Teoria sprężystości i plastyczności zadania:
% Zad. 1.2.
clear all
clc
%Tensor naprężenia
T=[40 5 10;5 -20 15;10 15 30]
%Wektor normalny do płaszczyzny
n=[1/2;0;sqrt(3)/2]
%Obliczenie długosci wetrora normalnego n
sqrt(n'*n)
norm(n)
% Obliczenie współrzędnych wektora jednostkowego
% WEKTOR JEST JEDNOSTKOWY
%n=n/norm(n)
%Sprawdzenie długosci wektora normalnego n
%norm(n)
% Obliczenie współrzędnych wektora napręzenia w płaszczyźnie określonej
% przez wektor n
fn=T*n
%Obliczenie składowej normalnej wektora fn
sigma=(fn'*n)
sigma=dot(fn,n)
%Obliczenie składowej stycznej wektora fn
tau=sqrt(norm(fn)^2-sigma^2)
tau=sqrt(fn'*fn-sigma^2)
%Obliczenie kąta pomiedzy wektorami n i fn
alfa=acos((dot(fn,n))/(norm(n)*norm(fn)))*180/pi
alfa=acos(sigma/sqrt(fn'*fn))*180/pi
alfa=acos(sigma/norm(fn))*180/pi
% Zad. 1.3.
clear all
clc
%Tensor naprężenia
T=[120 -20 10;-20 30 0;10 0 -30]
% Macierz przejścia
A=[0 1/sqrt(2) 1/sqrt(2);1/sqrt(2) 1/2 -1/2;-1/sqrt(2) 1/2 -1/2]
%Sprawdzenie, czy macierz przejścia jest ortogonalna
A*A'
A'*A
%Obliczenie współrzędnych tensora naprężenia T w układzie x1', x2', x3'
Tprim=A*T*A'
format short
% Sprawdzenie niezmienników tensora przed i po transformacji
%(wyjściowy)
I1=T(1,1)+T(2,2)+T(3,3)
%(obrócony)
I1=Tprim(1,1)+Tprim(2,2)+Tprim(3,3)
I1=trace(T)
I1=trace(Tprim)
%(suma minorów)
I2=det(T([1 2],[1 2]))+det(T([1 3],[1 3]))+det(T([2 3],[2 3]))
I2=det(Tprim([1 2],[1 2]))+det(Tprim([1 3],[1 3]))+det(Tprim([2 3],[2 3]))
I3=det(T)
I3=det(Tprim)
% Zad. 1.4.
clear all
clc
%Tensor naprężenia
T=[110 -40 -20;-40 30 0;-20 0 -30]
% Obliczenie niezmiennikówstanu naprężeń
I1=trace(T)
I2=det(T([1 2],[1 2]))+det(T([1 3],[1 3]))+det(T([2 3],[2 3]))
I3=det(T)
%Obliczenie kierunków głównych za pomocą funkcji poly() i roosts()
%Tg - tensor główny
p=poly(T)
%obliczenie pierwiastków równiania
Tg=roots(p)
p=[1 -I1 I2 -I3]
Tg=roots(p)
%obliczenie kierunków głównych
T1=T-Tg(2,1)*eye(3)
n1=cross(T1(1,1:3),T1(2,1:3));
n1=n1/norm(n1)
T2=T-Tg(3,1)*eye(3)
n2=cross(T2(1,1:3),T2(2,1:3));
n2=n2/norm(n2)
T3=T-Tg(1,1)*eye(3)
n3=cross(T3(1,1:3),T3(2,1:3));
n3=n3/norm(n3)
%obliczenie kierunków i naprężeń głównychza pomocą funkcji eig()
[ng,Tg]=eig(T)
%Sprawdzenie, czy kierunki głónwe sa wzajemnie prostopadłe
% '-transpozycja
ng'*ng
%Porównanie niezmienników stanu napręzenia w układzie wyjściowym oraz w
%układzie osi głównych
I1
I1g=trace(Tg)
I2
I2g=det(Tg([1 2],[1 2]))+det(Tg([1 3],[1 3]))+det(Tg([2 3],[2 3]))
I3
I3g=det(Tg)
%obliczenie maksymalnych naprężeń stycznych
Taumax=(Tg(3,3)-Tg(1,1))/2
%Obliczenie naprężeń normalnych odpowiadających maksymalnym naprężeniom
%stycznym
Sigatumax=(Tg(3,3)-Tg(1,1))/2
%Określenie macierzy przejścia z układu osi głównych do układu wyjściowego
A=ng
%Transformacja tensora naprężenia z kierunków głównych do kierunków
%wyjściowych
T
T=A*Tg*A'
% Zad. 1.5.
