1. Wstęp

Celem naszego ćwiczenia było zbadanie dyfrakcji elektronów i światła na sieci krystalicznej. U podstaw ćwiczenia leży hipoteza de Broglie’a, która poruszającej się cząstce przypisuje określoną długość fali zgodnie z zależnością:

$$\lambda = \frac{h}{p}$$

gdzie h – stała Plancka, a p – pęd cząstki. Musimy także pamiętać, iż podstawową własnością materii jest dualizm korpuskularno-falowy. Przydatny będzie również wzór Bragga, wiążący długość fali, odległość między płaszczyznami atomowymi oraz kąt poślizgu:

2dsinθ = nλ

Aby potwierdzić słuszność hipotezy de Broglie’a wykonuje się doświadczenie Thomsona, polegające na przepuszczaniu wiązki elektronów przez cienką folię polikrystaliczną (w naszym ćwiczeniu była to folia grafitowa o sieci heksagonalnej). Zaobserwowane na ekranie układy pierścieni pozwalają nam wyznaczyć odległość między płaszczyznami atomowymi w folii. Ponadto, jeśli wykres funkcji:

$$\frac{2rh}{D} = d*\sqrt{2meU}$$

r – odległość folia-ekran

h – stała Plancka

D – średnica pierścienia

d – odległość między płaszczyznami atomowymi

m – masa elektronu
e – ładunek elektronu
U – napięcie przyspieszające elektrony

okaże się liniowy, potwierdzi to hipotezę de Broglie’a.

2. Układ pomiarowy

Ćwiczenie składało się z dwóch części, a więc wymagało dwóch układów pomiarowych: pierwsza część to doświadczenie Thomsona, druga to zbadanie obrazu interferencyjnego powstałego na skutek umieszczenia na drodze światła laserowego siatki dyfrakcyjnej. W pierwszej części wykorzystaliśmy lampę oscyloskopową, jej zasilacz oraz ekran, na którym pojawiały się pierścienie:

Układ pomiarowy do drugiej części ćwiczenia był następujący:

3. Wykonanie ćwiczenia

a) Doświadczenie Thomsona.

1. Zapoznanie się z obsługą zasilacza lampy oscyloskopowej i upewnienie się, że pokrętło regulacji napięcia przyspieszającego elektrony jest w położeniu zerowym.

2. Zwiększenie napięcia zasilacza na 10 kV i zmierzenie średnic wewnętrznych i zewnętrznych powstałych na ekranie pierścieni.

3. Zmniejszanie napięcia zasilającego o 1 kV i mierzenie średnic kolejnych pierścieni dla 6 pomiarów.

4. Zmniejszenie napięcia zasilającego do 0 kV i wyłączenie zasilania.

b) Dyfrakcja światła na sieci krystalicznej.

1. Włączenie lasera i ustawienie go w wyznaczonym na stole laboratoryjnym miejscu.

2. Wstawienie w bieg wiązki światła laserowego 7 siatek dyfrakcyjnych (A1, B1, B2, B3, B5, C1, D1) i odrysowanie powstałych obrazów interferencyjnych.

3. Zabezpieczenie wszystkich siatek dyfrakcyjnych i wyłączenie zasilania lasera.

4. Wyniki i ich opracowanie, rachunek niepewności

Część I – doświadczenie Thomsona

Zmierzyliśmy średnice zewnętrzne i wewnętrzne dwóch pierścieni, które pojawiły się na ekranie. Wyniki zaprezentowane są w tabeli:

Nr pomiaru	U [V]	D2 pierścienia zewn. [m]	D1 pierścienia wewn. [m]
		zewnętrzna	wewnętrzna
1	10000	0,03	0,025
2	9000	0,031	0,025
3	8000	0,032	0,028
4	7000	0,034	0,03
5	6000	0,038	0,033
6	5000	0,041	0,035

Odległość folia-ekran: r = 0, 127 ± 0, 001 [m]

Stała Plancka: h = 6,  63 *  10⁻³⁴ [Js]

Masa elektronu: m = 9,  11 * 10⁻³¹ [kg]

Ładunek elektronu: e = 1,  6 * 10⁻¹⁹ [C]

