Wydział Budowy Maszyn i Informatyki Data wykonania ćwiczenia:03.12.2014

Automatyka i Robotyka

Rok akademicki 2014/2015

Grupa 1b/2b

Ćwiczenie nr 15

Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu i metalach metodą rezonansu akustycznego.

Puda Artur

Raj Mateusz

Szabla Marcin

1. Wstęp teoretyczny

Fala dźwiękowa

Fala w fizyce to rozchodzenie się w przestrzeni zaburzenia stanu ośrodka materialnego, czyli rozchodzenie się wszelkiego rodzaju drgań.

Przykłady:

• fala elektromagnetyczna – fala ta jest rozchodzeniem się zaburzeń stanu pola elektromagnetycznego

• fala sprężysta – fala ta jest rozchodzeniem się zaburzeń stanu ośrodka sprężystego

Rodzaje fal:

Ze względu na kierunek wychyleń (drgań) cząstek ośrodka

• Podłużne - w przypadku fali podłużnej punkty materialne ośrodka (rozciągniętej sprężyny) drgają w tym samym kierunku, w jakim rozchodzi się fala.

• Poprzeczne - w przypadku fali poprzecznej cząstki ośrodka (napiętej liny) drgają w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się samej fali.

• mieszane

Ze względu na charakter zależności wychyleń cząstek ośrodka od czasu:

• Nieperiodyczne

• Periodyczne

  • harmoniczne

  • an harmoniczne

Fala płaska - jest to fala, której powierzchnie falowe (powierzchnie o jednakowej fazie) tworzą równoległe do siebie linie proste, gdy fala rozchodzi się po powierzchni, i płaszczyzny, gdy rozchodzi się w przestrzeni trójwymiarowej.

Matematycznie funkcja opisująca falę płaską jest rozwiązaniem równania falowego. Funkcja ta ma postać:

gdzie:

• i - jednostka urojona,

•  - wektor falowy,

• ω - częstość kołowa,

• A - amplituda fali.

Dobierając układ współrzędnych tak, by fala rozchodziła się wzdłuż osi X, równanie powyższe upraszcza się do:

lub

Występujące w tych dwóch równaniach k jest nazywane liczbą falową.

Równanie harmonicznej fali płaskiej
Równanie fali harmonicznej płaskiej ma postać: s = A sin (ω t - k x + φ0) λ - długość fali (w układzie SI w metrach - m) φ0 - faza początkowa (wielkość niemianowana) A - amplituda fali (jednostka tej wielkości zależy od rodzaju fali i od sposobu jej opisu -np. dla fal dźwiękowych może to być ciśnienie akustyczne, i wtedy wyraża się w paskalach)
ω  - częstość kołowa  (jednostka w układzie SI: 1/s = s^-1) ω = 2 π f   T - okres drgań (jednostka w układzie SI: sekunda - s) f - częstotliwość  (jednostka w układzie SI:  Hz = 1/s = s^-1)
Interpretacja równania fali Równanie fali łączy w jedno dwa wymiary związane z ruchem falowym zmienność w czasie (w sinusie człon ω t ) zmienność w przestrzeni (w sinusie człon k x ) Koralik na animacji wyżej jest położony w jednym miejscu (licząc w poziomie) i może wykonywać ruchy pionowe wymuszane przez falę. Fala wymusza na koraliku drgania (fala harmoniczna, wymusza drgania harmoniczne).

Metody pomiarowe

Układ Quinckiego

Do wyznaczania prędkości fali dźwiękowej w powietrzu służy układ przedstawiony na rys. 1. Jego zasadniczym elementem jest tzw. rura Quinckego (A), czyli pionowa nieruchoma rura szklana, połączona elastycznym wężem z naczyniem szklanym B. Przesuwając w pionie naczynie B, zmieniamy wysokość słupa powietrza w rurze A. Nad wylotem tej rury umieszczony jest głośnik emitujący dźwięk o wybranej częstotliwości, pochodzący z generatora akustycznego. Przy odpowiedniej wysokości słupa powietrza następuje rezonans, który słyszymy jako wyraźny wzrost głośności dźwięku.

