Modelowanie zmienności ryzyka rynkowego

Wykład I

Finansowe szeregi czasowe i ich charakterystyki

Finansowe szeregi czasowe charakteryzują się:

- wysoka częstotliwość obserwacji;

- bardzo duża zmienność stóp zwrotu;

- grupowanie wariancji – obserwując wykresy kwadratów stóp zwrotu z indeksu WIG, okresy skupiania się wyższych wartości i okresy, gdy obok siebie znajdują się relatywnie niskie wartości ( wysoka zmienność podwyższone ryzyko, niska zmienność obniżone ryzyko);

- empiryczne szeregi finansowe – niezbyt często przypominają rozkład normalny. Rozkłady te charakteryzują się grubymi ogonami, co oznacza, że prawdopodobieństwo wystąpienia obserwacji nietypowej jest tu wyższe aniżeli w rozkładzie normalnym.

Stopy zwrotu:

1. Zwykła stopa zwrotu – zwykła jednookresowa stopa zwrotu z inwestycji w papiery wartościowe jest definiowana jako:

$$R_{t} = \ \frac{P_{t} - P_{t - 1}}{P_{t - 1}}$$

gdzie: R_t- zwykła stopa zwrotu z akcji;

P_t – cena instrumentu finansowego.

W praktyce wzór oznacza, że k-okresowa zwykła stopa zwrotu jest iloczynem jednookresowych stóp zwrotu, czyli:

$$1 + \ R_{t}(k) = \frac{P_{t}}{P_{t - k}} = \ \frac{P_{t}}{P_{t - 1}} \times \frac{P_{t - 1}}{P_{t - 2}} \times \ldots.\ \times \frac{P_{t - k + 1}}{P_{t - k}} = \left( 1 + R_{t} \right)\left( 1 + R_{t - 1} \right)\ldots.(1 - R_{t - k + 1})$$

Zwykła stopa zwrotu jest multiplikatywna, czyli trzeba wyznaczyć średnią geometryczną.

1. Logarytmiczna stopa zwrotu – w analizach empirycznych często korzysta się z logarytmicznej stopy zwrotu postaci:

$$r_{t} = \ln\left( 1 + R_{t} \right) = \ln\frac{P_{t}}{P_{t - 1}} = lnP_{t} - lnP_{t - 1} = \ p_{t} - \ p_{t - 1}$$

gdzie: r_t – logarytmiczna jednookresowa stopa zwrotu;

p_t – logarytm ceny instrumentu finansowego.

Wzór definiuje jednookresową logarytmiczną stopę zwrotu K-okresowy odpowiednik jest następujący:

r_t(k) = ln[1+R_t(k)] = ln(1+R_t)(1+R_t − 1)…(1+R_{t − k + 1}) = ln(1+R_t) + ln(1+R_t − 1) +  …+ln(1+R_{t − k + 1}) =  r_t + r_t − 1 +  …+ r_{t − k + 1}Z tego wynika, że k-okresowa logarytmiczna stopa zwrotu jest sumą jednookresowych logarytmicznych stóp zwrotu, co daje jej przewagę nad zwykła stopą zwrotu. Logarytmiczna stopa zwrotu jest addytywna.

Logarytmiczna stopa zwrotu jest lepszym narzędziem analizy niż zwykła stopa zwrotu, gdyż transformacja logarytmiczna umożliwia liniowe przekształcenia i bezpośrednie stosowanie takich klasycznych narzędzi opisu statystycznego, jak momenty zwykłe i centralne (np. średnia arytmetyczna i odchylenie standardowe).

Rodzaje efektywności:

Słaba efektywność ma miejsce wówczas, gdy nie jest możliwe uzyskanie ponadprzeciętnych zysków z tytułu wykorzystania informacji tkwiących w cenach (bieżących i przeszłych ). Oznacza to, że historyczna analiza szeregów czasowych cen giełdowych nie doprowadzi do uzyskania prognoz bardziej dokładnych niż te, które można obliczyć, biorąc pod uwagę tylko bieżące ceny, które natychmiast i w pełni odzwierciedlają całą informację zawartą w historii cen papierów wartościowych.

Jeżeli zachodzi słaba forma efektywności to:

E(P_t+1)=P_t

z czego wynika, że

P_t+1= P_t +e_t+1

Jeśli słaba forma efektywności nie zachodzi, to w celu przewidywania cen można stosować narzędzia analizy technicznej.

Średnia efektywność występuje wtedy, kiedy nie jest możliwe uzyskanie dodatkowych zysków z tytułu wykorzystania wszystkich informacji powszechnie dostępnych dla uczestników rynku (publikowanych prognoz cen, analizy i oceny ekspertów dotyczących sytuacji finansowej firmy, prognoz makroekonomicznych ). Oznacza to, że wszystkie powszechnie dostępne inwestorom informacje zostały już odzwierciedlone w cenach akcji przez działający mechanizm rynkowy. Jeśli średnia efektywność rynku nie zachodzi, to w celu przewidywania cen można stosować narzędzia analizy fundamentalnej.

Silna efektywność występuje w przypadku, gdy nie jest możliwe uzyskanie dodatkowych zysków nawet poprzez wykorzystanie informacji prywatnych, nieodstępnych dla innych uczestników rynku (np. wynikających z funkcji wykonywanej przez inwestora).