clear all
clc
%Tensor naprężenia
T=[120 -20 10;-20 30 0;10 0 -30]
% Obliczenie naprężeń średnich (Sm)
Sm=1/3*trace(T)
%Obliczenie aksjatora tensora naprężenia
A=[Sm 0 0;0 Sm 0;0 0 Sm]
A=Sm*eye(3)
%obliczenie dewiatora tensora naprężenia
D=T-A
%obliczenie kierunków i naprężeń głównych dewiatora za pomocą funkcji eig()
[ng,Dg]=eig(D)
%Sprawdzenie, czy kierunki głónwe sa wzajemnie prostopadłe
% '-transpozycja
ng'*ng
% Zad. 1.6.
clear all
clc
%Aksjator tensora naprężenia
A=[40 0 0;0 40 0;0 0 40]
%Dewiator tensora naprężęnia
D=[60 30 -60;30 10 10;-60 10 -70]
% Obliczenie tensora naprężenia
T=A+D
%obliczenie kierunków i naprężeń głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Tg]=eig(T)
%Określenie macierzy przejścia z układu wyjściowego do układu do układu osi
%głównych
A=ng'
%Transformacja tensora naprężęnia z układu wyjściowego do układu osi głównych
Tg=A*T*A'
% Zad. 1.7+.
clear all
clc
%Tensora naprężenia
T=[40 5 10;5 -20 15;10 15 30]
%wektor normalny do płaszczyzny
n=[1/sqrt(3);1/sqrt(3);1/sqrt(3)]
%Sprawdzenie długości wektora normalnego n
norm(n)
%Obliczenie naprężeń średnich
Sm=1/3*trace(T)
%Oblicznie aksjatora i dewiatora tensora naprężenia
A=eye(3)*Sm
D=T-A
%obliczenie wektora naprężęń w płąszczyźnie o wektorze normalnym n dla
%tensora naprężenia oraz aksjatora i dewiatora tensora naprężenoia
ft=T*n
fa=A*n
fd=D*n
%Obliczenie składowej normalnej i stycznej dla poszczegółnych wektoróe naprężenia
sigma_t=dot(ft,n)
tau_t=sqrt(norm(ft)^2-sigma_t^2)
sigma_a=dot(fa,n)
tau_a=sqrt(norm(fa)^2-sigma_a^2)
sigma_d=dot(fd,n)
tau_d=sqrt(norm(fd)^2-sigma_d^2)
%Obliczenie kątów pomiędzy poszczególnymi wektorami naprężenia, a wektorem
%n
alfa_tn=acos(sigma_t/norm(ft))*180/pi
alfa_an=acos(sigma_a/norm(fa))*180/pi
alfa_dn=acos(sigma_d/norm(fd))*180/pi
Tg=A*T*A'
% Zad. 2.1.
clear all
clc
%Tensora naprężenia
T=[-80 -20 0;-20 160 0;0 0 0]
%obliczenie kierunków głównych za pomocą funkcji poly() i roots()
p=poly(T)
Tg=roots(p)
%obliczanie kierunków głównych
T1=T-Tg(3,1)*eye(3);
n1=cross(T1(1,1:3),T1(3,1:3));
n1=n1/norm(n1)
T2=T-Tg(1,1)*eye(3);
n2=cross(T2(1,1:3),T1(2,1:3));
n2=n2/norm(n2)
T3=T-Tg(2,1)*eye(3);
n3=cross(T3(1,1:3),T3(3,1:3));
n3=n3/norm(n3)
%obliczenie kierunków i naprężeń głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Tg]=eig(T)
%Sprawdzenie czy kierunki główne sa wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
%obliczyć maksymalnych naprężeń stycznych
Taumax=(Tg(3,3)-Tg(1,1))/2
%Porównanei niezmienników stanu napręzenia w układzie wyjściowym oraz
%układzie osi głównych
I1=trace(T)
I1g=trace(Tg)
I2=det(T([1 2],[1 2]))+det(T([1 3],[1 3]))+det(T([2 3],[2 3]))
I2g=det(Tg([1 2],[1 2]))+det(Tg([1 3],[1 3]))+det(Tg([2 3],[2 3]))
I3=det(T)
I3g=det(Tg)
%określenie macierzy przejści az układu osi głównych do układu wyjściowego
A=ng
%Transformacja tensora naprężenia z kierunków głównych do kierunków
%wyjściowych
T
T=A*Tg*A'
% Zad. 2.2.