Metoda Kundta

Do wyznaczania prędkości fali dźwiękowej w pręcie metalowym wykorzystuje się szklaną rurę o długości około 1 m i średnicy około 4 cm, zwaną rurą Kundta (rys. 2). Jeden z końców rury jest zatknięty korkiem, przez drugi natomiast przechodzi pręt zakończony krążkiem ebonitowym. Średnica krążka jest nieco mniejsza od średnicy rury, aby pręt mógł swobodnie wykonywać drgania. Pręt umocowany jest w połowie swojej długości. Pobudzanie go do drgań osiąga się poprzez pocieranie szmatką nawilżoną alkoholem. Wewnątrz rury powstaje wówczas akustyczna fala stojąca, w strzałkach której gromadzi się drobny proszek korkowy rozsypany na dnie rury.

1. Cel ćwiczenia

Cele ćwiczenia było wyznaczenie prędkości dźwięku w powietrzu i metalach za pomocą rezonansu akustycznego

1. Przebieg ćwiczenia

1. Nasze ćwiczenie zaczęliśmy wyznaczenia prędkości dźwięku w powietrzu za pomocą układu Quinckiego:

   1. Przy pomocy naczynia pomocniczego oraz kamertonu, który pobudzaliśmy do drgań drewnianym młotkiem, ustaliliśmy zgrubnie po łożenie poziomu wody w chwili wystąpienie charakterystycznej raptownej zmiany natężenia słyszanego dźwięki czyli wystąpienie pierwszego stanu rezonansowego w układzie.

   2. Powtarzaliśmy tę czynność w celu zlokalizowania położenia h₁(zapisane w tabeli nr. 1) przy coraz to wolniejszym przemieszczaniu poziomu wody

   3. Następnie oszacowaliśmy błąd bezwzględny h₁ i zapisaliśmy w tabeli nr. 1

   4. Po zmierzeniu pierwszego stanu rezonansu (h₁), oszacowaliśmy na jego podstawie zgrubnie położenie h₂. Obniżyliśmy poziom wody do wcześniej ustalonej wartości i powtarzając czynność z pkt. a, b i c ustaliliśmy położenie h₂ oraz błąd bezwzględny h₂. Otrzymane wyniki zapisaliśmy w tabeli nr. 1

   5. Ostatnią czynnością w tej części ćwiczenia było ustalenie wilgotności

względnej powietrza w % i jego temperaturę w [^oC], oraz przy pomocy barometru dostępnego na pracowni ustalić ciśnienie atmosferyczne p_o w [mmHg].

1. Kolejną częścią ćwiczenia było ustalanie prędkości dźwięku w metalach za pomocą rury Kundta.

1. Na początku zmierzyliśmy długość pręta miedzianego L_m, od razu oszacowaliśmy błąd bezwzględny pomiaru L_m nasze wyniki wpisaliśmy do tabeli nr. 2.

2. Następnie z pomocą prowadzącego umocowaliśmy kolejno pręty w uchwycie i za pomocą szmatki posypaną sproszkowaną kalafonią wzbudziliśmy podłużną falę dźwiękową

3. Kolejnym krokiem było zmierzenie długości słupa powietrza w rurze L_p przy jak największej liczbie n obszarów odpowiadającej połowie długości fali dźwiękowej wzbudzonej w powietrzu. Wyniki przedstawiliśmy w tabeli nr. 2.

4. Potem wymontowaliśmy badany pręt miedziany i zastąpiliśmy go aluminiowym. Pomiary dla pręta aluminiowego zostały wykonane tak samo jak dla pręta miedzianego.

1. Opracowanie wyników

1. Układ Quinckiego

• Długość fali dźwiękowej λ wygenerowana przez kamerton:

λ=2×(h₂−h₁)

λ=2×(63, 5−23)=81[cm]=0, 81[m]

• Długość fali dźwiękowej v_p w powietrzu:

v_p=2×(h₂−h₁)×v_k

$$\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\times}\left( \mathbf{63,5}\mathbf{-}\mathbf{23} \right)\mathbf{\times 435}\left\lbrack \mathbf{\text{Hz}} \right\rbrack\mathbf{= 352,35\lbrack}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack}$$

• Błąd bezwzględny λ oraz v_p:

λ=2×(h₂+h₁)

v_p=2×(h₂+h₁)×v_k

λ=2×(1+0, 5)=3[cm]=0, 03[m]

$$\mathbf{}\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\times}\left( \mathbf{1}\mathbf{+}0,5 \right)\mathbf{\times 435}\left\lbrack \mathbf{\text{Hz}} \right\rbrack\mathbf{=}\mathbf{13\lbrack}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack}$$

