I ET-DI 19.11.2012r

Laboratorium z fizyki

Ćw. nr: 13

Badanie centralnych zderzeń sprężystych i niesprężystych

Krystian Bartecki

L 1

1. Zagadnienia do samodzielnego opracowania.

Pęd definiujemy jako iloczyn masy i prędkości ciała

Pęd jest wielkością wektorową.
Kierunek i zwrot wektora pędu jest taki sam jak kierunek i zwrot wektora prędkości.

Jednostką pędu w układzie SI jest: kilogram razy metr na sekundę.

$$\left\lbrack p \right\rbrack = kg\frac{m}{s}$$

Zasada zachowania pędu - w odosobnionym układzie ciał całkowity pęd układu pozostaje stały. Zasada ta wynika z uogólnionej postaci II zasady dynamiki Newtona, wyraża ją wzór:

mv = m₁v₁ + m₂v₂ + m₃v₃ + … + m_nv_n = const

gdzie: m – masa całego układu,

v – prędkość całego układu,

m₁ , m₂ , m₃ , …, m_n – masy poszczególnych ciał,

v₁ , v₂ , v₃ , …, v_n – prędkości poszczególnych ciał.

Zasada zachowania pędu obowiązuje na przykład przy zderzeniach sprężystych i niesprężystych.

1. Zderzenia doskonale sprężyste – w ich wyniku ciała nie odkształcają się wzajemnie, a ich energia mechaniczna przed zderzeniem i po zderzeniu pozostaje stała.

2. Zderzenia doskonale niesprężyste – w ich wyniku ciała odkształcają się, a część energii mechanicznej zmienia się w chwili zderzenia w energię wewnętrzną. W tym rodzaju zdarzeń nie jest spełniona zasada zachowania energii mechanicznej.

Szczególnym przypadkiem zderzeń są zderzenia centralne, czyli takie, w których wektory prędkości zderzających się ciał leżą, zarówno przed zderzeniem, jak i po zderzeniu, na jednej prostej.

Energia - skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca stan układu fizycznego, wszelkiego rodzaju procesy i oddziaływania w przyrodzie. Jest miarą zdolności układów do wykonania pracy. Rozróżnia się różne rodzaje energii w zależności od występujących procesów fizycznych, a mianowicie: mechaniczną, elektromagnetyczną, grawitacyjną, jądrową, cieplną, chemiczną itd. Jednostką w układzie SI jest dżul (J). Energia potencjalna to energia zmagazynowana w ciele lub układzie wskutek jego położenia (np. w polu grawitacyjnym), kształtu lub stanu. Energia kinetyczna jest energią ruchu, która dla ciała o masie m poruszającego się z prędkością v równa się E_k =$\frac{mv^{2}}{2}$.

Zasada zachowania energii - w układzie izolowanym suma składników wszystkich rodzajów energii całości (suma energii wszystkich jego części) układu jest stała (nie zmienia się w czasie).

E_mech = E_p + E_k

1. Tabele pomiarowe oraz obliczenia

Tabela pomiarów dla zderzeń sprężystych.

							l
[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ m ]
13	12 13 12,5 11,75 12 12 12,5 12 12,5 12,5	12,275	0,1	11 11,5 11 10,5 10,5 10,25 11 10,75 10,5 11	10,8	0,1	0,45

Obliczenia:

m'₁ = m₁+m_w

m'₁ = 0,1479 + 0,01728

m'₁ = 0,165 kg

E_p = m′₁gl[1 − cos(α)]

$$E_{p} = 0,165kg \cdot 9,81\frac{m}{s^{2}} \cdot 0,45m \cdot \lbrack 1 - \cos(13^{})\rbrack$$

E_p = 0, 00892J

Błędy pomiarowe:

1. masy pierwszej kuli: Δm₁ = 0, 0001kg

2. masy wieszaczka – przyjmuję, że nie zawiera ona błędu, ponieważ była podana w materiale pomocniczym: Δm′₁ = 0, 0001kg

3. długości nici: Δl = 0, 001m

4. kąta – jest on równy 0,1^o: Δα = 0, 1 = 0, 001745rad

5. przyspieszenia ziemskiego – przyjmuję, że nie zawiera ono błędu, ponieważ używam przybliżonej wartości przyjętej przez 3 Generalną Konferencję Miar i Wag