Jeśli średnia i wariancja e_t+1 są przy danym P_t nieprognozowalne, czyli:

E(e_t+1|P_t ) =0, var(e_t+1|P_t )=const,

to (1.27a) jest błądzeniem przypadkowym. Gdy tylko średnia jest nieprognozowalna, a wariancja (lub jakikolwiek inny moment rozkładu) może być prognozowana, wówczas (1.27a) jest martyngałem. Martyngał odzwierciedla proces opisujący uczciwą grę rynkową, tzn. taką, że jej wartość oczekiwana jest równa zeru. Martyngał stanowi podstawę przyjmowanej obecnie wersji hipotezy słabej efektywności rynku.

Modele ARCH (GARCH)

Model ARCH(q) – Engle (1982)

(epsilon t pod warunkiem, że zbiór dostępnych informacji znanych z okresu t-1 ma rozkład normalny)

gdzie: α₀>0 oraz α_i≥0 dla i=1,2,....q.

Model ten pozwala opisać zmieniającą się w czasie wariancję warunkową oraz efekt skupiania się wariancji w niskich przedziałach czasu. (Ten model stosuje się dla rozkładów o niskiej częstotliwości, małych obserwacji, w procesach makroekonomicznych, jeżeli efekt ARCH jest silny to wtedy ten model nie jest odpowiedni).

W empirycznych zastosowaniach, przy większej liczbie obserwacji konieczne jest stosowania bardzo dużych q. Aby uniknąć szacowania dużej liczby parametrów buduje się model GARCH.

Model Garch (p,q) – Bollerslev (1986), Taylor (1986)

(2)

Nelson, Cao(1992) przedstawiają warunki, przy których równanie (2) jest określone. Nie wszystkie modelu (2) muszą być dodatnie, a by zapewnić dodatniość h_t . Np. następujące warunki zapewniają, że h_t > 0:

- dla modelu GARCH (1,2):

α₀  > 0,  α1 ≥ 0,  β₁ ≥ 0,  β₁α₁ + α₂  ≥ 0

Proces GARCH (p,q) jest stacjonarny w szerszym sensie, jeżeli spełniony jest warunek:

∝₁ + α₂ + … + α_q + β₁ + β₂ + … + β_p < 1

(w szerszym tzn. kowariancyjna).

Bezwarunkowa wariancja ε_t jest równa:

$$\text{Var}\left( \varepsilon_{t} \right) = \frac{\alpha_{0}}{(1 - \alpha_{1} - \alpha_{2} - \ldots - \alpha_{q} - \beta_{1} - \beta_{2} - \ldots - \beta_{p})}$$

Wariancja warunkowa – h_t, )zmienia się z okresu na okres, jest codziennie inna, wystarczy, że dzień wcześniej była większa, to na drugi dzień też będzie większa) odzwierciedla zmiany bieżące na rynku, bierze pod uwagę zmiany bieżące na rynku.

Wariancja bezwarunkowa – (nie bierze pod uwagę tylko bieżących zmian, ona bierze pod uwagę wszystkie informacje) informuje nas o zmianach w całym okresie na podstawie średniej, na długi okres.

W praktyce najczęściej wykorzystywanym w modelowaniu finansowych szeregów czasowych jest proces GARCH (1,1):

gdzie :  α₀ > 0,  α₁ ≥ 0,  β₁ ≥ 0.

Proces ten jest stacjonarny w szerszym sensie, jeżeli:

α₁ + β₁ < 1

Model IGARCH (p,q) – Engle, Bollerslev (1986)

Model GARCH(p,q) dla którego:

∝₁ + α₂ + … + α_q + β₁ + β₂ + … + β_p = 1

Informacja z dowolnie odległej przeszłości jest istotna w wyjaśnianiu bieżącej zmienności, a brzegowa (bezwarunkowa) wariancja procesu jest nieskończona.

Analizy empiryczne wskazują, że modele GARCH z warunkowym rozkładem normalnym nie są w stanie opisać zwiększonej kurtozy występującej w rozkładach brzegowych stóp zwrotu większości instrumentów finansowych. Dlatego często stosuje się warunkowe rozkłady posiadające grubsze ogony niż te, które występują w rozkładzie normalnym.

Grube ogony rozkładów warunkowych:

• Rozkład t-studenta;

• Skośny rozkład t-studenta dopuszczający asymetrię;

• Rozkład GED (generalized error distribution);

• Rozkład podwójnie wykładniczy (double exponential) szczególny przypadek rozkładu GED;

• Rozkłady stabilne.

Na ogół wystarczający jest model GARCH z warunkowym rozkładem t-studenta.

Metody estymacji:

- Metoda największej wiarygodności (MNW), najbardziej popularna, ma zastosowanie wtedy gdy ma założenia takie same jak próba.

- Metoda quasi największej wiarygodności.

- Metody bayerowskie.

- Metoda momentów.

- Metody semiparametryczne i nieparametryczne.

Logarytm funkcji wiarygodności dla modelu GARCH (lub ARCH) dany jest wzorem:

$\text{lnL}\left( y_{t},\alpha,\beta \right) = - Tln\sqrt{2\pi} - \frac{1}{2}\sum_{t = 1}^{T}{\ln h_{t} - \frac{1}{2}\sum_{t = 1}^{T}\frac{\varepsilon_{t}^{2}}{h_{t}}}$

Estymacja MNW sprowadza się do maksymalizacji powyższej funkcji.

Wartości pochodnych cząstkowych wykorzystywane w procesie estymacji są na ogół przybliżone za pomocą metod numerycznych.

