Wyznaczanie statycznego, kinetycznego oraz tocznego współczynnika tarcia

Data Ćwiczenia:	21.10.2010, Czwartek TP
Wykonawcy:	Paulina Poprawska 181395 Michał Smolarczyk 171986 Jan Grzeszczak 181492
Ocena:

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynników tarcia: kinetycznego, statycznego oraz tocznego dla różnych materiałów.

Opis metody pomiarowej

Stanowisko pomiarowe stanowi równia pochyła z regulowanym kątem nachylenia. Do równi możemy przyczepiać płaszczyzny różnych materiałów, by badać współczynniki tarcia między różnymi substancjami.

1. Współczynnika tarcia statycznego

Badany przedmiot należy położyć na równi i zwiększać kąt nachylenia, aż klocek poruszy się. Największy kąt, przy który nie następuje ruch, pozwala za pomocą równania sił wyznaczyć współczynnik tarcia.

T = F – statyczne równanie równowagi (1)

T = μN – wzór na tarcie (2)

Rozkładając siłę przyciągania grawitacyjnego F_g =mg na N – nacisk oraz F – siłę równoległą do równi

μ mg cosα = T (3a)

mg sinα = F (3b)

$\mu = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tgα}$ (4)

1. Współczynnik tarcia kinetycznego

Równię należy ustawić pod takim kątem, że postawiony na niej przedmiot będzie zjeżdżał. Niezwykle trudne jest uzyskanie ruchu jednostajnego, więc pomiaru będziemy dokonywać przy ruchu jednostajnie przyspieszonym. Skorzystamy ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym przy zerowej prędkości początkowej: $S = a\frac{t^{2}}{2}$, z którego można wyznaczyć przyspieszenie mierząc drogę i czas potrzebny do jej pokonania.

ma = F − T – równanie sił ruchu jednostajnie przyspieszonego (5)

$a = \frac{2S}{t^{2}}$ (6)

Podstawiając (6) i (2) do (5) otrzymujemy:

$F - T = m\frac{2S}{t^{2}}$ (7)

Po przekształceniach można uzyskać taki wzór na współczynnik tarcia:

$\mu = \text{tgα} - \frac{2S}{t^{2}g\cos\alpha}$ (8)

1. Współczynnik tarcia tocznego

Metoda pomiaru tarcia tocznego opiera się na fakcie, że tarcie jest siłą, można więc skorzystać z wzoru: ∆E=FS. Na równi pochyłej zawieszamy na nici kulkę, którą odchylamy o ustalony kąt i mierzymy kąt, o który będzie odchylała się kulka po określonej ilości wahnięć. Zmiana położenia maksymalnego wychylenia pozwoli na obliczenie straty energii, a więc i tarcia.

$f = r\frac{T}{N}$ - współczynnik tarcia tocznego (9)

$T = \frac{E}{S}$ (10)

E = mgH (11)

Po podstawieniu (3b), (10) oraz (11) otrzymujemy następujący wzór:

$f = r\frac{T}{N} = r\frac{\text{mg}H}{S\ \text{mg}\ \text{cosα}} = r\ \frac{l\ \text{sinα}}{S\ \text{cosα}} = \ r\frac{l\ \text{tgα}}{S}$ (12)

l można przybliżyć za pomocą wzoru obarczonego małym błędem dla małych kątów (warunek spełniony dla naszego przypadku): $\cos\beta = 1 - \frac{\beta^{2}}{2}$

$\ l = {l\ (\cos\beta}_{k} - \cos\beta_{0}) \approx l\frac{\beta_{0}^{2} - \beta_{k}^{2}}{2}$ (13)

S = 2n(β₀ + β_k)l – wzór na drogę pokonaną przez kulkę (14)

Równania (13) i (14) podstawiamy do (12) dochodząc do końcowego wzoru:

$f = r\frac{l\ \text{tgα}}{S} = d\ \text{tgα}\frac{\beta_{0} - \beta_{k}}{8n}$ (15)

Stanowisko pomiarowe

Rys.1. Stanowisko pomiarowe 1 – przedmiot postawiony na równi pochyłej o regulowanym kącie z zaznaczonymi siłami
Rys.2. Stanowisko pomiarowe 2 – powierzchnia równi pochyłej i kulka zawieszona na nici o długości l