clear all
clc
%Tensora naprężenia
Te=[0.007 0.004 0;0.004 0 0.002;0 0.002 -0.003]
%obliczenie kierunków i odkszta łeceń głównyhch za pomocą funkcji eig()
[ng,Teg]=eig(Te)
%Sprawdzenie czy kierunki główne sa wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
%Określenie maksymalnych odkształceń liniowych
Epmax=Teg(3,3)
%obliczenie maksymalnych odkształceń kątowych
Ep_gammax=(Teg(3,3)-Teg(1,1))/2
%obliczenie względnej zmiany objetości
Epv=Teg(1,1)+Teg(2,2)+Teg(3,3)
Epv=trace(Teg)
I1=trace(T)
I1o=trace(To)
I1g=trace(Tg)
I2=det(T([1 2],[1 2]))+det(T([1 3],[1 3]))+det(T([2 3],[2 3]))
I2o=det(To([1 2],[1 2]))+det(To([1 3],[1 3]))+det(To([2 3],[2 3]))
I2g=det(Tg([1 2],[1 2]))+det(Tg([1 3],[1 3]))+det(Tg([2 3],[2 3]))
I3=det(T)
I3o=det(To)
I3g=det(Tg)
% Zad. 2.3.
clear all
clc
%Tensora naprężenia
Te=[0.007 0.004 0;0.004 0 0.002;0 0.002 -0.003]
%obliczenie kierunków i odkszta łeceń głównyhch za pomocą funkcji eig()
[ng,Teg]=eig(Te)
%Sprawdzenie czy kierunki główne sa wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
%Określenie maksymalnych odkształceń liniowych
Epmax=Teg(3,3)
%obliczenie maksymalnych odkształceń kątowych
Ep_gammax=(Teg(3,3)-Teg(1,1))/2
%obliczenie względnej zmiany objetości
Epv=Teg(1,1)+Teg(2,2)+Teg(3,3)
Epv=trace(Teg)
% Zad. 2.4.
clear all
clc
%Tensora naprężenia
Te=[0.010 0.003 -0.006;0.003 0.005 0.001;-0.006 0.001 -0.003]
%obliczenie kierunków i odkształeceń głównyhch za pomocą funkcji eig()
[ng,Teg]=eig(Te)
%Sprawdzenie czy kierunki główne sa wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
%Porównanie niezmienników stanu odkształcenia w układzie wyjściowym oraz ukłądzie osi głównych
I1=trace(Te)
I1=trace(Teg)
I2=det(Te([1 2],[1 2]))+det(Te([1 3],[1 3]))+det(Te([2 3],[2 3]))
I2=det(Teg([1 2],[1 2]))+det(Teg([1 3],[1 3]))+det(Teg([2 3],[2 3]))
I3=det(Te)
I3=det(Teg)
%obliczenie maksymalnych odkształceń kątowych
Ep_gammax=(Teg(3,3)-Teg(1,1))/2
%obliczenie odkształceń liniowych odpowiadających maksymalnym
%odkształecenią kątowym
Ep=(Teg(3,3)-Teg(1,1))/2
%Obliczenie względnej zmiany objętości
Epv=Teg(1,1)+Teg(2,2)+Teg(3,3)
Epv=trace(Teg)
% Zad. 2.5.
clear all
clc
%Tensora naprężenia
Te=[0.0011 -0.0004 -0.0002;-0.0004 0.0003 0;-0.0002 0 -0.0003]
%obliczenie kierunków i odkształeceń głównyhch za pomocą funkcji eig()
[ng,Teg]=eig(Te)
%Sprawdzenie czy kierunki główne sa wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
%Obliczenie odkształczeń średnich
Em=1/3*trace(Te)
%Obliczenie aksjatora i dewiatara tensora odkształcenia
Ae=eye(3)*Em
De=Te-Ae
%obliczenie macierzy przejścia z układu wyjściowego do układu osi głównych
A=ng'
%Transformacja aksjatora odkształcenia do układu kierunków głównych
Ae_prim=A*Ae*A'
% Zad. 2.6.