WYKŁAD 2

* To moje notatki

Zamiast zastosować model GARCH z warunkowym rozkładem o grubych ogonach można zastosować QMNK.

Estymatory QMNW są zgodne i asymptotycznie normalne choć mogą być nieefektywne. Należy zastosować odporne na odstępstwa od rozkładu normalnego średnie błędy szacunku.

Skuteczność takiego podejścia będzie zależała od konkretnego zastosowania.

*Rozwiązania:

1. Najczęściej rozkład t – Studenta i estymujemy metodą MNK

2. Zastosowanie QMNW – rozkład normalny warunkowy wiedząc, że jest on nieprawidłowy. Nieprawidłowe jest gdy dalej na jego podstawie chcemy wnioskować

Wybór postaci modelu GARCH (rodzaju i rzędu opóźnień modelu)

Nie istnieje uniwersalne kryterium wyboru postaci modelu GARCH. Najczęściej stosuje się kryteria informacyjne Akaike’a lub Schwarza:

Kryterium Akeike’a: AIC = −2ln(L_T) + 2q

Kryterium Schwarza (BIC): SC = −2ln(L_T) + qln(T)

gdzie: L_T – oznacza logarytm funkcji wiarygodności, q – liczba szacowanych parametrów modelu, T – liczba obserwacji.

*kryterium Schwarza wybiera model, który ma mniej parametrów, dlatego lepiej jest go stosować.

*Należy pamiętać o teście na występowanie efektu ARCH i innych testach, które przeprowadza się standardowo przy ocenie jakości modelu.

Kryteria informacyjne są powszechnie stosowane w analizach empirycznych, jednakże należy pamiętać, że ich własności statystyczne nie są znane w kontekście modelu GARCH.

Wyboru postaci modelu można również dokonać na podstawie miar doskonałości prognoz zmienności lub innych kryteriów, które można wykorzystać tylko w ściśle określonych zastosowaniach.

*jeżeli w modelu występuje efekt ARCH trzeba wybrać model z większymi opóźnieniami. Wybrany przez nas model powinien nie mieć efektu ARCH i istotne parametry przy największym opóźnieniu.

Testowanie występowania efektu ARCH

Jeden z najbardziej popularnych testów na występowanie efektu ARCH został zaproponowany przez Engle’a (1982)

H₀: α₁= α₂=…= α_q=0 brak efektu ARCH

H₁:∃_{i ∈ {1, ..,q}}α_i ≠ 0 występuje efekt ARCH

Hipoteza alternatywna oznacza, że składnik losowy ma zmienną wariancję warunkową.

Decyzję podejmuje się na podstawie statystyki LM=TR², gdzie R² jest współczynnikiem determinacji równania regresji oszacowanego metodą najmniejszych kwadratów.

e_t² = α₀ + α₁e_t − 1² + α₂e_t − 2² + … + α_qe_t − q²

e_t są resztami otrzymanymi z równania dla średniej warunkowej.

Przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej statystyka TR² ma rozkład asymptotycznie zbieżny do rozkładu χ² (chi kwadrat) o q stopniach swobody.

Alternatywnie:

Test Ljunga – Boxa dla kwadratów reszt.

ASYMETRYCZNA WARIANCJA

Asymetryczny wpływ dodatnich i ujemnych stóp zwrotu na wariancję. Złe wiadomości ε_t-i<0 powodują zwiększenie zmienności, dobre wiadomości ε_t-i>0 zmniejszają zmienność.

Występuje ujemna korelacja pomiędzy bieżącą stopą zwrotu a przyszłą zmiennością.

• Model EGARCH (p,q) Nelson (1991)

$$\ln h_{t} = \alpha_{0} + \sum_{i = 1}^{q}{\alpha_{i}\left\lbrack \theta z_{t - i} + \gamma(\left| z_{t - i} \right| - \sqrt{\frac{2}{\pi}}) \right.\ + \sum_{j = 1}^{p}{\beta_{j}\ln(h_{t - j})}}$$

gdzie: z_t = ε_t/$\sqrt{h_{t}}$ jest procesem biało szumowym o wartości oczekiwanej równej 0 i wariancji równej 1.

Model EGARCH (p,q) można przedstawić w nieco innej postaci:

$$\ln h_{t} = \alpha_{0} + \sum_{i = 1}^{q}{\alpha_{i}\frac{\left| \varepsilon_{t - i} \right| + \gamma_{i}\varepsilon_{t - i}}{\sqrt{h_{t - i}}} + \sum_{j = 1}^{p}{\beta_{j}h_{t - j}}}$$

*Efekt asymetrycznej wariancji zależy od parametru gamma. Kiedy gamma będzie ujemne powoduje zwiększenie lnh_t . ujemne stopy zwrotu zwiększają wariancję w porównaniu do dodatnich stóp zwrotu.

• Model TGARCH (P,q) Rabemananjara, Zakoian (1993)

$$\sqrt{h_{t}} = \alpha_{0} + \sum_{i = 1}^{q}{\alpha_{i}^{+}\varepsilon_{t - i}^{+} - \sum_{i = 1}^{q}{\alpha_{i}^{-}\varepsilon_{t - i}^{-}} + \sum_{j = 1}^{p}{\beta_{j}\sqrt{h_{t - j}}}}$$

gdzie: ε_t⁺= max (ε_t,0) ; ε_t^-=max(ε_t,0) – są to zmienne progowe dodatnie i ujemne.

