Modelowanie matematyczne - PROBLEM 3

Werbalny opis problemu

Rafineria wytwarza wiele rodzajów benzyn w różnych procesach produkcyjnych. Wykorzystuje się przy tym różne rodzaje surowców. Należy zaplanować miesięczną liczbę wykonań dla każdego z procesów znając ograniczenia na dostępność surowców, efektywność każdego z procesów oraz minimalne zamówienia. Jak sterować produkcją aby zysk był największy?

Rozwiązanie:

Cechy: P – liczba procesów produkcyjnych B – liczba rodzajów benzyn S - liczba rodzajów surowców Ui – dostępna ilość surowca i $(i = \overset{\overline{}}{1,S})$ Li – minimalna zamówienie benzyny i $(i = \overset{\overline{}}{1,B})$ eij – ilość surowca i wykorzystywana w procesie j ($i = \overset{\overline{}}{1,S},\ j = \overset{\overline{}}{1,P})$ yij - ilość benzyny i wytworzona w procesie j $\left( i = \overset{\overline{}}{1,B},\ j = \overset{\overline{}}{1,P} \right)$ cj – zysk dla procesu j $(j = \overset{\overline{}}{1,P})$ xj - liczba wykonań procesu j $\left( j = \overset{\overline{}}{1,P} \right)$ z - zysk

Związki: (z1): ograniczona liczba surowców (dla każdego surowca)  Y1 = ⟨P, {xj}j = 1^P, {e1j}j = 1^P, U1⟩ $R_{1} = \left\{ \left\langle p,\left\{ m_{j} \right\}_{j = 1}^{p},\left\{ n_{j} \right\}_{j = 1}^{p},u \right\rangle \in N^{p + 1} \times R_{+}^{p + 1}:\ \sum_{j = 1}^{p}{m_{j}n_{j} \leq u} \right\}$ … (zS + 1):minimalne zamówienia (dla każdej benzyny) YS + 1 = ⟨P, {xj}j = 1^P, {y1j}j = 1^P, L1⟩ $R_{S + 1} = \left\{ \left\langle p,\left\{ m_{j} \right\}_{j = 1}^{p},\left\{ n_{j} \right\}_{j = 1}^{p},l \right\rangle \in N^{p + 1} \times R_{+}^{p + 1}:\ \sum_{j = 1}^{p}{m_{j}n_{j} \geq l} \right\}$ … (zS + B + 1): Zysk YS + B + 1 = ⟨P,{xj}j = 1^P,{cj}j = 1^P,z⟩ $R_{S + B + 1} = \begin{Bmatrix} \left\langle p,\left\{ n_{j} \right\}_{j = 1}^{p},\left\{ d_{j} \right\}_{j = 1}^{p},g \right\rangle \in N^{p + 1} \times R^{p + 1}: \\ g = \sum_{j = 1}^{p}{n_{j}d_{j}} \\ \end{Bmatrix}$

Opis cech: $$\ \dot{X} = \{\left\langle P,N \right\rangle,\left\langle B,N \right\rangle,\ldots,\left\langle z,R \right\rangle\}$$

Opis związków: $$\ \dot{R} = \{\left\langle z_{1},Y_{1},R_{1} \right\rangle,\ldots,\left\langle z_{S + B + 1},Y_{S + B + 1},R_{S + B + 1} \right\rangle\}$$

Model matematyczny: $\left\langle \dot{X},\dot{R} \right\rangle$

a = ⟨P,B,S,{U_i}_i = 1^S,{L_i}_i = 1^B,{{e_ij}_i = 1^S}_j = 1^P,{{y_ij}_i = 1^B}_j = 1^P,{c_j}_j = 1^P⟩

A = {⟨P,B,S,{U_i}_i = 1^S,{L_i}_i = 1^B,{{e_ij}_i = 1^S}_j = 1^P,{{y_ij}_i = 1^B}_j = 1^P,{c_j}_j = 1^P⟩ ∈ N³ × R^{P(B+S+1) + B + S}}

x = ⟨{x_j}_j = 1^P⟩ , $\Omega\left( a \right) = \{\left\langle \left\{ x_{j} \right\}_{j = 1}^{P} \right\rangle \in N^{P}:\ \sum_{j = 1}^{p}{x_{j}e_{\text{ij}} \leq U_{i}},i = \overset{\overline{}}{1,S},\sum_{j = 1}^{p}{x_{j}y_{\text{ij}} \geq L_{i}},i = \overset{\overline{}}{1,B},\}$

w = z, $W\left( a,x \right) = \{ z \in R:z = \sum_{j = 1}^{p}{x_{j}c_{j}}\}$, W(a) = {z ∈ W(a,x) : x ∈ Ω(a)}

$$E_{a}\left( Z\left( x^{*} \right) \right) = \left\{ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ }\begin{matrix} \text{gdy} & Z\left( x^{*} \right) = \max{W\left( a \right) = \operatorname{}{Z(x)}} \\ \text{w\ p.p} & \ \\ \end{matrix} \right.\ $$

Z(x) = f(a,x) = x_A(c_A−k_A) + x_B(c_B − k_B)

Zadanie optymalizacyjne:

Dla danych a ∈ A wyznaczyć takie x^* ∈ Ω(a) aby Ea(Z(x^*)) = 1	Dla danych a ∈ A wyznaczyć takie x^* ∈ Ω(a) aby Z(x^*) = Z(x)