6. energii potencjalnej początkowej:

$$\Delta E_{p} = \left. \mid\frac{\delta(m'_{1}gl(1 - \cos\alpha))}{\text{δm}'_{1}} \right.\mid\text{Δm}'_{1} + \left. \mid\frac{\delta(m'_{1}gl(1 - \cos\alpha))}{\text{δl}} \right.\mid\Delta l + \left. \mid\frac{\delta(m'_{1}gl(1 - \cos\alpha))}{\text{δα}} \right.\mid\text{Δα}$$

ΔE_p = ∣gl(1−cosα) ∣ Δm′₁ + ∣gm′₁(1−cosα) ∣ Δl + ∣m′₁gl(1−cosα) ∣ Δα

ΔE_p = 0, 00001072J + 0, 00002765J + 0, 00023011J

ΔE_p≈ 0, 00027J

E_p = (0, 00892 ± 0, 00027)J

m'₂ = m₂+m_w

m'₂ = 0,1479 + 0,01728

m'₂ = 0,165 kg

E_k = m′₂gl(1 − cosα₂)

lp.	α2[°]	Ek [J]
1	11	0,005692
2	11,5	0,006455
3	11	0,007218
4	10,5	0,007218
5	10,5	0,005692
6	10,25	0,00804
7	11	0,007218
8	10,75	0,007218
9	10,5	0,00804
10	11	0,008568
	Ekśr	0,007074

$$S_{\overset{\bar{}}{\text{Ek}}} = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{10}{(E_{k} - E_{ksr})}^{2}}$$

lp.	α2[°]	Ek [J]	Ek – Ekśr [J]	(Ek – Ekśr)^2 [J^2]
1	11	0,005692	-0,00138	1,91·10^−6
2	11,5	0,006455	-0,00062	3,83·10^−7
3	11	0,007218	0,000144	2,07·10^−8
4	10,5	0,007218	0,000144	2,07·10^−8
5	10,5	0,005692	-0,00138	1,91·10^−6
6	10,25	0,00804	0,000966	9,32·10^−7
7	11	0,007218	0,000144	2,07·10^−8
8	10,75	0,007218	0,000144	2,07·10^−8
9	10,5	0,00804	0,000966	9,32·10^−7
10	11	0,008568	0,001494	2,23·10^−6
	Ekśr	0,007074	SUMA	8,76·10^−6

$$S_{\overset{\bar{}}{\text{Ek}}} = \sqrt{\frac{8,76 10^{- 6}}{10(10 - 1)}J^{2}} = 0,000312\ J$$

$$S_{\overset{\bar{}}{\text{Ek}}} = 0,000312\ J$$

Zastosuję teraz współczynnik Studenta-Fishera, przyjmując za poziom ufności 0,95, który dla 10 prób wynosi t_nα = 2, 3

$$\Delta E_{k} = t_{\text{nα}} \cdot S_{\overset{\bar{}}{\text{Ek}}}$$

ΔE_k = 2, 3 ⋅ 0, 000312 J

ΔE_k ≈ 0, 0007

E_k = (0, 0071 ± 0, 0007)J

Podczas opadania kulki 1 następuje zmiana energii potencjalnej w energię kinetyczną. Korzystając z tego, obliczę prędkość kulki 1.

$$m'_{1}gh = \frac{m'_{1}v_{1}}{2}$$

$$m'_{1}gh = \frac{m'_{1}v_{1}}{2}$$

$$v_{1} = \sqrt{2gh}$$

$$v_{1} = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}$$

$$v_{1} = \sqrt{2 \cdot 9,81\frac{m}{s^{2}}0,45m(1 - {cos13}^{})}$$

$$v_{1} = 0,374\frac{m}{s}$$

$$\Delta v_{1} = \left. \mid\frac{\delta\sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}}{\text{δl}} \right.\mid\Delta l + \left. \mid\frac{\delta\sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}}{\text{δα}} \right.\mid\text{Δα}$$

$$\Delta v_{1} = \left. \mid\frac{\delta 2g(1 - \cos\alpha)}{2\sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}} \right.\mid\Delta l + \left. \mid\frac{2glsin\alpha}{2\sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}} \right.\mid\text{Δα}$$

$$\Delta v_{1} = 0,000463003\frac{m}{s} + 0,003843521\frac{m}{s}$$

$$\Delta v_{1} \approx 0,0043\frac{m}{s}$$

$$v_{1} = (0,374 \pm 0,0043)\frac{m}{s}$$

Pęd początkowy:

p_p = m′₁v₁

$p_{p} = 0,165kg \cdot 0,4630\frac{m}{s}$

$p_{p} = 0,058801\frac{\text{kg} m}{s}$

$$\frac{\Delta p_{p}}{p_{p}} = \frac{\text{Δm}'_{1}}{m'1} + \frac{\Delta v_{1}}{v_{1}}$$