*asymetryczna wariancja jest wtedy gdy ∑α⁺ różni się od ∑α^-. ∑α^- będzie na ogół większe od ∑α⁺.

• Model GJR – GARCH (p,q) – Glosten, Jsgannathan, Runkle (1993)

$$h_{t} = \alpha_{0} + \sum_{i = 1}^{q}{\alpha_{i}\varepsilon_{t - i}^{2} + \sum_{i = 1}^{q}{\omega_{i}I_{t - i}\varepsilon_{t - i}^{2}} + \sum_{j = 1}^{p}{\beta_{j}h_{t - j}}}$$

gdzie: $I_{t} = \left\{ \begin{matrix} 1\ \text{gdy}\ \varepsilon_{t - i} \leq 0 \\ 0\ \text{gdy}\ \varepsilon_{t - i} > 0 \\ \end{matrix} \right.\ $ zmienna zerojedynkowa

OCZEKIWANA STOPA ZWROTU A RYZYKO

• Model GARCH – M (p,q) - Engle, Lilien, Robins (1987)

y_t = x_t^′ξ + δg|h_t| + ε_t

δ – można interpretować jako “parameter awersji do ryzyka”, g odnosi się do modelowania interpretowania indeksów. Powinien być dodatni i im większa h_t to stopy zwrotu powinny być dodatnie. Badania wskazują, że na ogół tak nie jest. Odnosi się do krótkookresowych stóp zwrotu.

g(h_t)= h_t, $g\left( h_{t} \right) = \sqrt{h_{t}}$ lub g(h_t)=ln( h_t)

DŁUGOTERMINOWA ZALEŻNOŚĆ DANYCH

Funkcja autokorelacji szacowana dla wartości bezwarunkowych lub kwadratów stóp zwrotu finansowych szeregów czasowych przyjmuje dodatnie wartości istotnie różniące się od 0 dla bardzo długiego odstępu, sięgającego nawet kilkuset obserwacji.

• Model FIGARCH(p,d,q) - Braillie, Bollerslev, Mikkelsen (1996)

ϕ(L)(1 − L)^dε_t² = α₀ + [1 − β(L)]v_t

gdzie: v_t = ε_t²−h_t, 1 − α(L) − β(L) = ϕ(L)(1 − L)^d

α(L),  β(L), ϕ(L) - są symulacyjnymi operatorami liniowymi (np. α(L) = α₁(L) + α₂(L)² + … + α_qL^q) a L oznacza przesunięcia wstecz: L^sε_t = ε_t − s oraz wszystkie pierwiastki wielomianu φ(z)=0 leżą poza kołem jednostkowym.

• Modele GARCH z dodatkową zmienną objaśniającą

$$h_{t} = \alpha_{0} + \sum_{i = 1}^{q}{\alpha_{i}\varepsilon_{t - i}^{2} + \sum_{j = 1}^{p}{\beta_{j}h_{t - j}}}\omega_{1}I_{t - 1}$$

gdzie za I_t − 1 przyjmuje się np. zmienność zrealizowaną aproksymowaną na podstawie danych o częstotliwości wyższej niż dzienna, wielkość obrotów czy też zmienność innych aktywów finansowych. (Na ogół są to wartości dodatnie, bo wariancja musi być > 0. Mogą to być np. zmienność na walutach i sprawdzenie czy wpływa ona na zmienność akcji.) im mniej stopni swobody tym grubsze ogony.

WYKŁAD 3

• Random walk model

$${\hat{\sigma}}_{t + 1}^{2} = \sigma_{t}^{2}\ \ \ \ \rightarrow *wariancja\ jutro\ bedzie\ taka\ sama\ jak\ dzis$$

Two forecast for random walk model are constructed. Squared daily return and the sum of squared intraday returns are used as a realized volatility.

• Historical average (*średnia historyczna)

$${\hat{\sigma}}_{t + 1}^{2} = \frac{1}{t}\sum_{i = 1}^{t}{\sigma_{i}^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ }$$

→  * jutszejsza wariancja bedzie srednia ze wszystkich okresow do tej pory 

• Moving average model (*model średniej ruchomej dla zmienności)

$${\hat{\sigma}}_{t + 1}^{2} = \frac{1}{k}\sum_{i = t - k + 1}^{t}{\sigma_{i}^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow *srednia\ z\ k\ obserwacji\ }$$

• Exponential smoothing model (*model wyrównywania wykładniczego dla wariancji)

$${\hat{\sigma}}_{t + 1}^{2} = \alpha{\hat{\sigma}}_{t}^{2} + \left( 1 - \alpha \right)\sigma_{t}^{2},$$

where 0 < α < 1.

The choice of the moving average estimation period (k) and value of smoothing parameter (α) are arbitrary and should be determined empirically.

• Stochastic volatility model

y_t = σexp(0,5h_t)ε_t,

h_t = ϕh_t − 1 + η_t,

where |ϕ| ≤ 1,  ε_t,  η_t are series of independent, identically distributed random disturbances and

ε_t ∼ N(0,1),      η_t ∼ N(0, σ_η²).

The SV model is supposed to describe financial time series better than the ARCH-type models, since it essentially involves two noise processes.

*Inny od GARCH, bo ma dwa składniki losowe i dlatego jest trudniejszy.