clear all
clc
%Tensora odkształcenia
Te=[0.0011 -0.0005 0;-0.0005 0.0019 0;0 0 0]
%obliczenie kierunków głównych za pomocą funkcji poly() i roots()
p=poly(Te)
Teg=roots(p)
%obliczanie kierunków głównych
T1=Te-Teg(3,1)*eye(3);
n1=cross(T1(1,1:3),T1(3,1:3));
n1=n1/norm(n1)
T2=Te-Teg(1,1)*eye(3);
n2=cross(T2(1,1:3),T1(2,1:3));
n2=n2/norm(n2)
T3=Te-Teg(2,1)*eye(3);
n3=cross(T3(1,1:3),T3(3,1:3));
n3=n3/norm(n3)
%obliczenie kierunków i naprężeń głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Teg]=eig(Te)
%Sprawdzenie czy kierunki główne sa wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
%obliczyć maksymalnych odkształcenia postaciowe
Ep_gammax=(Teg(3,3)-Teg(1,1))/2
%Porównanei niezmienników stanu odkształcenia w układzie wyjściowym oraz
%układzie osi głównych
I1=trace(Te)
I1g=trace(Teg)
I2=det(Te([1 2],[1 2]))+det(Te([1 3],[1 3]))+det(Te([2 3],[2 3]))
I2g=det(Teg([1 2],[1 2]))+det(Teg([1 3],[1 3]))+det(Teg([2 3],[2 3]))
I3=det(Te)
I3g=det(Teg)
%określenie macierzy przejści z układu osi głównych do układu wyjściowego
A=ng
%Transformacja tensora odkształczenia z kierunków głównych do kierunków
%wyjściowych
Te
Te=A*Teg*A'
% Zad. 2.6.
clear all
clc
%Tensora odkształcenia
Te=[0.0011 -0.0005 0;-0.0005 0.0019 0;0 0 0]
%obliczenie kierunków głównych za pomocą funkcji poly() i roots()
p=poly(Te)
Teg=roots(p)
%obliczanie kierunków głównych
T1=Te-Teg(3,1)*eye(3);
n1=cross(T1(1,1:3),T1(3,1:3));
n1=n1/norm(n1)
T2=Te-Teg(1,1)*eye(3);
n2=cross(T2(1,1:3),T1(2,1:3));
n2=n2/norm(n2)
T3=Te-Teg(2,1)*eye(3);
n3=cross(T3(1,1:3),T3(3,1:3));
n3=n3/norm(n3)
%obliczenie kierunków i naprężeń głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Teg]=eig(Te)
%Sprawdzenie czy kierunki główne sa wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
%obliczyć maksymalnych odkształcenia postaciowe
Ep_gammax=(Teg(3,3)-Teg(1,1))/2
%Porównanei niezmienników stanu odkształcenia w układzie wyjściowym oraz
%układzie osi głównych
I1=trace(Te)
I1g=trace(Teg)
I2=det(Te([1 2],[1 2]))+det(Te([1 3],[1 3]))+det(Te([2 3],[2 3]))
I2g=det(Teg([1 2],[1 2]))+det(Teg([1 3],[1 3]))+det(Teg([2 3],[2 3]))
I3=det(Te)
I3g=det(Teg)
%określenie macierzy przejści z układu osi głównych do układu wyjściowego
A=ng
%Transformacja tensora odkształczenia z kierunków głównych do kierunków
%wyjściowych
Te
Te=A*Teg*A'
% Zad. 3.1.
clear all
clc
%Zdeklarowanie zmiennyvh, na których przeprowadzane będą obliczenia
%symboliczne
syms x1 x2 x3
%wektorowe pole przemieszczeń
u=[2*x1*x2;-2*x1*x3;3*x2*x3+x1]
%obliczenie gradientów przemieszczenia
uij=[diff(u(1),'x1') diff(u(1),'x2') diff(u(1),'x3');diff(u(2),'x1') diff(u(2),'x2') diff(u(2),'x3');diff(u(3),'x1') diff(u(3),'x2') diff(u(3),'x3')]
uji=[diff(u(1),'x1') diff(u(2),'x1') diff(u(3),'x1');diff(u(1),'x2') diff(u(2),'x2') diff(u(3),'x2');diff(u(1),'x3') diff(u(2),'x3') diff(u(3),'x3')]
%obliczenie tensorowego pola odkształcenia i pola obrotów za pomocą
%gradientów
Te=1/2*(uij+uji) – obliczenie tensora pola odkształcenia
O=1/2*(uij-uji) - obliczenie pola obrotów
%Obliczenie teserowego pola odkształceń i pola obrotów bez wcześniejszego
%obliczenia gradientów
Te=[diff(u(1),'x1') 1/2*(diff(u(1),'x2')+diff(u(2),'x1')) 1/2*(diff(u(1),'x3')+diff(u(3),'x1'));1/2*(diff(u(2),'x1')+diff(u('x2'))) diff(u(2),'x2') 1/2*(diff(u(2),'x3')+diff(u(3),'x2'));1/2*(diff(u(3),'x1')+diff(u(1),'x3')) 1/2*(diff(u(3),'x2')+diff(u(2),'x3'))) diff(u(3),'x3')]
O=[0 1/2*(diff(u(1),'x2')-(diff(u(2),'x1')) 1/2*diff(u(2),'x1')) 1/2*(diff(u(1),'x3')-diff(u(3),'x1'));
1/2*(diff(u(2),'x1')+diff(u('x2'))) diff(u(2),'x2') 1/2*(diff(u(2),'x3')+diff(u(3),'x2'));
1/2*(diff(u(3),'x1')+diff(u(1),'x3')) 1/2*(diff(u(3),'x2')+diff(u(2),'x3'))) diff(u(3),'x3')]
% Zad. 3.2.
