{iy}} = - P_{1}^{'''} \bullet x_{1} + P_{2}^{'''} \bullet l_{1} \bullet \text{cosβ} - P_{2}^{'''} \bullet \text{sinβ} \bullet x_{2} = {- P}_{1} \bullet \text{sinα} \bullet x_{1} + P_{2} \bullet l_{1} \bullet \text{cosβ} - P_{2} \bullet \text{sinβ} \bullet x_{2} = - 4300 \bullet \sin 14 \bullet 0,023 + 6100 \bullet 0,453 \bullet \cos 72 - 6100 \bullet \sin 72 \bullet \left| - 0,045 \right| = = 1044,487\ \ Nm \equiv M_{\text{gy}}}$$

$$\sum_{}^{}{M_{\text{iz}} = {- P}_{2}^{''} \bullet y_{2} - P_{1}^{''} \bullet x_{1} = - P_{2} \bullet \text{cosβ} \bullet y_{2} - P_{1} \bullet \text{cosα} \bullet x_{1} = = - 6100 \bullet \cos 72 \bullet 0,060 - 4300 \bullet \cos 14 \bullet 0,023 = - 209,062\ Nm \equiv M_{s}}$$

Moment gnący:

$$M_{g} = \sqrt{M_{\text{gx}}^{2} + M_{\text{gy}}^{2}} = \sqrt{\left( 2203,831 \right)^{2} + \left( 1044,487 \right)^{2}} = 2438,816\ \text{Nm}$$

Naprężenia:

$$\tau_{x} = \frac{\left| P_{\text{tx}} \right|}{A} = \frac{1885,003}{1457,699} = 1,293\text{MPa}$$

$$\tau_{y} = \frac{\left| P_{\text{ty}} \right|}{A} = \frac{\left| - 4172,272 \right|}{1457,699} = 2,862\ \text{MPa}$$

$$\tau_{s} = \frac{\left| M_{s} \right|}{W_{o}} = \frac{\left| - 209,062 \right|}{78056,185} = 2,687\ \text{MPa}$$

Pole przekroju spoiny:

$$A = \frac{\pi}{4} \bullet \left( D^{2} - \left( D - 2 \bullet g \right)^{2} \right) = \frac{\pi}{4} \bullet \left( 66^{2} - \left( 66 - 2 \bullet 8 \right)^{2} \right) = {1457,699\ \text{mm}}^{2}$$

Wskaźnik wytrzymałości:

$$W_{o} = \frac{I_{o}}{\frac{D}{2}} = \frac{1249247,776}{\frac{66}{2}} = 78056,185\ \text{mm}^{3}$$

Moment bezwładności:

$$I_{o} = \frac{\pi}{32} \bullet \left\lbrack D^{4} - \left( D - 2 \bullet g \right)^{4} \right\rbrack = \frac{\pi}{32} \bullet \left\lbrack 66^{4} - \left( 66 - 2 \bullet 8 \right)^{4} \right\rbrack = 1249247,776\ \text{mm}^{4}$$

$$\tau = \sqrt{\tau_{x}^{2} + \tau_{y}^{2}} = \sqrt{\left( 1,293 \right)^{2} + \left( 2,862 \right)^{2}} = 3,114\ \text{MPa}$$

$$\tau_{\text{wyp}} = \sqrt{\tau^{2} + \tau_{s}^{2} - 2 \bullet \tau \bullet \tau_{s} \bullet \text{cosϵ}} = \sqrt{{3,114}^{2} + {2,287}^{2} - 2 \bullet 3,114 \bullet 2,687 \bullet \cos 88,955} = = 4,090\text{MPa}$$

Wyznaczenie kątów:

$$\text{tgψ} = \frac{M_{\text{gy}}}{M_{\text{gx}}} = > \psi = \text{arctg}\frac{M_{\text{gy}}}{M_{\text{gx}}} = \text{arctg}\frac{1044,487}{2203,831} = 25,368$$

$$\text{tgδ} = \frac{\tau_{y}}{\tau_{x}} = > \delta = \text{arctg}\frac{\tau_{y}}{\tau_{x}} = \text{arctg}\frac{2,862}{1,293} = 65,687$$

ϵ = δ + ψ = 180 − (65, 687 + 25, 368)=88, 955

$$\sigma_{g}^{\left( \text{Mgx} \right)} = \frac{\left| M_{\text{gx}} \right|}{W_{o}} = \frac{2203,831}{78054,185} = 28,234\ \text{MPa}$$

$$\sigma_{g}^{\left( \text{Mgy} \right)} = \frac{\left| M_{\text{gy}} \right|}{W_{o}} = \frac{1044,487}{78054,185} = 13,381\ \text{MPa}$$

$$\sigma_{r} = \frac{P_{n}}{A} = \frac{6841,709}{1457,699} = 4,694\ \text{MPa}$$

σ_n = σ_g^(Mgx) + σ_g^(Mgy) + σ_r = 28, 234 + 13, 381 + 4, 694 = 46, 309 MPa

P_n = P_tz = 6841, 709 N

Naprężenie zredukowane w spoinie czołowej:

$$\sigma_{z} = \sqrt{\sigma_{n}^{2} + 3 \bullet \tau_{\text{wyp}}^{2}} = \sqrt{\left( 46,309 \right)^{2} + 3 \bullet \left( 4,090 \right)^{2}} = 46,847\ \text{MPa}\ \leq \ k_{g} = 111,316\ \text{MPa}$$

$$k_{r} = \frac{R_{e}}{x_{e}} = \frac{235}{1,9} = 123,684\ \text{MPa}$$

k_g = s • k_r = 0, 9 • 214, 71 = 111, 316 MPa

Został tutaj uwzględniony współczynnik jakości i statycznej wytrzymałości spoiny: s = 0, 9, oraz współczynnik bezpieczeństwa x_e = 1, 9.

Warunek wytrzymałościowy dla spoiny czołowej o grubości g=8mm jest spełniony.