Protokół pomiarowy

Tabela 1 – współczynnik tarcia statycznego

LP	1	2	3
materiał 1	drewno	drewno	tworzywo
materiał 2	tworzywo	metal	metal
	kąt nachylenia równi α, ˚
1	9	14	9
2	7	12	10
3	7	11	9
4	11	12	8
5	8	10	8
6	8	9	8
średnia, ˚	8	11	9
odchylenie standardowe, ˚	1,5	1,8	0,8
niepewność pomiaru, ˚	1	1	1
niepewność wyniku, ˚	1,7	1,9	1

Tabela 2 – współczynnik tarcia kinetycznego

LP	1	2
materiał 1	drewno	drewno
materiał 2	tworzywo	metal
kąt nachylenia α, ˚	10	13
1	2,09	7,85
2	1,87	6,30
3	2,00	6,50
4	1,85	5,90
5	2,18	5,94
6	1,82	5,50
średnia, s	1,97	6,33
odchylenie standardowe, s	0,15	0,82
niepewność pomiaru, s	0,6	0,6
niepewność wyniku	0,48	0,94
droga S, cm	39	39

Tabela 3 – współczynnik tarcia tocznego

LP	1	2	3
materiał 1	Metal
materiał 2	Ebonit
kąt nachylenia równi α, ˚	13	16	22
odchylenie kulki po 5 wachnięciach	αk, ˚
1	5	6	6
2	4	5	6
3	4	5	6
4	4	6	6
5	4	6	6
6	4	5	7
średnia	4	6	6
odchylenie standardowe	0,41	0,55	0,41
niepewność pomiaru	1	1	1
niepewność wyniku	0,71	0,80	0,71

n=5 – liczba wachnięć

d=34,62mm – średnica kulki

∆d=0,03mm

α₀=15˚ - pierwotne wychylenie kulki dla wszystkich pomiarów

Wyniki obliczeń

Wszystkie błędy są obliczone za pomocą metody różniczki zupełnej. Kąty w stopniach przelicza się na radiany, gdy trzeba zachować wielkość bezwymiarową.

1. Współczynnika tarcia statycznego

$$\mu = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tgα}$$

$$\mu = \frac{\alpha}{{\cos\alpha}^{2}}$$

LP	1	2	3
materiał 1	drewno	drewno	tworzywo
materiał 2	tworzywo	metal	metal
μ	0,141	0,194	0,158
μ	0,031	0,035	0,018
$\frac{\mu}{\mu}$, %	21,9	18,0	11,4

1. Współczynnik tarcia kinetycznego

$$\mu = \text{tgα} - \frac{2S}{t^{2}g\cos\alpha}$$

$$\mu = \frac{4St}{t^{3}g\cos\alpha} + \frac{\alpha}{{\cos\alpha}^{2}} + \frac{\alpha\ 2S\sin\alpha}{t^{2}g\cos^{2}\alpha} + \frac{2S}{t^{2}g\cos\alpha}$$

LP	1	2
materiał 1	drewno	drewno
materiał 2	tworzywo	metal
μ	0,156	0,229
μ	0,029	0,019
$\frac{\mu}{\mu}$, %	18,6	8,3

1. Współczynnik tarcia tocznego

$$f = d\ \text{tgα}\frac{\beta_{0} - \beta_{k}}{8n}$$

$$f = d\ \text{tgα}\frac{\beta_{0} - \beta_{k}}{8n} + {(\beta}_{0} + {\beta}_{k})\frac{\text{tgα}}{8n} + \alpha\ d\frac{\beta_{0} - \beta_{k}}{8n\ \cos^{2}\alpha}$$

Tabela3 – współczynnik tarcia tocznego

LP	1	2	3	4
materiał 1	metal
materiał 2	ebonit
f, 1/m	0,00220	0,00223	0,00315	0,00263
f, 1/m	0,00037	0,00040	0,00047	0,00042
$\frac{f}{f}$, %	16,8	17,9	14,9	16,0

Kolumna o numerze 4 przedstawia wypadkowy współczynnik tarcia tocznego

Wnioski

Wbrew powszechnej wiedzy współczynnik tarcia statycznego okazał się mniejszy niż współczynnik tarcia kinetycznego, co świadczy o wielkiej niedokładności przy prowadzeniu pomiarów. Niepewności pomiaru są jednak tak duże (połowa mieści się w przedziale 15-20%), że dopuszczają poprawność wyniku (jeśli prawdziwa wartość tarcia statycznego mieści się w górnej, a wartość tarcia kinetycznego w dolnej granicy błędu). Wartości poszczególnych współczynników można odczytać z tabel wyników.