$$\Delta p_{p} = p_{p}(\frac{\text{Δm}'_{1}}{m'1} + \frac{\Delta v_{1}}{v_{1}})$$

$$\Delta p_{p} = 0,0569018\frac{\text{kg} m}{s} \cdot \left( \frac{0,0001\text{kg}}{0,165\text{kg}} + \frac{0,0043\frac{m}{s}}{0,4630\frac{m}{s}} \right)$$

$$\Delta p_{p} = 0,0569018\frac{\text{kg} m}{s} \cdot (0,0007753140 + 0,0092872570)$$

$$\Delta p_{p} \approx 0,00057\frac{\text{kg} m}{s}$$

$$p_{p} = (0,05880 \pm 0,00057)\frac{\text{kg} m}{s}$$

masa kuli 2 m'₂ = m₂ + m_w = 0,165 kg

$$v_{2} = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha_{2})}$$

lp.	α2[°]	v$\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$	pk $\left\lbrack \frac{\text{kgm}}{s} \right\rbrack$
1	11	0,262984	0,004594
2	11,5	0,28161	0,004694
3	11	0,266467	0,00895
4	10,5	0,295979	0,005194
5	10,5	0,262984	0,004594
6	10,25	0,288084	0,008572
7	11	0,273301	0,00808
8	10,75	0,288084	0,006198
9	10,5	0,269906	0,010886
10	11	0,311167	0,007097
		pkśr	0,006485

$$S_{\overset{\bar{}}{p_{k}}} = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}{(p_{k} - p_{ksr})}^{2}}$$

lp.	α[°]	pk $\left\lbrack \frac{\text{kgm}}{s} \right\rbrack$	pk - pkśr $\left\lbrack \frac{\text{kgm}}{s} \right\rbrack$	(pk - pkśr)^2 $\left\lbrack \frac{\text{kg}^{2}m^{2}}{s^{2}} \right\rbrack$
1	12	0,038067	-0,004298	0,000018
2	13	0,040537	0,007184	0,000052
3	12,5	0,042866	-0,003142	0,000010
4	11,75	0,042866	-0,004298	0,000018
5	12	0,038067	-0,000845	0,000071
6	12	0,04524	0,007184	0,000052
7	12,5	0,042866	-0,004298	0,000018
8	12	0,042866	-0,001532	0,000002
9	12,5	0,04524	-0,003142	0,000010
10	12,5	0,046702	0,007184	0,000052
	pkśr	0,04235	SUMA:	0,000303

$$S_{\overset{\bar{}}{p_{k}}} = \sqrt{\frac{0,000303}{90}\left( \frac{\text{kg} m}{s} \right)^{2}}$$

$$S_{\overset{\bar{}}{p_{k}}} = 0,001835\frac{\text{kg} m}{s}$$

Stosując metodę Studenta-Fishera, zakładając poziom ufności równy 0,95, obliczam błąd:

$$\Delta p_{k} = t_{\text{nα}} \cdot S_{\overset{\bar{}}{p_{k}}}$$

$$\Delta p_{k} = 2,3 \cdot 0,001835\frac{\text{kg} m}{s}$$

$$\Delta p_{k} \approx 0,0042\frac{\text{kg} m}{s}$$

p_k = (0,0423$\pm 0,0042)\frac{\text{kg} m}{s}$

Tabela pomiarów dla zderzeń niesprężystych.

				l
[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ º ]	[ m ]
13	6,5 6,25 6,5 6,25 6 6,25 6 6,25 6,5 6,25	6,275	0,1	0,45

Przy obliczeniach dla zderzeń niesprężystych skorzystam z wyliczonych wcześniej wartości dla energii i pędu początkowego dla kuli1 o masie m'₁.

E_p = 0, 013857J

$$p_{p} = 0,005690\frac{\text{kgm}}{s}$$

Obliczam teraz energię potencjalną końcową układu dwóch kul: kula1 + kula2, o masie całkowitej m_c=m'₁ + m'₂ = 0,25126 kg, korzystając ze wzoru:

E_k = m′₂gl(1 − cosα′)

lp	α'[°]	Ek [J]
1	6,5	0,005547
2	6,25	0,005547
3	6,5	0,004944
4	6,25	0,005186
5	6	0,005547
6	6,25	0,005547
7	6	0,005547
8	6,25	0,004944
9	6,5	0,005547
10	6,25	0,005547
	Ekśr	0,0058

$$S_{\overset{\bar{}}{E_{k}}} = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}{(E_{k} - E_{ksr})}^{2}}$$

$$S_{\overset{\bar{}}{E_{k}}} = \sqrt{\frac{0,0058}{90}J^{2}}$$

$$S_{\overset{\bar{}}{E_{k}}} = 0,0080277$$

Stosując współczynnik Studenta-Fishera, przyjmując poziom ufności 0,95m który dla 10 prób wynosi t_nα = 2, 3, obliczam błąd:

$$\Delta E_{k} = t_{\text{nα}} \cdot S_{\overset{\bar{}}{E_{k}}}$$

ΔE_k ≈ 0, 0, 02J

E_k = (0, 0058 ± 0, 0002)J

Pęd kul:

$$v_{2} = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha')}$$

lp.	α'[°]	v$\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$	pk $\left\lbrack \frac{\text{kgm}}{s} \right\rbrack$
1	6,5	0,262984	0,05387
2	6,25	0,28161	0,05387
3	6,5	0,266467	0,050858
4	6,25	0,295979	0,052084
5	6	0,262984	0,05387
6	6,25	0,288084	0,05387
7	6	0,273301	0,05387
8	6,25	0,288084	0,050858
9	6,5	0,269906	0,05387
10	6,25	0,311167	0,05387
		pkśr	0,05751

Obliczam błąd pomiarowy ze wzoru:

$$S_{\overset{\bar{}}{p_{k}}} = \sqrt{\frac{1}{n(n - 1)}\sum_{i = 1}^{n}{(p_{k} - p_{ksr})}}$$

lp.	α'[°]	pk $\left\lbrack \frac{\text{kgm}}{s} \right\rbrack$	pk – pkśr $\left\lbrack \frac{\text{kgm}}{s} \right\rbrack$	(pk – pkśr) ^2$\left\lbrack \frac{\text{kgm}}{s} \right\rbrack^{2}$
1	6,5	0,05387	-0,00622	3,86672·10^−5
2	6,25	0,05387	-0,00622	3,86672·10^−5
3	6,5	0,050858	-0,00321	1,02808·10^−5
4	6,25	0,052084	-0,00443	1,9643·10^−5
5	6	0,05387	-0,00622	3,86672·10^−5
6	6,25	0,05387	-0,00622	3,86672·10^−5
7	6	0,05387	-0,00622	3,86672·10^−5
8	6,25	0,050858	-0,00321	1,02808·10^−5
9	6,5	0,05387	-0,00622	3,86672·10^−5
10	6,25	0,05387	-0,00622	3,86672·10^−5
	pkśr	0,05751	SUMA:	3,21155·10^−5

$$S_{\overset{\bar{}}{p_{k}}} = \sqrt{\frac{0,000321155}{90}\left( \frac{\text{kgm}}{s} \right)^{2}}$$

$$S_{\overset{\bar{}}{p_{k}}} = 0,0018890\frac{\text{kgm}}{s}$$

Stosując współczynnik Studenta-Fishera, przyjmując poziom ufności 0,95m który dla 10 prób wynosi t_nα = 2, 3, obliczam błąd:

$$\Delta p_{k} = t_{\text{nα}} \cdot S_{\overset{\bar{}}{p_{k}}}$$

$$\Delta p_{k} \approx 0,004\frac{\text{kgm}}{s}$$

Stąd mogę określić wartość pędu końcowego:

p_k = (0,057$\pm 0,004)\frac{\text{kgm}}{s}$

1. Zestawienie wyników obliczeń.

Zadanie	Ep ± u(Ep)	Ek ± u(Ek)	pp ± u(pp)	pk ± u(pk)
-	[J]	[J]	[kg·m/s]	[kg·m/s]
Zderzenia sprężyste	0, 00892 ± 0, 00027	0, 0071 ± 0, 0007	0, 05880 ± 0, 0006	0,0423±0, 005
Zderzenia niesprężyste	0, 00892 ± 0, 00027	0, 0058 ± 0, 0002	0, 05880 ± 0, 0006	0,057±0, 004

1. Wnioski

Wartości pędu i energii początkowej i końcowej przy zderzeniach sprężystych mają bardzo podobne wartości, mieszczących się w granicach błędów pomiarowych. Pomimo wielu czynników wpływających na wynik, można stwierdzić, że energia została zachowana. Inną sytuację mamy przy zderzeniach niesprężystych, gdzie część energii zamienia się na energię cieplną lub odkształcenia, przez co pomiędzy energią początkową końcową występują pewne różnice.