• Wartość prędkości dźwięku w temperaturze T v_t:

$$\mathbf{v}_{\mathbf{t}}\mathbf{=}\mathbf{v}_{\mathbf{n}}\sqrt{\frac{\mathbf{T}}{\mathbf{T}_{\mathbf{n}}}}$$

$$\mathbf{v}_{\mathbf{t}}\mathbf{= 331,5}\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}} \right\rbrack\mathbf{\times}\sqrt{\frac{\mathbf{296.65}\left\lbrack \mathbf{K} \right\rbrack}{\mathbf{273,15}\left\lbrack \mathbf{K} \right\rbrack}}\mathbf{= 345,47\lbrack}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack}$$

• Odchylenie względne ε:

$$\mathbf{\varepsilon}\mathbf{=}\frac{\left| \mathbf{v}_{\mathbf{p}}\mathbf{- v}_{\mathbf{t}} \right|}{\mathbf{v}_{\mathbf{t}}}\mathbf{\times 100\%}$$

$$\mathbf{\varepsilon}\mathbf{=}\frac{\left| \mathbf{352,35}\mathbf{\lbrack}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack - 345,47\lbrack}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack} \right|}{\mathbf{345,47\lbrack}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack}}\mathbf{\times 100\% = 1,99\%}$$

• Moduł ściśliwości powietrza K = (κp):

(κp)=v_p²×ρ₀

$$\left( \mathbf{\text{κp}} \right)\mathbf{=}\mathbf{352,35}^{\mathbf{2}}\left\lbrack \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}} \right\rbrack\mathbf{\times 1,184}\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}} \right\rbrack\mathbf{= 1469,94}\left\lbrack \mathbf{\text{hPa}} \right\rbrack$$

• Wartość stosunku $\mathbf{\kappa =}\frac{\mathbf{c}_{\mathbf{v}}}{\mathbf{c}_{\mathbf{p}}}$:

$$\mathbf{\kappa =}\frac{\left( \mathbf{\text{κp}} \right)}{\mathbf{\rho}_{\mathbf{0}}}$$

$$\mathbf{\kappa =}\frac{\mathbf{1469,94\lbrack hPa\rbrack}}{\mathbf{979},\mathbf{92}\mathbf{\lbrack hPa\rbrack}}\mathbf{= 1,51}$$

1. Rura Kundta

• Prędkość dźwięku dla miedzi v_m:

$$\mathbf{v}_{\mathbf{m}}\mathbf{=}\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\mathbf{\times}\left( \mathbf{n \times}\frac{\mathbf{L}_{\mathbf{m}}}{\mathbf{L}_{\mathbf{p}}} \right)$$

$$\mathbf{v}_{\mathbf{m}}\mathbf{= 0,}\mathbf{35}\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{km}}}{\mathbf{s}} \right\rbrack\mathbf{\times}\left( \mathbf{12 \times}\frac{\mathbf{93 \times}\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}\left\lbrack \mathbf{\text{km}} \right\rbrack}{\mathbf{100 \times}\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}\left\lbrack \mathbf{\text{km}} \right\rbrack} \right)\mathbf{= 3,93}\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{km}}}{\mathbf{s}} \right\rbrack$$

• Wartość błędu v_m:

$$\mathbf{}\mathbf{v}_{\mathbf{m}}\mathbf{=}\mathbf{v}_{\mathbf{m}}\mathbf{\times}\left( \frac{{\mathbf{}\mathbf{L}}_{\mathbf{m}}}{\mathbf{L}_{\mathbf{m}}}\mathbf{+}\frac{{\mathbf{}\mathbf{L}}_{\mathbf{p}}}{\mathbf{L}_{\mathbf{p}}}\mathbf{+}\frac{{\mathbf{}\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}}{\mathbf{v}_{\mathbf{p}}} \right)$$

