Sygnał – funkcja czasowa dowolnej wielkosci o charakterze energetycznym,ktorym mozna wyrazic 2 elementy: nosnik i parametr informacyjny

Węzeł zaczepowy (rys. powyżej) pozwala na realizację funkcji pobrania sygnału w celu przekazania go do innego miejsca układu regulacji. Ważną cechą węzła zaczepowego jest to, że pobranie sygnału nie zmienia wartości sygnału w torze w którym dany „zaczep” jest dokonany. Sygnał y może być przekazany do dalszego przetwarzania, a równocześnie jest pobierany w celu porównania z wartością zadaną. Ta ostatnia czynność jest realizowana w węźle sumacyjnym. Tak więc, węzeł sumacyjny realizuje operację sumy sygnałów wchodzących do węzła. Poprawnie zaprojektowany układ regulacji powinien zapewnić zmiany wielkości regulowanej y w sposób określony wartością zadaną x tej wielkości niezależnie od zakłócenia z.

Element automatyki – jest to urządzenie występujące w układzie automatycznej regulacji, w którym można wyróżnić wyjścia i wejścia

Obiekt sterowania – każdy proces lub zjawiska podlegające regulacji

Układ sterowania – jest to sposob przedstawiania ukladuF dynamicznych w postaci blokowej

Charakterystyka statyczna – określa właściwości statyczne elementu automatyki, opisuje zależność między sygnałem wejściowym i wyjściowym danego elementu w stanie ustalonym

$$tg\alpha \bullet \frac{x}{a} = \frac{y}{b}$$

$$\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$$

$$y = \frac{\text{xb}}{a} = \frac{b}{a}x$$

$$y = kx\ \rightarrow k = \frac{y}{x} = \frac{3}{1} = 3$$

Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) – stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego układu przy zerowych warunkach początkowych: $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U(s)}$

Równanie charakterystyczne – równanie powstające w wyniku przyrównania mianownika transmitancji operatorowej do zera: a_nsⁿ + a_n − 1s^n − 1 + ⋯ + a₁s + a₀ = 0

$$T\dot{y} + y = kx$$

$$3\dot{y} + y = 0,5$$

$$G\left( s \right) = \frac{y(s)}{x(s)} = \frac{0,5}{3s + 1}$$

Układ dynamiczny opisany jest ogólnym równaniem ruchu w postaci:gdzie: x- wektor sygnałów wejściowych, y- wektor sygnałów wyjściowych. Przyjmując, że zależność pomiędzy wejściem a wyjściem jest liniowa to otrzymujemy następujące równanie różniczkowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach: $\frac{d^{n}y(t)}{\text{dt}^{n}} + a_{n - 1}\frac{d^{n - 1}y(t)}{\text{dt}^{n - 1}} + \ \ldots + a_{1}\frac{\text{dy}(t)}{\text{dt}} + a_{0}y\left( t \right) = b_{m}\frac{d^{m}x(t)}{\text{dt}^{m}} + b_{m - 1}\frac{d^{m - 1}x(t)}{\text{dt}^{m - 1}} + \ \ldots + b_{1}\frac{\text{dx}(t)}{\text{dt}} + b_{0}x\left( t \right)$ gdzie współczynniki a₀, a₁,..., a_n-1 oraz b₀, b₁,..., b_m są stałymi rzeczywistymi. Dokonując transformaty Laplace'a na obu stronach równania ruchu przy założeniu zerowych warunków początkowych otrzymujemy postać: (sⁿ+a_n − 1s^n − 1+ …+a₁s+a₀)Y(s) = (s^m+b_m − 1s^m − 1+ …+b₁s+b₀)X(s)Po przekształceniu otrzymujemy transmitancję operatorową danego elementu: $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{s^{m} + b_{m - 1}s^{m - 1} + \ \ldots + b_{1}s + b_{0}}{s^{n} + a_{n - 1}s^{n - 1} + \ \ldots + a_{1}s + a_{0}}$

Kryterium Nyquista – kryterium częstotliwościowe, stosowane do systemów ze sprzężeniem zwrotnym. Jeżeli otwarty układ regulacji jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo-fazowa G(jω) dla pulsacji 0 < ω < ∞ nie obejmuje punktu (-1, j0), to wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie on również stabilny. Układ zamknięty jest stabilny, jeżeli punkt (-1, j0) znajduje sie w obszarze leżącym po lewej stronie charakterystyki G(jω), idąc w stronę rosnących ω. Jeżeli otwarty układ automatyki jest niestabilny i posiada m pierwiastków w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s, to po zamknięciu będzie on stabilny, wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego dla częstości ω zmieniającej się od 0 do ∞ okrąża $\frac{m}{2}$ razy punktu (-1, j0) w kierunku dodatnim (w przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

W odróżnieniu od kryterium Hurwitza, nie zakłada, że transmitancja systemu musi mieć postać funkcji wymiernych – może być więc stosowane również do systemów o stałych rozłożonych. Kryterium Hurwitza wymaga znajomości postaci analitycznej wielomianu mianownika transmitancji – kryterium Nyquista oferuje większe możliwości, gdyż wystarczy znajomość odpowiednich charakterystyk częstotliwościowych systemu.