Literatura

1. Jajuga K. „Zarządzanie ryzykiem”, PWN, W-wa 2007,

2. Tarczyński W., Mojsiewicz…

*

• Stopy zwrotu

• Definicja ryzyka

• Ryzyko a niepewność (mierzalne- niemierzalne)

• Dwa podejścia do ryzyka

• Dwa aspekty ryzyka (obiektywny, subiektywny)

• Postawy wobec ryzyka

• Awersja do ryzyka,

• Obojętność (neutralność) względem ryzyka,

• Skłonność do ryzyka.

• Podział ryzyka

Całkowite ryzyko dzieli się na ryzyko systematyczne (zewnętrzne) i specyficzne (wewnętrzne).

• Ryzyko systematyczne jest determinowane przez siły zewnętrzne i nie podlega kontroli danego podmiotu. Jest związane z siłami przyrody oraz wynika z warunków ekonomicznych danego rynku. Nie może być przez inwestora wyeliminowane.

Do ryzyka systematycznego zalicza się: ryzyko stopy procentowej, ryzyko kursowe, ryzyko rynku, ryzyko siły nabywczej, ryzyko polityczne, ryzyko pogodowe.

• Ryzyko specyficzne obejmuje obszar działania danego podmiotu i może być przez ten podmiot kontrolowane.

W ramach ryzyka niesystematycznego wyróżnia się: ryzyko niedotrzymania warunków umowy, ryzyko zarządzania, ryzyko finansowe, ryzyko bankructwa, ryzyko rynkowej płynności, ryzyko zmiany ceny, ryzyko reinwestowania, ryzyko wykupu na żądanie.

Poprzez dywersyfikację portfela można prawie w całości wykluczyć ryzyko specyficzne, a systematycznego nie można.

Zarządzanie ryzykiem podmiotu jest to podejmowanie decyzji i realizacji działań prowadzących do osiągnięcia przez ten podmiot akceptowanego poziomu ryzyka.

Czynniki wpływające na ryzyko:

• Rodzaj instrumentu finansowego,

• Emitent instrumentu finansowego,

• Okres do wykupu instrumentu finansowego.

Etapy procesu zarządzania ryzykiem

1. Identyfikacja,

2. Ocena (pomiar),

3. Sterowanie ryzykiem- wybór i wdrożenie odpowiedniej techniki zarządzania ryzykiem,

4. Monitorowanie i kontrola ryzyka.

Identyfikacja polega na określeniu rodzajów ryzyka, na które narażony jest dany podmiot. Zwykle etap odbywa się w sposób zdecentralizowany w poszczególnych obszarach działalności oraz poszczególnych oddziałach firmy. Pomiar to wyrażenie poziomu ryzyka w postaci liczbowej lub gdy nie jest to możliwe w postaci pewnych kategorii, np. niskie średnie, wysokie ryzyko).

Sterowanie ryzykiem polega na podejmowaniu decyzji dotyczących działań dostosowujących poziom ryzyka do akceptowalnego poziomu wynikającego jego strategii. Często są to działania zmniejszające poziom ryzyka podmiotu.

Zarządzanie ryzykiem jest procesem, a nie działaniem jednorazowym, dlatego występuje potrzeba monitorowania poziomu ryzyka i kontroli całego procesu.

Tradycyjne miary ryzyka wyznaczane są na podstawie sprawozdań finansowych, np. wskaźnik zadłużenia, wskaźnik obsługi zadłużenia.

Ogół miar ryzyka rynkowego można podzielić na trzy grupy: miary zmienności, miary wrażliwości i miary zagrożenia.

Zmienność nie jest bezpośrednio obserwowalna i jest pojęciem niejednoznacznym. Najczęściej pod pojęciem zmienności instrumentu finansowego rozumie się miarę niepewności, co do cen lub stóp zwrotu instrumentu finansowego.

Miary zmienności mierzą stopień rozproszenia danej zmienności wokół wartości średniej. Im wyższa zmienność, tym większe ryzyko.

Do miar zmienności zaliczamy: wariancję, odchylenie standardowe, semiwariancję, semiodchylenie standardowe, odchylenie przeciętne, odchylenie międzykwartylowe, rozstęp i współczynniki zmienności, wariancję warunkową (wyliczoną na podstawie modelu Risk Metrics lub modelu GARCH).

W przypadku takich miar jak wariancja, odchylenie standardowe, odchylenie przeciętne ryzyko rozumiane jest zgodnie z koncepcją neutralną, czyli jako możliwość, że zrealizowany dochód (stopa zwrotu) będzie różnił się od oczekiwanego.

Semiwariancja i semiodchylenie standardowe odpowiadają wariancji i odchyleniu standardowemu pry założeniu, że ryzyko rozumiane jest w kategoriach zagrożenia, co oznacza, iż pod uwagę bierze się tylko ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zwrotu.

*Semiodchylenie jest lepsze, bo bierze pod uwagę ujemne wartości, jednak nie występuje ono w pakietach (gotowych programach).

Semiodchylenie standardowe

$$S = \sqrt{\frac{\sum_{t = 1}^{T}d_{i}^{2}}{n - 1}},\ $$

gdzie $d_{i} = \left\{ \begin{matrix} r_{i} - \overset{\overline{}}{r}\text{\ \ \ \ gdy\ }\left( r_{i} - \overset{\overline{}}{r} \right) < 0 \\ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ gdy\ \left( r_{i} - \overset{\overline{}}{r} \right) \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

*Zmienność jest wykorzystywana w:

• wycenie opcji,

• analizie portfelowej,

• zabezpieczaniu przed ryzykiem.

Metoda wyrównywania wykładniczego dla wariancji (EWMA)

σ_t + s|tp² = λσ_tp² + (1 − λ)σ_t²

Parametr λ jest nazywany parametrem wygasania i przyjmuje wartości z przedziału (0, 1). Wadą tej metody jest niejednoznaczność przy określaniu wartości parametru λ. Jego wybór zależy od charakteru prognozowanego procesu. Jeżeli nie ma częstych i znacznych zmian „trendu w wariancji”, to większą wagę trzeba przywiązać do prognoz w poprzednim okresie (parametr bliski jedności).

Metoda wyrównywania wykładniczego jest bardzo często określana w literaturze finansowej jako model Risk Metrics.

Początkowo do szacowania wariancji i odchylenia standardowego wykorzystywano dane dzienne lub ewentualnie dane o mniejszej częstotliwości.

Jako realizacje dziennej zmienności, do oceny prognoz, przyjmowano natomiast kwadraty (rzadziej wartości bezwzględne) dziennych stóp zwrotu.

Pomimo tego, że kwadrat stopy zwrotu jest nieobciążonym estymatorem zmienności, to jest zanieczyszczony szumem.

Z tego względu, jako zmienność zrealizowaną, lepiej jest przyjąć sumę kwadratów stóp zwrotu o częstotliwości wyższej niż dzienna (dane intraday):

$$\text{RV}_{t} = r_{n,\ t}^{2} + \sum_{d = 1}^{D}{r_{d,\ t}^{2},}$$

gdzie r_n,  t jest to tzw. nocna stopa zwrotu, tzn. stopa zwrotu obliczana od ceny zamknięcia w dniu t-1 do ceny otwarcia w dniu t; natomiast r_d,  t to stopa zwrotu dla danych intraday (np. dane 15-minutowe).

Miary wrażliwości odzwierciedlają wpływ zmiennej ryzyka (np. stopa zwrotu, cena) na zmiany poszczególnych czynników ryzyka.

Im większa wrażliwość na zmiany czynnika, tym większe ryzyko.

Niech r = g(X₁, X₂, …, X_m),  gdzie X_i- i-ty czynnik ryzyka.

Miara wrażliwości zdefiniowana jest jako pochodna cząstkowa funkcji g względem czynnika ryzyka:

$$\beta_{i} = \frac{\partial r}{\partial X_{i}},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i = 1,\ 2,\ \ldots,\ m$$

Wskazuje ona ile zmieni się w przybliżeniu zmienna ryzyka, gdy i-ty czynnik ryzyka zmieni się o jednostkę, a pozostałe czynniki ryzyka się nie zmieniają.

Do miar wrażliwości zaliczamy m. in. współczynnik beta, współczynnik zabezpieczenia, duration oraz greckie współczynniki- delta, gamma, vega (keppa), theta i rho.

Miary wrażliwości mają szerokie zastosowanie w analizie ryzyka, np. tworzenie portfela akcji o współczynniku beta równym zeru, zabezpieczenie portfela przed ryzykiem za pomocą opcji lub kontraktów terminowych, uodpornienie.

Współczynnik beta

Obserwacje empiryczne potwierdzają, że na wielu rynkach kapitałowych stopy zwrotu większości akcji są w dużym stopniu powiązane ze stopą zwrotu indeksu rynkowego, odzwierciedlającego ogólną sytuację na rynku.

Jednowskaźnikowy model Sharpe’a.

r_i = α_i + β_ir_M + ε_t,

gdzie r_i jest to stopa zwrotu i-tego waloru, r_M - stopa zwrotu portfela rynkowego, α_i,  β_i – parametry strukturalne.

Współczynnik beta wskazuje, o ile procent w przybliżeniu wzrośnie stopa zwrotu akcji, gdy stopa zwrotu indeksu rynku wzrośnie o 1%.

Współczynnik beta, uważany jest za miarę ryzyka systematycznego. Im współczynnik jest wyższy tym wyższe ryzyko cen akcji. Współczynnik ten nie jest stabilny w czasie. Jego wartość zależy od rodzaju spółki (czy młode – rozwijające o wysokim beta się czy dojrzałe o niskim beta).

0 < β < 1- stopa zwrotu akcji w małym stopniu reaguje na zmiany zachodzące na rynku. Jest to akcja defensywna.

β > 1- stopa zwrotu akcji w dużym stopniu reaguje na zmiany zachodzące na rynku. Jest to akcja agresywna.

β = 1- stopa zwrotu akcji zmienia się w takim samym stopniu jak stopa zwrotu rynku. Jest to akcja neutralna.

β = 0- stopa zwrotu akcji nie reaguje na zmiany rynku. Akcja jest wolna od ryzyka rynku. Instrumenty wolne od ryzyka, jak bony skarbowe.

β < 0- stopa zwrotu akcji reaguje na zmiany odwrotnie niż rynek.

WYKŁAD 4

Model wyceny arbitrażowej

Model wyceny arbitrażowej (APT) jest jednym z modeli równowagi rynku kapitałowego. Opiera się na dwóch założeniach:

1. Obowiązuje prawo jednej ceny i arbitraż – oznacza, że jeden instrument finansowy na różnych rynkach powinien mieć tę samą cenę, bowiem w przeciwnym razie pojawią się arbitrażyści z kapitałem spekulacyjnym. Arbitraż polega na wykorzystaniu różnicy cen: kupowanie po niższej cenie na jednym rynku i jednoczesnym sprzedawaniu po wyższej cenie na innym. Pojawienie się arbitrażystów powoduje w praktyce wzrost ceny poprzez napędzenie popytu na rynek z niższą ceną. Z kolei zwiększona podaż na rynku z wyższą ceną powoduje spadek ceny. Konsekwencje są zatem takie, że możliwość spekulacyjna twa krótko i w rezultacie całej sytuacji ceny się wyrównują. Arbitraż zakłada, że w praktyce różnice cenowe wyrównują się natychmiast.

