Wydział Budownictwa, Architektury
i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Zagadnienia dynamiczne teorii konstrukcji

Drgania płyt

Dominika Cichańska

Kierunek: budownictwo

Grupa 4 (TOB)

Studia stacjonarne II-go stopnia

Semestr I

Bydgoszcz, rok akademicki 2013/2014

1. Wstęp

Drganiem lub ruchem drgającym nazywamy taki ruch, przy którym badana współrzędna na przemian zbliża się lub oddala od pewnej przeciętnej wartości. Wartość ta może być ustalona w czasie. Wtedy przyjmujemy ją zwykle za wartość zerową w danym układzie współrzędnych. Wartość przeciętną może też być zmienna w czasie w jakikolwiek sposób.

Rys. 1. Drgania regularne (okresowe, harmoniczne).

Drgania są ruchami bardzo często występującymi. W maszynach występujących one na ogół jako ruchy pasożytnicze występujące obok głównych ruchów roboczych. Chociaż zmiany wartości współrzędnych w tych ruchach są małe, to jednak wywołują one bardzo istotne skutki, najczęściej szkodliwe. Szkodliwość drgań wynika z powtarzalności przemieszczeń. Wywołują one zmienne obciążenia powodujące szybko zniszczenie maszyn poprzez powstanie zmęczenia materiału, zwiększenie zużycia powierzchni trących, zwiększenie luzów itp.

Rys. 2. Drgania nieregularne (nieokresowe, chaotyczne).

Drgania mogą powodować niewłaściwą pracę urządzeń nakładając się na ruchy robocze i zniekształcające je. W specjalnych przypadkach występują zjawiska rezonansowe oraz niestateczności, które prowadzą do powstania dużych obciążeń, a często do zniszczenia lub uszkodzenia maszyny. Drgania mogą mieć ujemny wpływ na organizm ludzki powodując zmęczenie lub stany chorobowe. W budowie maszyn i w innych gałęziach techniki wkłada się bardzo dużo wysiłku w łagodzenie i zmniejszanie drgań oraz usuwanie ich ujemnych skutków.

W pewnych przypadkach drgania są wywołane celowo jako ruch roboczy, np. w transportach wibracyjnych, urządzeniach udarowo-wibracyjnych itp.
Konstrukcje powierzchniowe, które przenoszą obciążenie prostopadłe do środkowej powierzchni (7.1) nazywa się płytami. W budowie maszyn i konstrukcjach budowlanych płyty stosowane są na podesty, podłogi, stropy, np. dach kabiny maszyn budowlanej czy wozu strzałkowego ,dach autobusu są konstrukcjami płytowymi.

1. Równanie drgań płyt

Fale rozchodzące się w cienkich płytach i prętach w istotny sposób różnią się od fal rozchodzących się we wszystkich kierunkach w ośrodku nieorganicznym. Mówimy tu o falach, których długość jest znaczna w porównaniu z grubością pręta lub płyty.
Konieczne jest rozróżnienie fal, w których drgania zachodzą równolegle do osi pręta lub płaszczyzny płyty, od fal o drganiach prostopadłych do tych kierunków.

Przykład

Zbadamy drgania poprzeczne jednorodnej płyty o stałej grubości h. Przyjmiemy, że odkształcenia płyty są sprężyste i liniowe. Przy zginaniu występuje warstwa obojętna położona w środku grubości. Punkty warstwy obojętnej przemieszczają się równolegle do osi z ( Rys. 3). Punkty leżące na prostopadłych M N do warstwy obojętnej pozostają po odkształceniu także na prostopadłych (M’ N’) do tej warstwy (Rys. 4).

Rys. 3.

Rys. 4.

Przy tym rzut przemieszczeń tych punktów na kierunku osi z są równe przemieszczeniu odpowiedniego punktu (A) warstwy obojętnej w kierunku osi z. Oznaczmy składowe przemieszczenia dowolnego punktu M w kierunkach osi x, y, z przez ξ , η , ζ , zaś składowe przemieszczenia punktów leżących w warstwie obojętnej przez u, v, w.