Korzystając ze wzoru:

$$D = \frac{2rh}{d\sqrt{2meU}}$$

i przekształcając go do postaci:

$$D = \frac{2rh}{d\sqrt{2me}}*\frac{1}{\sqrt{U}}$$

gdzie: y = D , $x = \frac{1}{\sqrt{U}}$ , $\frac{2rh}{d\sqrt{2me}} = a$ ,

sporządzam wykres zależności w programie Origin dla zewnętrznej średnicy mniejszego pierścienia (załączony na końcu sprawozdania) i odczytuję z niego wartość współczynnika a oraz jego niepewność:

$$a = 1,19178 \pm 0,15031\ \lbrack m*\sqrt{V}\rbrack$$

aby wyznaczyć wartość d przekształcam wzór:

$$d = \frac{2rh}{a\sqrt{2me}}$$

$$d = \frac{2*0,127*6,63*10^{- 34}}{1,19178*\sqrt{2*9,11*10^{- 31}*1,6*10^{- 19}}} = 2,61\ \mathring{\mathrm{A}}$$

Następnie obliczam niepewność złożoną d związaną z wyznaczeniem jej przy pomocy wartości a:

$$d = \sqrt{\left( \frac{\partial d}{\partial a} \right)^{2}*u^{2}(a)} = \sqrt{\left( - \frac{2rh}{a^{2}\sqrt{2me}} \right)^{2}*{0,15031}^{2}} = 0,015\ \mathring{\mathrm{A}}$$

Obliczam niepewność złożoną dla jednego punktu pomiarowego

D = 0,018 m U=10000 V

Ich błędy wynoszą: D = 0, 001m , U = 100V

$$\partial d = \sqrt{\left( \frac{\partial d}{\partial r} \right)^{2}*u^{2}\left( r \right) + \left( \frac{\partial d}{\partial D} \right)^{2}*u^{2}\left( D \right) + \left( \frac{\partial d}{\partial U} \right)^{2}*u^{2}\left( U \right)} =$$

$$= \sqrt{\left( \frac{2h}{D\sqrt{2meU}} \right)^{2}*{0,001}^{2} + \left( - \frac{2rh}{D^{2}\sqrt{2meU}} \right)^{2}*{0,001}^{2} + \left( - \frac{\text{rh}}{D\sqrt{2meU^{3}}} \right)^{2}*100^{2}} =$$

$$= \sqrt{1,86*10^{- 24} + 92,668*10^{- 24} + 0,7506*10^{- 24}} = 0,098\ \mathring{\mathrm{A}}$$

Całkowitą niepewność wartości d obliczam ze wzoru na przenoszenie niepewności, gdyż są one tego samego rzędu:

$$U\left( d \right) = \sqrt{{0,015}^{2} + \frac{{0,098}^{2}}{3}} = 0,059\ \mathring{\mathrm{A}}$$

ostateczny wynik:

d = 2, 610(59) Å

Odpowiedzi na pytania do tej części ćwiczenia:

• Wartość testu χ² dla wykresu D($\frac{1}{\sqrt{U}})$ wynosi 1, 07 * 10⁻⁶ , a wartość krytyczna dla poziomu istotności 0,05 i 4 stopni swobody wynosi 9,5. Wynika z tego, iż nie ma podstaw do odrzucenia twierdzenia o liniowości tej zależności, a co za tym idzie hipoteza de Broglie’a została potwierdzona. Obliczona wartość d jest zbliżona do wartości teoretycznej $d = 2,46\ \mathring{\mathrm{A}}$ dla odległości płaszczyzny atomowej grafitu.

• Na ekranie nie widać pierścieni interferencyjnych wyższych rzędów, ponieważ nie został spełniony warunek wzmocnienia fal zgodnie z równaniem Bragga dla więcej niż dwóch zespołów płaszczyzn o różnych odległościach atomowych.

• Intensywność obu okręgów jest porównywalna, gdyż wiązka obejmuje wiele różnie zorientowanych obszarów monokrystalicznych.

Część II – dyfrakcja światła na sieci krystalicznej

Odrysowane obrazy interferencyjne załączone na końcu sprawozdania. Ponieważ nie mierzyliśmy wartości stałych sieciowych pod mikroskopem nie mamy porównania dla wyliczonych wyników. Obliczenia stałych sieciowych przeprowadziłem w arkuszu kalkulacyjnym Excel, dla poglądu na sprawozdaniu przeprowadzę obliczenie dla siatki B3 – sieci heksagonalnej.