2. Stopy zwrotu z akcji kształtują się zależnie od czynników rynkowych – umożliwia przedstawienie wartości stóp zwrotu za pomocą modelu składającego się z dwóch równań wieloczynnikowych. Wartości teoretyczne uzyskane z oszacowanych modeli, opartych na czynnikach rynkowych, pozwalają ustalić stopy zwrotu w warunkach równowagi. Daje to w efekcie możliwość oceny niedoszacowania lub przeszacowania poszczególnych akcji.

Pierwsze równanie modelu APM ma wieloczynnikową postać:

R_it = α_i + β₁ F₁ + β₂ F₂ + … + β_k F_k + μ_t,

gdzie:

R_it – stopa zwrotu z akcji i lub z i-tego portfela akcji,

k – liczba czynników,

F_i – i-ty czynnik ryzyka, i = {1, 2, …, k},

Β_i – współczynnik wrażliwości stopy zwrotu akcji względem i-tego czynnika,

μ_t – składnik losowy

Przykładowe czynniki ryzyka (F_i): zmiany stóp dochodu obligacji o wysokim i niskim ryzyku, zmiany indeksu produkcji przemysłowej, zmiany stopy inflacji, zmiany stopy bezrobocia, zmiany PKB itp.

Parametry modelu estymuje się za pomocą KMNK. Dla stóp zwrotu poszczególnych akcji uzyskuje się zatem oceny współczynników wrażliwości na te same czynniki rynkowe. Następnie uzyskane współczynniki wrażliwości służą jako zmienne objaśniające do właściwego równania APM, które przestawia się następująco:

E(R_i) = λ₀ + λ₁ β₁ + λ₂ β₂ + … + λ_k β_k – jest rozszerzeniem modelu Sharpe’a

Powyższe równanie przedstawia zależność wartości stopy zwrotu (pojedynczej akcji lub portfela) od współczynników wrażliwości na określone czynniki rynkowe (czynniki ryzyka). Znalezienie wartości współczynników λ jest możliwe za pomocą kilku metod. Jedną z nich jest analiza czynnikowa. Na podstawie modelu APM można wyciągnąć wnioski dotyczące bieżącej wyceny rynkowej akcji. Jeżeli spodziewana stopa zwrotu jest równa stopie obliczonej za pomocą APM, to znaczy, że akcja jest dobrze wyceniona.

Jeśli okazałoby się, że spodziewana stopa zwrotu jest niższa niż obliczona z modelu, to będzie oznaczało, że stopa z modelu jest niedowartościowana, gdy natomiast obliczenia dadzą wyższą wartość, wówczas stopa teoretycznie jest przewartościowana.

Duration – średni termin wykupu instrumentu dłużnego. Jest to miara ryzyka stopy procentowej. Informuje jak zmieni się w przybliżeniu wartość instrumentu, gdy zmianie ulegnie stopa procentowa.

ΔP_t = - MD (r _t+1 – r _t ) = - MD Δr_t

ΔP_t = (P_t+1-P_t)/P_t – procentowana zmiana ceny obligacji.

r _t+1 , r _t – stopy dochodu przed i po zmianie

MD – zmodyfikowane duration

MD = $\frac{D}{1 + \text{rt}}$.

Np. MD = 1,798; r_t = 8%, r_t+1=8,25%, ΔP_t = -0,45%

Miary zagrożenia – przy konstrukcji miar zagrożenia bierze się przede wszystkim pod uwagę niekorzystne wartości, np. niekorzystne odchylenia od oczekiwanych wartości cen lub stóp zwrotu.

Miary zagrożenia: VaR, expected shortfall (ES, oczekiwana strata lub oczekiwana niedobór), semiwariancja, semiodchylenia, poziom bezpieczeństwa, prawdopodobieństwo niesiągnięcia aspiracji, dolny moment cząstkowy.

VaR – podstawowe informacje.

• VaR jest dana w postaci jednej liczby, która w sposób zagregowany przedstawia możliwe straty inwestora, najczęściej instytucji finansowej.

• Łączy różne rodzaje ryzyka rynkowego w jedną całość.

• VaR to względnie prosta i łatwo interpretowalna miara określająca możliwą stratę w warunkach zwykłego funkcjonowania rynku.

• VaR jest rekomendowana przez wiele instytucji nadzorujących sektor bankowy oraz – ogólnie – rynek finansowy, np. Komitet Bazylejski do Spraw Nadzoru Bankowego.

Wartość zagrożona jest to taka strata wartości rynkowej (np. instrumentu, portfela instrumentów), że prawdopodobieństwo jej osiągnięcia lub przekroczenia w zadanym przedziale czasowym jest równe zadanemu poziomowi tolerancji – definicja dla inwestora posiadającego długą pozycję. Strata występuje, gdy następuje spadek wartości IF. Dla inwestora posiadającego krótką pozycję definicję należy zmodyfikować.