clear all
clc
%Zdeklarowanie zmiennych, na których przeprowadzane będą obliczenia
%symboliczne
syms x1 x2 x3
%wektorowe pole przemieszczeń
u=[4-0.02*x1*x2*x3;6-0.01*x1*x2+0.015*x3;4+0.02*x3*x2-0.01*x1]
%obliczenie gradientów przemieszczenia
uij=[diff(u(1),'x1') diff(u(1),'x2') diff(u(1),'x3');diff(u(2),'x1') diff(u(2),'x2') diff(u(2),'x3');diff(u(3),'x1') diff(u(3),'x2') diff(u(3),'x3')]
uji=[diff(u(1),'x1') diff(u(2),'x1') diff(u(3),'x1');diff(u(1),'x2') diff(u(2),'x2') diff(u(3),'x2');diff(u(1),'x3') diff(u(2),'x3') diff(u(3),'x3')]
%obliczenie tensorowego pola odkształcenia
Te=1/2*(uij+uji)
%Podstawianie współrzędnych punktu A do tensora naprężenia
%A(1,2,1)
x1=1;
x2=2;
x3=1;
Te=subs(Te)
%Obliczenie kierunków odkształceń głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Teg]=eig(Te)
%Sprawdzenie, czy kierunki główne są wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
%Obliczenie maksymalnych co do wartosci odkształceń liniowych
Epmax=Teg(3,3)
%Obliczenie maksymalnych odkształceń postaciowych
Ep_gamamax=(Teg(3,3)-Teg(1,1))/2
%Obliczenie względne zmiany objętości
Epv=trace(Teg)
Równania fizyczne – stan odkształcenia
-> Znaleźć składowe stanu naprężenia
-> Znaleźć maksymalne co do wartości
Treść zadania:
stan odkształcenia w układzie x1, x2, x3 jest dany tensorem o składowych.
Znaleźć składowe stanu naprężenia
Znaleźć maksymalne co do wartości
% Zad. 3.3.
clear all
clc
%Tensor odkształcenia
Te=[15 2 10;2 -9 3;10 3 -2]*10^-5
%Moduł Younga i liczba Poissona
E=2*10^5
ni=0.3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Sposób 1 - obliczenie składowych stanu naprężenia za pomocą rozwinięcia
%zapisu wskaźnikowefo uogólnieonego prawa Hooke'a
i=1; j=1; T(i,j)=E/(1+ni)*(Te(i,j)+ni/(1-2*ni)*trace(Te)*(i==j));
i=1; j=2; T(i,j)=E/(1+ni)*(Te(i,j)+ni/(1-2*ni)*trace(Te)*(i==j));
i=1; j=3; T(i,j)=E/(1+ni)*(Te(i,j)+ni/(1-2*ni)*trace(Te)*(i==j));
i=2; j=1; T(i,j)=E/(1+ni)*(Te(i,j)+ni/(1-2*ni)*trace(Te)*(i==j));
i=2; j=2; T(i,j)=E/(1+ni)*(Te(i,j)+ni/(1-2*ni)*trace(Te)*(i==j));
i=2; j=3; T(i,j)=E/(1+ni)*(Te(i,j)+ni/(1-2*ni)*trace(Te)*(i==j));
i=3; j=1; T(i,j)=E/(1+ni)*(Te(i,j)+ni/(1-2*ni)*trace(Te)*(i==j));
i=3; j=2; T(i,j)=E/(1+ni)*(Te(i,j)+ni/(1-2*ni)*trace(Te)*(i==j));
i=3; j=3; T(i,j)=E/(1+ni)*(Te(i,j)+ni/(1-2*ni)*trace(Te)*(i==j))
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Sposób 2 - obliczenie składowych stanu naprężenia za pomocą macierzowego
%zapisu wskaźnikowefo uogólnieonego prawa Hooke'a
%Delta Kroneckera
dk=eye(3)
%obliczenie tensora naprężenia