Siatka B3

Punkt: h=1

k=0

H_hk = 0, 010 ± 0, 001 [m]

λ = 6, 6 * 10⁻⁷ [m]

L = 1, 400 ± 0, 002 [m]

$$\text{tg}\theta_{\text{hk}} = \frac{H_{\text{hk}}}{L} = \frac{0,010\ m}{1,4\ m} = 0,0071428$$

Niepewność wyliczenia tangensa wyznaczam metodą różniczki zupełnej:

$$tg\theta_{\text{hk}} = \sqrt{\left( \frac{\partial\frac{H_{\text{hk}}}{L}}{\partial H_{\text{hk}}} \right)^{2}*u^{2}\left( H_{\text{hk}} \right) + \left( \frac{\partial\frac{H_{\text{hk}}}{L}}{\partial L} \right)^{2}*u^{2}\left( L \right)} =$$

$$= \sqrt{\left( \frac{1}{L} \right)^{2}*u^{2}(H_{\text{hk}}) + \left( - \frac{H_{\text{hk}}}{L^{2}} \right)^{2}*u^{2}(L)} =$$

$$= \sqrt{\left( \frac{1}{1,4\ } \right)^{2}*{0,001}^{2}\ + \left( \frac{0,010\ m}{\left( 1,4\ \right)^{2}} \right)^{2}*{0,002\ }^{2}} = 7,24484*10^{- 4}$$

tgθ_hk = 0, 0071428 ⇒  θ_hk = 0, 4092

tgθ_hk = 7, 24484 * 10⁻⁴  ⇒  θ_hk = 0, 0415

Zatem:

$$d_{\text{hk}} = \frac{\lambda}{\sin\theta_{\text{hk}}} = \frac{6,6*10^{- 7}\text{\ m}}{sin(0,4092)} = 9,2413*10^{- 5}\text{\ m}$$

Niepewność d_hk liczę metodą różniczki zupełnej:

$$d_{\text{hk}} = \sqrt{\left( \frac{\partial d_{\text{hk}}}{\partial\theta_{\text{hk}}} \right)^{2}*\left( \theta_{\text{hk}} \right)^{2}} = \sqrt{\left( - \frac{\lambda*cos\theta_{\text{hk}}}{\sin^{2}\theta_{\text{hk}}} \right)^{2}*\left( \theta_{\text{hk}} \right)^{2}} =$$

$$= \sqrt{\left( \frac{6,6*10^{- 7}\ *\cos\left( 0,4092 \right)}{\sin^{2}\left( 0,4092 \right)} \right)^{2}*\left( \theta_{\text{hk}} \right)^{2}} = 0,9367*10^{- 5}\text{\ m}$$

Siatka B3 ma sieć heksagonalną, a więc stałą sieciową liczymy z następującego wzoru:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ d}_{\text{hk}} = \frac{a}{\sqrt{{\frac{4}{3}(h}^{2} + kh + k^{2})}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

gdzie a jest szukaną stałą sieciową.

Zatem:

$$a = d_{\text{hk}}*\sqrt{{\frac{4}{3}(h}^{2} + kh + k^{2})} = 9,2413*10^{- 5}\ m*\sqrt{\frac{4}{3}*1^{2}} = 10,6709*10^{- 5}\text{\ m}$$

Niepewność wyznaczenia stałej sieciowej będzie równa:

$$a = d_{\text{hk}}*\sqrt{{\frac{4}{3}(h}^{2} + kh + k^{2})} = 0,9367*10^{- 5}\ m*\sqrt{\frac{4}{3}*1^{2}} = 1,0816*10^{- 5}\text{\ m}$$

Ostatecznie:

a = 107 ± 11 [μm]

5. Wnioski

• Na podstawie wykresu sporządzonego w programie Origin i obliczeń przeprowadzonych przez ten program możemy stwierdzić, że badana zależność jest zależnością liniową. Otrzymany wynik potwierdza założenie hipotezy de Broglie’a, ponieważ oznacza, że wiązce elektronów (cząstek) możemy przypisać określoną długość fali.

• Obrazy interferencyjne otrzymane dla przezroczy A1, B1 i C1 są praktycznie identyczne. Są to sieci regularne. Obraz interferencyjny potwierdza fakt, iż fala ulega dyfrakcji na przeszkodzie z otworami.

• Siatka D1 ma mniejszą stałą sieciową niż siatki A1, B1 oraz C1.

• Przezrocze B5 wykonane jest z polikryształu. Polikryształy składają się z bardzo dużej liczby monokryształów, zatem zawsze znajdzie się pewna liczba krystalitów, dla których warunek Bragga będzie spełniony dla danego kąta poślizgu - stąd otrzymany obraz interferencyjny w postaci okręgów. Obraz ten można porównać z obrazem otrzymanym dla wiązki elektronów, ponieważ zgodnie z hipotezą de Broglie’a wiązce elektronów można przypisać określoną długość fali. Wiązka elektronów potraktowana jak fala, ulega dyfrakcji na folii grafitowej tak samo, jak światło ulega dyfrakcji na polikrysztale.

• Sieć przezrocza B2 jest siecią prostokątną, natomiast w przypadku siatki B3 mamy do czynienia z siecią heksagonalną.