P(W_t+1 ≤ W_t – VaR) = α

α – zadany poziom tolerancji;

W_t – wartość IF w czasie t.,

VaR zależy od dwóch parametrów, które powinien określić decydent. Są to poziom ufności (lub zamiennie poziom tolerancji – 5%, 10%) oraz horyzont czasowy, zwany też okresem przetrzymania (holding period- 1 dzień, 5 dni, 10 dni, 1 miesiąc). Oznacza on przedział czasu, dla którego oblicza się VaR, tzn. okres, w którym może mieć miejsce obliczona potencjalna strata na portfelu. Inna definicja okresu przetrzymania podkreśla, że jest to czas, w którym skład portfela pozostaje praktycznie niezmieniony. Im wyższy poziom tolerancji tym wyższe VaR.

VaR = -R_α W_t

R_α – kwantyl rozkładu prostej stopy zwrotu.

Metody szacowania VaR:

1. Metoda wariancji – kowariancji – zakłada, że rozkłady stóp zwrotu IF czy portfela IF są rozkładami normalnymi. Wzór na prognozę zależy czy liczymy VaR dla prostych czy logarytmicznych stóp zwrotu.

Dla prostych stop zwrotu:

VaR _t+1|tp = -(µ_t +Zασ)W_t – absolutny VaR

VaR _t+1|tp = - Zα σ W_t – względny VaR

Dla logarytmicznych stóp zwrotu:

VaR _t+1|tp = (1- e ^{µt +Zασ} )W_t – absolutny VaR

VaR _t+1|tp = W_t e ^µt(1- e ^Zασ) – względny VaR

VaR dla jednego dnia -> µ_t = 0, wówczas VaR względny równa się absolutnemu.

µ_t – oczekiwana stopa zwrotu (średnia)

σ – odchylenia standardowe stóp zwrotu

Zα – kwanty odpowiadający prawdopodobieństwu dla standaryzowanego rozkłady normalnego np. dla α=0,01, Zα = -2,326

Gdzie Rα = Zα, rysunek jest dla α=0,05 i przedstawia standaryzowany rozkład normalny Z~N(0,1) – średnia 0 i odchylenie 1.

Z_α = (x_i - µ_t)/( σ) – standaryzacja -> x_i = µ_t + Zασ

Jeszcze dla miesięcznych stóp zwrotu można przyjąć rozkład normalny – ale tak wiadomo, że nie bo są grube ogony w rozkładach stóp zwrotu o niskiej częstotliwości danych.

1. Metoda empiryczna – polega na wyznaczeniu kwantyla rozkładu stóp zwrotu bezpośrednio na podstawie empirycznego rozkładu stóp zwrotu. Jest to metoda nieparametryczna, która nie wymaga założenia o postaci modelu czy też postaci rozkładu stóp zwrotu. Wymaga jednakże przyjęcia bardzo silnego założenia o stałości rozkładu stóp zwrotu w przyjętym okresie. Aby zastosować tę metodę potrzebne jest większa ilość obserwacji – żeby ująć jak najlepiej wszystkie zmiany w czasie.

2. Symulacja Monte Carlo – wymaga wiedzy i trudna do zastosowania. Stosuje się ją w oparciu o istotny model (proces, np. GARCH, SV), który opisuje kształtowanie się stóp zwrotu. Na podstawie przyjętego modelu generuje się bardzo duża liczbę (kilka tysięcy lub więcej) realizacji stóp zwrotu. Na ich podstawie wyznacza się kwanty rozkładu stóp zwrotu.

GARCH – stosuje się na krótki okres do liczenia VaR

Wady VaR:

- różne metody dają różne szacunki VaR,

- nie daje odpowiedzi na pytanie jak duża może być strata, gdy nastąpi przekroczenie VaR.

Expected shortfall (ES, oczekiwana strata lub oczekiwana niedobór) – jest odpowiedzią na drugą wadę VaR. ES jest oczekiwaną wartością straty, pod warunkiem, że strata przekroczy VaR.

ES = E (X|X>VaR), gdzie X to wielkość straty.

Po przeliczeniu ryzyka (odchylenia standardowego stóp zwrotu) pomiędzy danymi o różnej częstotliwości obserwacji wykorzystuje się często regułę zwaną pierwiastka kwadratowego z czasu:

σ (r_[t+1,t+k]) = $\sqrt{k}$ σ (r _t+1)

σ (r_[t+1,t+k]) – odchylenia dla k- okresowej stopy

σ (r _t+1) – odchylenia dla jedno okresowej stopy

Na przykład w celu określenia ryzyka dla danych rocznych na podstawie odchylenia stand. stóp dla danych dziennych należy przyjąć na k=250 lub 252 (zależy od liczby sesji w roku). Jednak szacunki na podstawie tej formuły mogą dawać duże błędy, bo zmienność nie jest stała w czasie oraz ocena może być przeszacowana lub niedoszacowana (zależy wyliczeń odchylenia dla jednookresowej stopy tzn. jaka była wtedy zmienność).

Sterowanie ryzykiem

- zapobieganie wystąpienia ryzyka (ryzyko o charakterze technicznym),

- dwa podstawowe sposoby zmniejszenia ryzyka: dywersyfikacja i transfer.

Dywersyfikacja – umiejętne tworzenie portfeli inwestycji prowadzących do zmniejszenia ryzyka portfela.

Transfer ryzyka – ubezpieczenia i hedging.

Hedging – wykorzystanie IF, przede wszystkim instrumentów pochodnych do zmniejszania ryzyka poprzez transfer ryzyka na rynek finansowy.