T=E/(1+ni)*(Te+ni/(1-2*ni)*trace(Te)*dk)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Sposób 3 - obliczenie składowych stanu naprężenia za pomocą prawa zmiany
%objętości i postaci
%Obliczenie modułu Kirchoffa
G=E/(2*(1+ni))
%Obliczenie modułu Helmoheltza
K=E/(3*(1-2*ni))
%Obliczenie średnich odkształceń liniowych
Em=1/3*trace(Te)
%Obliczenie aksjatora i dewiatora tensora odkształcenia
Ae=Em*eye(3)
De=Te-Ae
%Obliczenie aksjatora tensora naprężenia
A=3*K*Ae
%Obliczenie dewiatora tensora napręzęnia
D=2*G*De
%Obliczenie tensora naprężenia
T=A+D
%Obliczenie kierunków głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Tg]=eig(T)
%Sprawdzenie, czy kierunki główne są wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
%Obliczenie masymalnych co do wartości naprężeń normalnych
Sigmax=Tg(3,3)
%Obliczenie maksymalnych naprężęń stycznych
Taumax=(Tg(3,3)-Tg(1,1))/2
% Zad. 3.4.
clear all
clc
%Tensor naprężenia
T=[5 -2 13;-2 -4 3;13 3 -5]
%Moduł Younga i liczba Poissona
E=2*10^5
ni=0.3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Sposób 1 - obliczenie składowych stanu naprężenia za pomocą rozwinięcia
%zapisu wskaźnikowefo uogólnieonego prawa Hooke'a
i=1; j=1; Te(i,j)=(1/E)*((1+ni)*T(i,j)-ni*trace(T)*(i==j));
i=1; j=2; Te(i,j)=(1/E)*((1+ni)*T(i,j)-ni*trace(T)*(i==j));
i=1; j=3; Te(i,j)=(1/E)*((1+ni)*T(i,j)-ni*trace(T)*(i==j));
i=2; j=1; Te(i,j)=(1/E)*((1+ni)*T(i,j)-ni*trace(T)*(i==j));
i=2; j=2; Te(i,j)=(1/E)*((1+ni)*T(i,j)-ni*trace(T)*(i==j));
i=2; j=3; Te(i,j)=(1/E)*((1+ni)*T(i,j)-ni*trace(T)*(i==j));
i=3; j=1; Te(i,j)=(1/E)*((1+ni)*T(i,j)-ni*trace(T)*(i==j));
i=3; j=2; Te(i,j)=(1/E)*((1+ni)*T(i,j)-ni*trace(T)*(i==j));
i=3; j=3; Te(i,j)=(1/E)*((1+ni)*T(i,j)-ni*trace(T)*(i==j))
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Sposób 2 - obliczenie składowych stanu naprężenia za pomocą macierzowego
%zapisu wskaźnikowefo uogólnieonego prawa Hooke'a
%Delta Kroneckera
dk=eye(3)
%obliczenie tensora naprężenia
Te=(1/E)*((1+ni)*T-ni*trace(T)*dk)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Sposób 3 - obliczenie składowych stanu naprężenia za pomocą prawa zmiany
%objętości i postaci
%Obliczenie modułu Kirchoffa
G=E/(2*(1+ni))
%Obliczenie modułu Helmoheltza
K=E/(3*(1-2*ni))
%Obliczenie naprężęń średnich
Sm=1/3*trace(T)
%Obliczenie aksjatora i dewiatora tensora naprężenia
A=Sm*eye(3)
D=T-A
%Obliczenie aksjatora tensora odkształcenia
Ae=1/(3*K)*A
%Obliczenie dewiatora tensora odkształcenia
De=1/(2*G)*D
%Obliczenie tensora odkształcenia
Te=Ae+De
%Obliczenie względnej zmiany objętości
Ev=trace(Te)
% Zad. 3.5.
