4 BADANIE PRZEMIAN ENERGII MECHANICZNEJ NA RÓWNI POCHYŁEJ

Cel:

• Poznanie przemian energetycznych zachodzących podczas staczania się ciała z równi pochyłej

• Wyznaczenie momentu bezwładności kuli

Pytania kontrolne:

1. Zasada zachowania energii mechanicznej.

2. Twierdzenie Steinera.

3. Siły i momenty sił działające na kulę staczającą się z równi pochyłej.

4. Wyprowadzić stosowany w ćwiczeniu wzór pozwalający obliczyć moment

bezwładności kuli.

1.Zasada zachowania energii mechanicznej

Pojęcie energii mechanicznej jest niezwykle ważne z jednego powodu - w wielu sytuacjach, mimo zmiany różnych parametrów ruchu, sama energia nie zmienia się. 

Kiedy energia mechaniczna jest stała?

W przypadku ruchu ciał w polu grawitacyjnym bez tarcia. Ciało może lecieć, ślizgać się, spadać itp. Jednak nie może występować tarcie, lub inne sytuacje, w których energia mechaniczna ulega zmianom (np. oddawanie energii za pomocą sił elektrycznych, czy magnetycznych.

Sformułowanie 1 zasady zachowania energii mechanicznej

W dowolnym ruchu przebiegającym bez tarcia (i innych strat energii) energia mechaniczna układu izolowanego jest stała.

E_mechaniczna = const

Jeśli przyjrzymy się wzorowi na energię mechaniczną:

E_mechaniczna = E_potencjalna + E_kinetyczna 

To ze stałości energii mechanicznej wyniknie nam, że:

E_potencjalna + E_kinetyczna = const

Jeśli przyjrzymy się wzorowi:

E_mechaniczna = E_potencjalna + E_kinetyczna 

to pewnie bez trudu zorientujemy się, że stałość sumy można zachować, jeśli ubytek jednego składnika jest natychmiast zrównoważony przyrostem drugiego składnika. Jeżeli więc podczas ruchu ubywa 5 J energii kinetycznej, to musi przybyć dokładnie 5 J energii potencjalnej (lub na odwrót).

W sytuacji na rysunku:

E_k1 + E_p1  = E_k2 + E_p2 

 

2 Twierdzenie Steinera

Mówi, że moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem

gdzie:

•  – moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy,

•  – moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi,

•  – odległość między osiami,

•  – masa bryły.

Moment bezwładności osiąga minimalną wartość, gdy oś przechodzi przez środek masy.

3. Siły i momenty sił działające na kulę staczającą się z równi pochyłej

Q – siła ciężkości,

R – siła reakcji,

T – siła tarcia,

G – siłga grawitacji

II zasada dynamiki ruchu postępowego (wzdłuż równi):

II zasada dynamiki dla ruchu obrotowy (względem osi obrotu przechodzącej przez środek

masy):

Iε =Tr ponieważ T ⊥ r ,

4.Wyprowadzenie wzoru na moment bezwładności kuli

Moment bezwładności dla kuli otrzymujemy poprzez zsumowanie momentów bezwładności nieskończenie małych dysków przechodzących przez oś z.

Moment bezwładności dla dysku wyraża się wzorem


całkujemy to wyrażenie:

można zauważyć ,iż 

korzystamy teraz z zależności,iż:

,czyli:


,gdzie 
,a 
ostatecznie: