Referat na temat Wahadła Matematycznego

1.Teoria Wahadła Matematycznego
Wahadło - bryła sztywna wykonująca drgania wokół osi (zwykle poziomej) nieprzechodząc ej przez środek ciężkości bryły; w zależności od konkretnych rozwiązań i zastosowań rozróżnia się: wahadło rewersyjne, wahadło balistyczne, wahadło kompensacyjne, wahadło torsyjne, wahadło zegarowe. 

Wahadłem matematycznym - nazywamy ciało o masie m skupionej w jednym punkcie, zawieszonej na nieważkiej nici o stałej długości l.

W praktyce nie jest to możliwe do zrealizowania, gdyż nie istnieje nieważka, nierozciągliwa nić i nie ma ciała, którego masa byłaby skupiona w jednym punkcie. Dobrym przybliżeniem do tego ideału może być metalowa kulka zawieszona na cienkiej, stosunkowo mało rozciągliwej nici.

Wahadło wykonuje ruch drgający. Drgania są w poziomie. Za ruch drgający wahadła matematycznego odpowiada składowa ciężaru ciała.

Okresem tego ruchu - czyli okresem wahań wahadła T , nazywamy czas potrzebny na przebycie przez wahadło drogi od punktu maksymalnego wychylenia poprzez przejście przez punkt równowagi do maksymalnego wychylenia w druga stronę i z powrotem, a wiec czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego wahnięcia.
    Zachodzi pytanie, czy obserwowany ruch drgający jest ruchem harmonicznym?
Aby się o tym przekonać, należy wyznaczyć przyspieszenie lub siłę w tym ruchu drgającym i sprawdzić, czy jest ona proporcjonalna do wychylenia i zwrócona ku środkowi drgań. W tym celu zbadajmy, jaka siła działa na odchylony punkt materialny o masie m

(Wahadło matematyczne.)

2. Przyrządy Pomiarowe 
Na metalowym pręcie umieszczona jest lekka płytka, która w zależności od ustawienia względem płaszczyzny ruchu wahadła powoduje większy lub bardzo mały opór powietrza. Prócz tego możemy zmienić moment bezwładności. Wahadła, umieszczając na pręcie dodatkową masę m. Do tego wykorzystamy: sznurek, przyrząd do mierżenia długości, stojak, obciążnik.

3.Opis Doświadczenia
1) Zawiesić wahadło na stojaku.
2) Mierzymy długość sznurka, co będzie nam potrzebne do obliczeń. 
3) Wprawiamy wahadło w ruch, i powtarzamy czynności z punktu 2 (10-razy).
4) Zapisujemy przebieg doświadczenia w tabeli
5) Obliczamy średnią długość i okres wahań.
6) Przekształcamy wzór tak, aby obliczyć wartość „przyśpieszenia ziemskiego” ***.
7) Przedstawimy Rachunek błędu.
8) I podsumowujemy nasze zaobserwowania.

Ponieważ m, l, g są dla określonego wahadła wielkościami stałymi, a więc siła poruszająca F jest wprost proporcjonalna do wielkości wychylenia s. Wynika stąd, że ruch wahadłowy jest dla małych wychyleń ruchem harmonicznym.

Dla małych drgań okres drgań

jest niezależny od amplitudy, co nazywamy izochronizmem drgań. Tę właściwość wahadła odkrył włoski fizyk i astronom Galileusz, obserwując wahania żyrandola w katedrze.

ze wzoru na okres drgań tego wahadła możemy wyznaczyć wzór na przyspieszenie ziemskie:

/²

/*g

/: T²

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego:

1. KOLEJNOŚĆ CZYNNOŚCI:

• zawieszamy ciężarek na sznurku

• mocujemy sznurek do statywu

• mierzymy długość wahadła od punktu mocowania do środka ciężarka na końcu wahadła

• odchylamy wahadło o niewielki kąt

• mierzymy czas 10 wahnięć

• Pomiar powtarzamy 3 razy

• zmieniamy długość wahadła raz i powtarzamy pomiary

• wyniki pomiarów zamieszczamy w tabeli

Tabela:

Lp.	Długość wahadła L wyrażona w [cm]	Czas 10 wahnięć T10	Czas jednego wahnięcia T	Przyspieszenie ziemskie $$\mathbf{g}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{*l}}{\mathbf{T}^{\mathbf{2}}}$$
1.	90,5	19	1,9	9,89
2.	91	19,1	1,91	9,86
3.	90,6	19,2	1,92	9,71
	Lśr = 90,7		Tśr = 1,91	gśr = 9,86

$$< L > \frac{1}{n}\text{Σ\ }Li = \frac{90,5 + 91 + 90,6}{3} = \frac{272,1}{3} = 90,7$$

$S_{x}^{2} = \frac{1}{n - 1}\ \Sigma\ (Li - {< L > )}^{2} = \ \frac{{0,5}^{2} + 0^{2} + {0,6}^{2}}{2} = \ \frac{0,61}{2} =$ 0,305

$$s_{< x > \ }^{2} = \frac{1}{n}\text{\ S}x^{2} = \frac{0,305}{3} = 0,101$$

S_<x>² = 0, 102

<L >   = 91 ∓ 0, 102

$$< T > \ = \ \frac{1,9 + 1,91 + 1,92}{3} = \frac{5,73}{3} = 1,91$$

$$S_{T}^{2} = \frac{1}{3 - 1} = \left( {0,02}^{2} + {0,01}^{2} + 0^{2} \right) = \frac{0,0005}{2} = 0,00025$$

$$S_{< T >}^{2} = \frac{1}{3}\ S_{t}^{2} = \frac{0,00025}{3} = 0,0000833$$

$$S_{< T >} = \sqrt{0,0000833} = 0,00912$$

$$q = 4\pi^{2}\frac{< L >}{{< T >}^{2}} = {4*(3,141)}^{2}\frac{91}{{1,91}^{2}} = 39,47\frac{91}{3,64} = 39,47*25 = 986\left\lbrack \frac{\text{cm}}{s^{2}} \right\rbrack = 9,86\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

$S_{q} = \frac{4\pi^{2}}{< T >^{2}}\ s_{< L >} + \frac{8\pi^{2} < L >}{< T >^{3}}\ S_{< T >} = \frac{4*9,86}{3,64}*0,102 + \frac{8\ *\ 9,86 + \ 91}{6,967}*0,00912 = 1,327(5)\ \ $ q = 9, 86∓ 1,327

• Analiza błędu:

Otrzymany wynik mieści się w granicy błędu, jednakże do otrzymanego błędu mogło się przyczynić:

• niedokładność przyrządu pomiarowego przy pomiarze długości wahadła

• niedokładność pomiaru czasu 10 wahnięć wahadła

• Porównanie otrzymanego wyniku z wartością tablicową

Z tablic fizycznych odczytałem, że przyspieszenie standardowe siły ciężkości g wynosi 9,81 m/s². Ja uzyskałam wynik 9,86 m/s².

Michał Makarewicz

„Pomiar przyśpieszenia ziemskiego Wahadła matematycznego.”