clear all
clc
%Tensor naprężenia
T=[10 3 -6;3 5 1;-6 1 -3]
%Moduł Younga i liczba Poissona
E=2*10^5
ni=0.3
%Delta Kroneckera
dk=eye(3)
%obliczenie tensora odkształcenia
Te=(1/E)*((1+ni)*T-ni*trace(T)*dk)
%Obliczenie kierunków i odkształceń głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Teg]=eig(Te)
%Obliczenie kierunków i naprężęń głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Tg]=eig(T)
% Zad. 3.6.
clear all
clc
%Tensor naprężenia
T=[-80 -20 0;-20 160 0;0 0 0]
%Moduł Younga i liczba Poissona
E=2*10^5
ni=0.3
%Delta Kroneckera
dk=eye(3)
%obliczenie tensora odkształcenia
Te=(1/E)*((1+ni)*T-ni*trace(T)*dk)
%Obliczenie względnej zmiany objętości
Ev=trace(Te)
% Zad. 3.7.
clear all
clc
%Tensor odkształcenia
Te=[0.0011 -0.0005 0;-0.0005 0.0019 0;0 0 0]
%Moduł Younga i liczba Poissona
E=2*10^5
ni=0.3
%Delta Kroneckera
dk=eye(3)
%obliczenie tensora naprężenia
T=E/(1+ni)*(Te+ni/(1-2*ni)*trace(Te)*dk)
%Obliczenie kierunków i naprężęń głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Tg]=eig(T)
%Sprawdzenie, czy kierunki główne są wzajemnie prostopadłe
ng'+ng
%Obliczenie maksymalnych naprężeń normalnych
Sigmax=Tg(3,3)
% Zad. 4.1.
clear all
clc
%Zdeklarowamie zmiennych, na których prxzeprowadzane będą obliczenia
%symboliczne
syms x1 x2 x3
%Tensor naprężenia
T=[0 3*x2*x2 0;3*x2*x2 0 x3;0 x3 2*x1*x2]
%pole sił objętościowych
G=[-6*x2;-1;0]
%Sprawdzemoe, czy spałmione są podszczególne różniczkowe równania równowagi
r1=diff(T(1,1),'x1')+diff(T(2,1),'x2')+diff(T(3,1),'x3')+G(1)
r2=diff(T(1,2),'x1')+diff(T(2,2),'x2')+diff(T(3,2),'x3')+G(2)
r3=diff(T(1,3),'x1')+diff(T(2,3),'x2')+diff(T(3,3),'x3')+G(3)
% Zad. 4.5.
clear all
clc
%Zdeklarowamie zmiennych, na których prxzeprowadzane będą obliczenia
%symboliczne
syms x1 x2 x3
%Tensor naprężenia
T=[4*x1+5*x1*x2+x3 x1^2+2*x2^2 0;x1^2+2*x2*x2 4*x1^2+2*x2*x3 -x1^2+5*x2^2+x3^2;0 -x1^2+4*x2^2+x3^2 -x1*x2+x3]
%pole sił objętościowych
G=[1;x2;x1+x3]
%Sprawdzemoe, czy spałmione są podszczególne różniczkowe równania równowagi
x1=159/18
x2=-5/9
x3=-77/18
r1=subs(diff(T(1,1),'x1')+diff(T(2,1),'x2')+diff(T(3,1),'x3')+G(1))
r2=subs(diff(T(1,2),'x1')+diff(T(2,2),'x2')+diff(T(3,2),'x3')+G(2))
r3=subs(diff(T(1,3),'x1')+diff(T(2,3),'x2')+diff(T(3,3),'x3')+G(3))
% Zad. 5.1.
