Stateczność ciał pływających
Cel i zakres doświadczenia
Cel doświadczenia:
Wyznaczenie wysokości metacentrycznej katamaranu względem osi podłużnej, w zależności od jego obciążenia.
Analiza błędów pomiarowych
Wstęp teoretyczny:
Na każde ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu skierowana pionowo w górę oraz siła ciężkości o przeciwnym zwrocie. By ciało pływało obie te siły muszą się równoważyć (więc G=W). Dla niewielkich wychyleń ciała pływającego z pozycji równowagi, wektor wyporu zmienia swój punkt zaczepienia, ponieważ zmienia się kształt części zanurzonej ciała, a wraz z nim geometryczny środek. Wektor wyporu skierowany pionowo do góry przecina oś pływania w punkcie zwanym metacentrum (M). Wysokość tego punktu ponad środek ciężkości ciała pływającego (zwana wysokością metacentryczną) określa jego stopień równowagi.
Przyjmujemy, że znak wysokości metacentrycznej jest dodatni, jeśli punkt M jest ponad środkiem ciężkości. Wyróżniamy 3 stopnie równowagi:
gdy M > Sc stan równowagi trwałej
gdy M = Sc stan równowagi obojętnej
gdy M < Sc stan równowagi chwiejnej
Wysokość metacentryczną można określić:
analitycznie – korzystając ze wzoru:
[m]
gdzie:
m – wysokość metacentryczna [m],
J – moment bezwładności pola przekroju ciała płaszczyzną pływania względem jego osi obrotu [m4],
V – objętość zanurzonej części ciała [m3],
a – odległość liczona w górę od środka wyporu do środka ciężkości ciała [m].
doświadczalnie – korzystając ze wzoru:
[m]
gdzie:
G’ – ciężar obciążnika, powodującego wychylenie ciała [N],
- odległość między osią modelu i położeniem obciążnika G’ [m],
W – wypór [N],
- kąt wychylenia odpowiadający wielkości b, [rad].
Schemat stanowiska
Opis stosowanych urządzeń pomiarowych
Termometr – pomiar temperatury cieczy
Linijka – pomiar wymiarów katamaranu
Wahadło z podziałką – odczyt wychylenia katamaranu pod wpływem obciążenia jednej z ruf
Opis przebiegu doświadczenia
Odczyt temperatury i ciśnienia panującego w pomieszczeniu
Ustawienie katamaranu na powierzchni wody w naczyniu do tego przeznaczonym
Zmierzenie wysokości masztu i długości wahadła
Wypełnienie „ładowni” katamaranu obciążeniami wg schematu podanego w protokole
Przyłożenie kolejno ciężarków o różnej masie do każdej z ruf, dla każdego wariantu obciążenia katamaranu
Sprawdzenie, czy wahadło jest położone prostopadle do zwierciadła wody
Odczekanie, aż zwierciadło wody się ustabilizuje
Odczyt wychylenia wahadła
Powtórzenie czynności, aż do sprawdzenia każdego wariantu
Wyjęcie katamaranu z wody
Zmierzenie wymiarów katamaranu
Odczyt temperatury wody
Sposób wykonania ćwiczenia
Umieściliśmy katamaran na powierzchni wody w zbiorniku do tego przeznaczonym. Następnie zmierzyliśmy wysokość masztu i długość wahadła. Kolejnym krokiem było wypełnienie każdej z „ładowni” dwiema płytkami stalowymi o masie 436g każda. Następnie w odległości 10 cm od masztu umieszczono ciężarek o masie 317g. Po ustabilizowaniu się powierzchni zwierciadła wody, odczytano wychylenie wahadła i czynność powtórzono dla drugiej rufy. W następnej kolejności przykładano ciężarki o masie 400 i 200 g i postępowano analogicznie. Reszta pomiarów wyglądała bardzo podobnie, różniła się jedynie sposobem wypełnienia ładowni. Użyto płytek winidurowych o masie 118 g i płytek styropianowych o masie pomijalnie małej do masy całego katamaranu, która wynosiła 3,52kg. Tabelka przedstawia sposób obciążanie katamaranu:
Układ | Materiał |
---|---|
1 | - |
2 | - |
3 | winidur |
4 | stal |
Zestawienie wyników pomiarów
Poniższa tabelka przedstawia stałe wykorzystane przy obliczeniach
katamaran [kg] | płytka stalowa [kg] | płytka winidurowa [kg] | wysokość masztu b [m] | gęstość wody ρ [kg/m3] | długość wskazówki [mm] | g [m/s2] | długość wskazówki [m] |
---|---|---|---|---|---|---|---|
3,52 | 0,436 | 0,118 | 0,02 | 997,99 | 147 | 9,81 | 0,0147 |
Kolejne tabele przedstawiają obliczenia metacentrum dla wszystkich wariantów ustawienia ładunków, zachowując stałe obciążenie siłą skupioną pochodzącą z przyłożonych ciężarków.
φ/2 (1) oznacza wychylenie wahadła po lewej stronie, a φ/2 (2), po prawej.
Tg(φ) obliczamy ze wzoru :
$$tg\varphi = \frac{\varphi}{b}$$
Matacentrum zaś, ze wzoru:
$m = \frac{G^{'} \bullet b}{W \bullet \varphi}$
masa obciążnika 1 = 0,317kg |
---|
Wariant wypełnienia |
1 |
2 |
3 |
4 |
masa obciążnika 2 = 0,4kg |
---|
Wariant wypełnienia |
1 |
2 |
3 |
4 |
masa obciążnika 3 = 0,2kg |
---|
Wariant wypełnienia |
1 |
2 |
3 |
4 |
Analiza błędów
Błędy pomiarowe generowane były przez niepewność oka ludzkiego przy odczycie kąta wychylenia wahadła. Zwierciadło wody nie było całkowicie spokojne i wahadło cały czas wykonywało delikatne ruchy. Błędy liczono ze wzorów:
$$tg\varphi = \frac{1}{b} \bullet (\varphi)$$
$$m = \left| \frac{G^{'} \bullet b}{W \bullet \varphi} \right| - \left| \frac{G^{'} \bullet b \bullet \varphi}{W \bullet \varphi^{2}} \right|$$
Niepewności pomiarów przedstawia tabela:
Δb[m] | Δφ/2(m) | Δφ(m) |
---|---|---|
0,0001 | 0,0002 | 0,0004 |
Natomiast ostateczne zestawienie błędów zamieszczone jest w tabeli poniżej:
Wariant wypełnienia | Δm1 | Δm2 | Δm3 |
---|---|---|---|
1 | 0,01892 | 0,006894 | 0,02344 |
2 | 0,008664 | 0,005228 | 0,009054 |
3 | 0,009248 | 0,005179 | 0,01625 |
4 | 0,004144 | 0,003056 | 0,009054 |
Wnioski
Wszystkie obliczone wysokości meta centryczne są dodatnie. Katamaran był wiec przez cały czas w stanie równowagi trwałej. Stosunkowo duże błędy spowodowane są niedokładnością odczytu wychylenia wahadła z położenia równowagi. Wysokość metacentryczna ściśle zależy od warunków geometrycznych ciała.