Zadanie 6.2
Dla belki o przekroju i obciążeniu, jak na rys. 6.2a, obliczyć ekstremalne naprężenia normalne i styczne. W przekrojach, których te naprężenia występują sporządzić ich wykresy.
Rozwiązanie zadania należy rozpocząć od sporządzenia wykresu momentów zginających i sił poprzecznych dla danej belki. Pozwala to na wytypowanie przekrojów, w których wystąpią ekstremalne naprężenia. Ponieważ przekrój belki jest niesymetryczny, a bezwzględne wartości ekstremalnych momentów ( MA = − 13 kNm, MD = 12kNm ) są bliskie sobie, należy sprawdzić naprężenia normalne zarówno w przekroju α-α jaki i β-β. Największe naprężenia styczne wystąpią w przekroju, gdzie Tα = Tmax a więc na odcinku AC oraz w przekroju B(|Tα|=12kN).
Do określenia położenia osi głównych środkowych wyznaczamy współrzędną zc środka ciężkości przekroju poprzecznego
$$x_{2c} = \frac{S_{a}}{A} = \frac{6*12*6 - 6*4*7}{48} = 5,5\ cm.$$
Moment bezwładności względem osi głównej środkowej, prostopadłej do kierunku działania obciążenia wynosi
$$I_{x_{3}} = \frac{6*12^{3}}{12} + 6*12*{0,5}^{2} - \frac{4*6^{3}}{12} - 4*6*{1,5}^{2} = 756\ \text{cm}^{4}.$$
Naprężenia normalne σx = σ w górnych i dolnych skrajnych włóknach wynoszą:
Przekrój α – α
$$\sigma_{g} = \frac{\left( - 1300 \right)*\left( - 5,5 \right)}{756} = 9,46\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}} = 94,6MPa,$$
$$\sigma_{d} = \frac{\left( - 1300 \right)*\left( 6,5 \right)}{756} = \ - 11,18\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}} = - 111,8\ MPa = \sigma_{\text{xmin}}.$$
Przekrój β-β
$$\sigma_{g} = \frac{1200*\left( - 5,5 \right)}{756} = - 8,73\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}} = - 87,3\ MPa,$$
$$\sigma_{d} = \frac{1200*(6,5)}{756} = 10,32\frac{\text{kN}}{\text{cm}^{2}} = 103,2MPa = \sigma_{\text{xmax}}.$$
Tak więc największe naprężenia ściskające występują w skrajnych dolnych włóknach przekroju α-α (σmin=−111,8MPa), a największe naprężenia rozciągające również w skrajnych dolnych włóknach lecz w przekroju β-β (σmax=103,2 MPa). Wykresy naprężeń normalnych w przekroju α-α i β-β pokazano na rys. 6.2b.
Wykres naprężeń stycznych τxz sporządzono dla przekroju α-α na podstawie obliczenia charakterystycznych rzędnych (por. rys. 6.2b).
Największe naprężenia styczne wystąpią na osi obojętnej
$$\tau_{13}^{1^{'}} = \tau_{\text{xz}}^{1^{'}} = \frac{12*6*4*3,5}{756*6} = 0,222kN/\text{cm}^{2} = 2,22MPa,$$
$$\tau_{13}^{1^{''}} = \tau_{\text{xz}}^{1^{''}} = \frac{12*6*4*3,5}{756*2} = 0,666kN/\text{cm}^{2} = 6,66MPa,$$
$$\tau_{13}^{2^{'}} = \tau_{\text{xz}}^{2^{'}} = \frac{12*6*2*5,5}{756*2} = 0,524kN/\text{cm}^{2} = 5,24MPa,$$
$$\tau_{13}^{2^{''}} = \tau_{\text{xz}}^{1^{''}} = \frac{12*6*2*5,5}{756*6} = 0,175kN/\text{cm}^{2} = 1,75MPa,$$
q qa2
2a a
q qa2
qa qa
2a a
T – siły tnące
M – momenty zginające
q
qa qa Reakcje
qa2
qa qa