clear all
clc
%Tensor naprężenia
T=[5 -2 13;-2 -4 3;13 3 -5]
%Modłu Younga i liczba Poissona
E=2*10^5
ni=0.3
%Obliczenie tensora odkształcenia za pomocą prawa zmiany postaci i
%objętości
%Obliczenie modułów Kirchoffa i Helmholtza
G=E/(2*(1+ni))
K=E/(3*(1-2*ni))
%Naprężenia średnie
Sm=1/3*trace(T)
%Aksjator i dewiator tensora naprężenia
A=Sm*eye(3)
D=T-A
%Obliczenie aksjatora i dewiatora tensora odkształcenia
Ae=1/(3*K)*A
De=1/(2*G)*D
%Obliczenie tensora odkształcenia
Te=Ae+De
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Obliczenie energii sprężystej właściwej - zależność 1
W1=sum(sum(1/2*(T.*Te)))
(kropka po T. – mnożenie tablicowe)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Obliczenie energii sprężystej właściwej - zależność 2
[ng,Tg]=eig(T);
[neg,Teg]=eig(Te);
W2=sum(sum(1/2*(Tg.*Teg)))
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Obliczenie energii sprężystej właściwej - zależność 3
W3=sum(sum(1/2*(A.*Ae)))+sum(sum(1/2*(D.*De)))
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Obliczenie energii sprężystej właściwej - zależność 4
W4=sum(sum(((1/2*ni)/(2*E))*(A.*A)))+sum(sum(1/(4*G)*(D.*D)))
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Obliczenie energii sprężystej właściwej - zależność 5
W5=(1/2*ni)/(6*E)*(trace(T))^2+1/(12*G)*((T(1,1)-T(2,2))^2+(T(2,2)-T(3,3))^2+(T(3,3)-T(1,1))^2+6*(T(1,2)^2+T(2,3)^2+T(1,3)^2))
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Obliczenie energii sprężystej właściwej - zależność 6
W6=G*(ni/(1-2*ni)*(trace(Te))^2+Te(1,1)^2+Te(2,2)^2+Te(3,3)^2+2*(Te(1,2)^2+Te(2,3)^2+Te(1,3)^2))
5.2. (odkształcenia) analogia do 5.1 (naprężenia)
HIPOTEZY WYTĘRZENIOWE
% Zad. 5.3.
clear all
clc
%Tensor naprężenia
T=[115 -30 15;-30 -40 40;15 40 -50]
% Obliczenie kierunków i naprężeń głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Tg]=eig(T)
%Sprawdzenie, czy kierunki główne są wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
% Obliczenie naprężeń zredukowanych według hipotezy Hubera
Sred=1/sqrt(2)*sqrt((T(1,1)-T(2,2))^2+(T(2,2)-T(3,3))^2+(T(3,3)-T(1,1))^2+6*(T(1,2)^2+T(2,3)^2+T(3,1)^2))
% Zad. 5.4.
clear all
clc
%Tensor naprężenia
T=[50 -20 130;-20 -40 30;130 30 -50]
% Obliczenie kierunków i naprężeń głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Tg]=eig(T)
%Sprawdzenie, czy kierunki główne są wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
% Obliczenie naprężeń zredukowanych według hipotezy Treski-Guesta
Sred=Tg(3,3)-Tg(1,1)
% Zad. 5.6.
clear all
clc
%Tensor naprężenia
T=[100 30 -60;30 50 10;-60 10 -30]
% Granica plastyczności
Re=185
%Obliczenie kierunków i naprężeń głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Tg]=eig(T)
%Sprawdzenie, czy kierunki główne są wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
% Obliczenie naprężeń zredukowanych według hipotezy Hubera
Sred_h=1/sqrt(2)*sqrt((T(1,1)-T(2,2))^2+(T(2,2)-T(3,3))^2+(T(3,3)-T(1,1))^2+6*(T(1,2)^2+T(2,3)^2+T(3,1)^2))
% Obliczenie naprężeń zredukowanych według hipotezy Treski-Guesta
Sred_t=Tg(3,3)-Tg(1,1)
%Określić czy materiał znajduje się w stanie plastycznym
%Dla hipotezy Hubera
Wh=Sred_h>Re
%Dla hipotezy Treski-Guesta
Wt=Sred_t>Re
% gdzie: 1 - prawda; 0 - fałsz
% Zad. 5.7.
clear all
clc
%Tensor naprężenia
T=[0 -30 15;-30 -40 40;15 40 -50]
% Granica plastyczności
Re=315
%Obliczenie kierunków i naprężeń głównych za pomocą funkcji eig()
[ng,Tg]=eig(T)
%Sprawdzenie, czy kierunki główne są wzajemnie prostopadłe
ng'*ng
% Obliczenie naprężeń zredukowanych według hipotezy Hubera
Sred=1/sqrt(2)*sqrt((T(1,1)-T(2,2))^2+(T(2,2)-T(3,3))^2+(T(3,3)-T(1,1))^2+6*(T(1,2)^2+T(2,3)^2+T(3,1)^2))
%Określić czy materiał znajduje się w stanie plastycznym
Wh=Sred>Re
% gdzie: 1 - prawda; 0 - fałsz
Za zero 0 podstawiamy 257
Egzamin
Zostanie wysłane