Ze względu na końcową wartość odpowiedzi skokowej, rozróżnia się:

- statyczne (których wartość odpowiedzi skokowej dąży do wartości skończonej)

- astatyczne (których wartość odpowiedzi skokowej dąży do nieskończoności)

Kryterium Hurwitza – algebraiczne kryterium stabilności, oparte na badaniu współczynników równania charakterystycznego. Pozwala ono na sprawdzenie, czy równanie algebraiczne dowolnego stopnia ma wyłącznie pierwiastki ujemne lub o ujemnych częściach rzeczywistych.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, żeby układ liniowy stacjonarny ciągły był stabilny asymptotycznie, jest aby:

-wszystkie współczynniki równania charakterystycznego a_nsⁿ + a_n − 1s^n − 1 + … + a₁s + a₀ = 0 istniały i były większe od zera a_i > 0,  i = 1, 2, …, n

-wszystkie podwyznaczniki głowne (minory) wyznacznika _n (wyznacznika Hurwitza) były większe od zera

Kryterium to umożliwia stwierdzenie stabilności asymptotycznej, jak i nieasymptotycznej. Możliwość wystąpienia stabliności nieasymptotycznej zachodzi wtedy, keidy w równaniu charakterystycznym współczynnik a₀ = 0. Po podzieleniu stron równania przez s, otrzymujemy równianie stopnia n-1, w odniesieniu do którego stosujemy kryterium Hurwitza.

Narysować charakterystyki elementu z podaniem współrzędnych punktów charakterystyki o transmitancji $G\left( s \right) = \frac{10s}{s + 1}$

-Charakterystyka skokowa

-charakterystyka impulsowa

$$G\left( s \right) = \frac{1}{s(10s + 1)}$$

-charakterystyka impulsowa

-charakterystyka skokowa

Wyznaczyć odpowiedź elementu na wymuszenie skokowe

$G\left( s \right) = \frac{10s}{s + 1}$ $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)}$ $Y\left( s \right) = G\left( s \right) \bullet X\left( s \right) = \frac{10s}{s + 1} \bullet \frac{1}{s} = \frac{10s}{s(s + 1)}$

$Y\left( s \right) = \frac{A}{s} + \frac{B}{(s + 1)} = \frac{As + A + Bs}{s(s + 1)}$ $\left\{ \begin{matrix} A + B = 10 \\ A = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $ $\left\{ \begin{matrix} A = 0 \\ B = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

$$y\left( t \right) = 10 \bullet \frac{1}{s + 1} = 10 \bullet e^{- t}$$

$G\left( s \right) = \frac{1}{s(10s + 1)}$ $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)}$ $Y\left( s \right) = G\left( s \right) \bullet X\left( s \right) = \frac{1}{s(10s + 1)}$

$\frac{A}{s} + \frac{B}{10s + 1} = \frac{10As + A + Bs}{s(10s + 1)}$ $\left\{ \begin{matrix} 10A + B = 0 \\ A = 1 \\ \end{matrix} \right.\ $ $\left\{ \begin{matrix} A = 1 \\ B = - 10 \\ \end{matrix} \right.\ $ $Y\left( s \right) = \frac{A}{s} + \frac{B}{(10s + 1)} = \frac{1}{s} - \frac{10}{(10s + 1)}$

y(t) = t − 10e^−t

Wykonać rozkład funkcji na ułamki proste:

$$Y\left( s \right) = \frac{1}{s(5s + 1)(10s + 1)}$$

$$Y\left( s \right) = \frac{A}{s} + \frac{B}{5s + 1} + \frac{C}{10s + 1} = \frac{A\left( 5s + 1 \right)\left( 10s + 1 \right) + B\left( 10s + 1 \right)s + C\left( 5s + 1 \right)s}{s(5s + 1)(10s + 1)} = \frac{A\left( 50s^{2} + 15s + 1 \right) + B\left( 10s^{2} + s \right) + C(5s^{2} + s)}{s(5s + 1)(10s + 1)} = \frac{50As^{2} + 15As + A + 10Bs^{2} + Bs + 5Cs^{2} + Cs}{s(5s + 1)(10s + 1)}$$

$$\left\{ \begin{matrix} 50A + 10B + 5C = 0 \rightarrow 50 - 5\left( - 15 - B \right) = - 10B \\ 15A + B + C = 0 \rightarrow C = - 15 - B \\ A = 1 \\ \end{matrix} \right.\ $$

50 + 75 + 5B = −10B → 125 = −15B

$$\left\{ \begin{matrix} A = 1 \\ B = 5 \\ C = - 20 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$Y\left( s \right) = \frac{1}{s} + \frac{5}{5s + 1} - \frac{20}{10s + 1}$$

Jak stała całkowania T_i regulatora wpływa na odpowiedź układu regulacji?

$G\left( s \right) = \frac{Y_{1}(s)}{E(s)} = \frac{1}{T_{i}S}$ , gdzie T_i – stała całkowania regulatora, czas zdwojenia. Odpowiedź na uchyb skokowy - $y_{1}\left( t \right) = \frac{e_{\text{st}}}{T_{i}}t$

Jak wzmocnienie regulatora k_p wpływa na odpowiedź układu regulacji?

$G\left( s \right) = \frac{Y_{1}(s)}{E(s)} = k_{p}$ Odpowiedź na uchyb skokowy y₁(t) = k_p • e_st

Podać różnice między obiektami statycznymi i astatycznymi, różnice zinterpretować graficznie

Przedstawić różnice w odpowiedzi skokowej elementu inercyjnego pierwszego rzędu, całkującego idealnego i różniczkującego rzeczywistego

Wykres Nyquista

Przedstawić na odpowiedzi sinusoidalnej sytuację o parametrach M=0,5; fi = 30 stopni

e^jφ = cos(φ) + jsin(φ)

x(t) = M(ω)(cos(ωt)+jsin(ωt)) = M(ω)•e^jωt