Z założeń podanych wyżej wynika, że:

u = v = 0, ζ = w. [2.1]

Natomiast z Rys. 4 widzimy, że:

$$\xi = h\sin{\varphi = h\varphi = - h\frac{\partial w}{\partial x},}$$

[2.2]

$$\eta = h\sin{\psi = h\psi = - h\frac{\partial w}{\partial y}.}$$

gdzie h oznacza odległość punktu od warstwy objętości. Składowe odkształcenia są określone wzorami:

$${\varepsilon_{x} = \frac{\partial\xi}{\partial x} = - \frac{\partial^{2}w}{\partial^{2}x^{2}}\ ,\backslash n}{\varepsilon_{y} = \frac{\partial\eta}{\partial y} = - \frac{\partial^{2}w}{\partial^{2}y^{2}}\ ,}$$

$${\gamma_{\text{xy}} = \ \ \frac{\partial\xi}{\partial y} + \ \frac{\partial\eta}{\partial x} = - 2h\frac{\partial^{2}w}{\partial x\partial y}\ \ ,\backslash n}{\gamma_{\text{xy}} = \gamma_{\text{yz}} = 0.}$$

Związki między naprężeniami i odkształceniami są następujące:

$${\sigma_{x} = \frac{E}{1 - \nu^{2}}\left( \varepsilon_{x} + \nu\varepsilon_{y} \right) = - \frac{\text{Eh}}{\left( 1 - \nu^{2} \right)}\left( \frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}} + \nu\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} \right),\backslash n}{\sigma_{y} = \frac{E}{1 - \nu^{2}}\left( \varepsilon_{y} + \nu\varepsilon_{x} \right) = - \frac{\text{Eh}}{\left( 1 - \nu^{2} \right)}\left( \frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} + \nu\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}} \right),\backslash n}{\sigma_{z} \approx 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{\lbrack 2.4\rbrack}\backslash n}{\tau_{\text{xy}} = \tau_{\text{yz}} = G\gamma_{\text{xy}} = - 2Gh\frac{\partial^{2}w}{\partial x\partial y} = - \frac{\text{Eh}}{\left( 1 - \nu^{2} \right)}\ \frac{\partial^{2}w}{\partial x\partial y}\text{\ \ }}$$

Wytnijmy z płyty element odcięty czteroma ścianami jak widać na Rys. 5 Na rysunku tym przedstawione zostały naprężenia występujące na ścianach elementu. Przy drganiach:

Rys. 5.

Poprzecznych przyspieszenie elementu jest skierowane wzdłuż osi z i może być określone wzorem:

$$p = \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\mathbf{\lbrack 2.5\rbrack}$$

zaś masa elementu wzorem :

dm = H𝜚dxdy.                                                                                           [2.6]

Ułóżmy równanie ruchu elementu jako równanie rzutów na kierunku osi z, oraz równanie momentów względem osi x i y.

$${pdm = - H\frac{\partial\tau_{\text{yz}}}{\partial y}dydx - H\frac{\partial\tau_{\text{yz}}}{\partial y}dxdy,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{\lbrack 2.7\rbrack}\backslash n}{2\int_{0}^{\frac{H}{2}}{\frac{\partial\sigma_{y}}{\partial y}dyhdhdx + 2\int_{0}^{\frac{H}{2}}{\frac{{\partial\tau}_{\text{xy}}}{\partial x}dxhdhdy + \tau_{\text{yz}}Hdydx = 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{\lbrack 2.8\rbrack}}}}$$

$$2\int_{0}^{\frac{H}{2}}{\frac{\partial\sigma_{y}}{\partial x}dxhdhdy + 2\int_{0}^{\frac{H}{2}}{\frac{{\partial\tau}_{\text{yz}}}{\partial y}dyhdhdx + \tau_{\text{yz}}Hdydx = 0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{\lbrack 2.9\rbrack}}}$$

Po podstawieniu wartości wynikających z wzorów [2.4] otrzymujemy:

$$H_{0}\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}dxdy = - H\frac{{\partial\tau}_{\text{yz}}}{\partial y}dydx - H\frac{{\partial\tau}_{\text{xz}}}{\partial x}dxdy,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{\lbrack 2.10\rbrack}$$

$- \frac{E}{1 - \nu^{2}}\left( \varepsilon_{y} + \nu\varepsilon_{x} \right) =$ [2.11]

$$= - \frac{\text{Eh}}{\left( 1 - \nu^{2} \right)}\left( \frac{\partial^{3}w}{\partial y^{3}} + \nu\frac{\partial^{3}w}{\partial x^{2}\partial y} \right)dxdy\ 2\int_{0}^{\frac{H}{2}}{h^{2}dh -}\frac{E}{1 + \nu}\frac{\partial^{3}w}{\partial x^{2}\partial y}dxdy\ 2\int_{0}^{\frac{H}{2}}{h^{2}dh + {\partial\tau}_{\text{yz}}Hdydx = 0},\ $$

$$- \frac{E}{1 - \nu^{2}}\left( \frac{\partial^{3}w}{\partial x^{3}} + \nu\frac{\partial^{3}w}{\partial y^{2}\partial x} \right)dxdy\ 2\int_{0}^{\frac{H}{2}}{h^{2}dh -}\frac{E}{1 + \nu}\frac{\partial^{3}w}{\partial y^{2}\partial x}dxdy\ 2\int_{0}^{\frac{H}{2}}{h^{2}dh + {\partial\tau}_{\text{xz}}Hdydx = 0.\ \ \ \ \ \ \ \ \lbrack\mathbf{2.12}\rbrack}\ $$