$$\mathbf{}\mathbf{v}_{\mathbf{m}}\mathbf{=}\mathbf{3,93}\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{km}}}{\mathbf{s}} \right\rbrack\mathbf{\times}\left( \frac{\mathbf{0,5 \times}\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}\left\lbrack \mathbf{\text{km}} \right\rbrack}{\mathbf{93 \times}\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}\left\lbrack \mathbf{\text{km}} \right\rbrack}\mathbf{+}\frac{\mathbf{0,5 \times}\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}\left\lbrack \mathbf{\text{km}} \right\rbrack}{\mathbf{100}\mathbf{\times 10}^{\mathbf{- 6}}\left\lbrack \mathbf{\text{km}} \right\rbrack}\mathbf{+}\frac{\mathbf{0,0131\lbrack}\frac{\mathbf{\text{km}}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack}}{\mathbf{0,3524}\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{km}}}{\mathbf{s}} \right\rbrack} \right)$$

$$\mathbf{}\mathbf{v}_{\mathbf{m}}\mathbf{= 0,20}\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{km}}}{\mathbf{s}} \right\rbrack$$

• Moduł Younga E:

E=v_m²×ρ

$$\mathbf{E =}\mathbf{3,93}^{\mathbf{2}}\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{km}}}{\mathbf{s}} \right\rbrack\mathbf{\times 8933}\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}} \right\rbrack\mathbf{= 137,97\lbrack GPa\rbrack}$$

• Błąd E:

$$\ \mathbf{}\mathbf{E =}\ \mathbf{2 \times E \times}\frac{{\mathbf{}\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}}{\mathbf{v}_{\mathbf{m}}}$$

$$\mathbf{}\mathbf{E = 2 \times}\mathbf{137,97}\left\lbrack \mathbf{\text{GPa}} \right\rbrack\mathbf{\times}\frac{\mathbf{0,20}\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{km}}}{\mathbf{s}} \right\rbrack}{\mathbf{3,93}\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{km}}}{\mathbf{s}} \right\rbrack}\mathbf{=}\mathbf{14}\mathbf{\ \lbrack GPa\rbrack}$$

• Dla rury aluminiowej obliczenia zostały wykonane tak samo i przedstawione w tabeli nr.2

1. Opracowanie tabel

Tabela nr. 1

t = 23, 5[]	T = 296, 65[K]	W = 29, 9[%]	$$\mathbf{\rho}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}1,184\frac{\mathbf{\text{kg}}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}$$	p0=979, 92[hPa]
h1	h1	h2	h2	λ
[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[m]
23	0,5	63,5	0,5	0,81
$\mathbf{v}_{\mathbf{t}}\mathbf{=}\mathbf{\ 345,47\lbrack}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack}$; ε=1, 99%

Tabela nr.2

$\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\mathbf{= 0,}\mathbf{35\lbrack}\frac{\mathbf{\text{km}}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack}$; $\mathbf{v}_{\mathbf{p}}\mathbf{= 0,0}\mathbf{13\lbrack}\frac{\mathbf{\text{km}}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack}$;
Materiał
Miedź
Aluminium

Materiał	vm	vm	vt	E	E	Et
	km/s	km/s	km/s	GPa	GPa	GPa
Miedź	3, 93	0, 20	3,71	137	14	115-130
Aluminium	4, 96	0, 24	5,08	66, 9	6, 4	63-75

1. Wnioski

• Za pomocą układu Quinckiego wyznaczyliśmy prędkość dźwięku, która wynosi 345, 47±13, 05 [m/s]. Prędkość ta różni się od prędkości tablicowej o 1, 99%, różnica ta wynika z niedokładności pomiaru.

• Za pomocą rury Kundta obliczyliśmy prędkość dźwięku dla miedzi oraz aluminium, które wynoszą kolejno 3, 93 ± 0, 20 [km/s], 4, 96 ± 0, 24 [km/s] gdzie prędkość tablicowa miedzi wynosi 3,71[km/s] a aluminium 5,08[km/s] .

• Wyznaczyliśmy moduł Younga dla miedzi  137, 97 ± 14, 042 [GPa] dla miedzi i aluminium 6, 916± 6, 47 [GPa] gdzie tablicowe wynoszą dla miedzi 115-130 i aluminium 63-75 .

• Porównójąc te wyniki z wynikami tablicowymi, wynika że miedź przekracza trochę wartość graniczną górną [115-130] a aluminium mieści się w przedziale [63-75]

• Niedokładność pomiarowa wynika z niedokładnego odczytu.