Z równania [2.11] i [2.12] wyznaczamy naprężenia τ _yz oraz τ _xz :

$$\tau_{yz =}\frac{E}{1 - \nu}\left( \frac{\partial^{3}w}{\partial y^{3}} + \nu\frac{\partial^{3}w}{\partial x^{2}\partial y} \right)\frac{H^{2}}{12} + \frac{E}{1 + \nu}\ \frac{\partial^{3}w}{\partial x^{2}\partial y\ }\ \frac{H^{2}}{12},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{\lbrack 2.13\rbrack}$$

$$\tau_{xz =}\frac{E}{1 - \nu^{2}}\left( \frac{\partial^{3}w}{\partial x^{3}} + \nu\frac{\partial^{3}w}{\partial y^{2}\partial x} \right)\frac{H^{2}}{12} + \frac{E}{1 + \nu}\ \frac{\partial^{3}w}{\partial x\partial y^{2}\ }\ \frac{H^{2}}{12}\text{.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\mathbf{\lbrack 2.14\rbrack}$$

Stąd

$$\frac{\partial\tau_{\text{yz}}}{\partial y} = \frac{E}{1 - \nu^{2}}\left( \frac{\partial^{4}w}{\partial y^{4}} + \nu\frac{\partial^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}} \right)\frac{H^{2}}{12} + \frac{E}{1 + \nu}\ \frac{\partial^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}\ }\ \frac{H^{2}}{12},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{\lbrack 2.15\rbrack}$$

$$\frac{\partial\tau_{\text{xz}}}{\partial x} = \frac{E}{1 + \nu^{2}}\left( \frac{\partial^{4}w}{\partial x^{4}} + \nu\frac{\partial^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}} \right)\frac{H^{2}}{12} + \frac{E}{1 + \nu}\ \frac{\partial^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}\ }\ \frac{H^{2}}{12}\text{.\ \ \ \ \ \ \ }\mathbf{\ \ \ \ \lbrack 2.16\rbrack\ \ \ }$$

Podstawiamy powyższe wyrażenia do równania [2.10]

$$H_{\varrho} = \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}dxdy = - H\frac{E}{1 - \nu^{2}}\left( \frac{\partial^{4}w}{\partial y^{4}} + \nu\frac{\partial^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}} \right)dxdy - H\frac{E}{1 + \nu}\ \frac{\partial^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}\ }\ \frac{H^{2}}{12}dxdy - H\frac{E}{1 - \nu^{2}}\left( \frac{\partial^{4}w}{\partial x^{4}} + \nu\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}} \right)\frac{H^{2}}{12}dxdy - H\frac{E}{1 + \nu}\ \frac{\partial^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}\ }\ \frac{H^{2}}{12}\text{dxdy.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\mathbf{\lbrack 2.17\rbrack}$$

Stąd

$$\varrho\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} = - \frac{E}{1 - \nu^{2}}\frac{H^{2}}{12}\left( \frac{\partial^{4}w}{\partial y^{2}} + 2\nu\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}} + \frac{\partial^{4}w}{\partial x^{2}} + 2\frac{\partial^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}} - 2\nu\frac{\partial^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}} \right)\text{.\ \ \ \ \ \ \ }\mathbf{\lbrack 2.18\rbrack}$$

Ostateczne równanie ruchu płyty ma postać:

$$D\left( \frac{\partial^{4}w}{\partial x^{4}} + 2\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}} + \frac{\partial^{4}w}{\partial y^{4}} \right) + \mu\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} = 0.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{\lbrack 2.19\rbrack}$$

gdzie D jest walcową sztywnością płyty na zginanie,

$$D = \frac{EH^{3}}{12\left( 1 - \nu^{2} \right)}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\mathbf{\ \lbrack 2.20\rbrack}$$

μ – gęstość płyty na jednostce powierzchni

μ = 𝜚h.                                                                                           [2.21]