Piotr LUDWIKOWSKI
2008/2009 Fizyka	1 kwietnia 2009
Środa, 17:15	dr I. Mróz

DRGANIA MASY ZAWIESZONEJ NA SPRĘŻYNIE

Lp.	Amplituda x, m	Czas t = 20T, s
1	0,01	23,2
2	0,02	24,6
3	0,03	22,2
4	0,04	22,0
5	0,05	22,2
6	0,06	22,1
7	0,07	22,0
8	0,08	22,8
9	0,09	22,0
10	0,10	22,4
11	0,10	22,0
12	0,10	22,1
13	0,10	22,2
14	0,10	22,3

Lp.	Masa odw. m, kg	Czas t = 20T, s
1	0,040	22,0
2	0,050	22,3
3	0,060	23,1
4	0,070	23,6
5	0,080	25,1
6	0,090	26,1
7	0,100	27,1
8	mx	24,4

Niepewność pomiaru amplitudy: 0,002 m

Czas mierzono stoperem elektronicznym.

Dokładność miarki wynosi: 0,1 cm

Dokładność pomiaru wynosi: 0,2 cm

W obliczeniach uwzględniono względne wydłużenie sprężyny.

Początkowe położenie szalki
(bez dod. masy) wynosiło 23 cm.

Pomiary dla masy rosnącej:

Lp.	Masa odw. m, g	Wydłużenie sprężyny, Δh, m
1	10	0,032
2	20	0,066
3	30	0,100
4	40	0,133
5	50	0,167
6	60	0,200
7	70	0,23,5
8	80	0,267
9	90	0,300
10	100	0,334

Niepewność pomiaru wydłużenia: 0,002 m

Pomiary dla masy malejącej:

Lp.	Masa odw. m, g	Wydłużenie sprężyny, Δh, m
1	100	0,334
2	90	0,300
3	80	0,267
4	70	0,233
5	60	0,201
6	50	0,166
7	40	0,135
8	30	0,100
9	20	0,066
10	10	0,032

Niepewność pomiaru wydłużenia: 0,002 m

TEORIA:

Ogólne prawo opisujące własności sprężyste ciał stałych mówiące, że odkształcenie ciała jest proporcjonalne do przyłożonego naprężenia nazywane jest prawem Hooke’a. Prawo to jest spełnione dla małych odkształceń. W przypadku, gdy rozciągamy lub ściskamy sprężynę miarą odkształcenia jest jej wydłużenie x (dodatnie, gdy sprężyna jest rozciągana a ujemne, gdy jest ściskana). Ponieważ naprężenie jest proporcjonalne do działającej siły zewnętrznej F_z powodującej odkształcenie prawo Hooke'a dla sprężyny można zapisać w postaci:

$${\overrightarrow{F}}_{z} = k\overrightarrow{x}$$	(1)

Drgający układ harmoniczny charakteryzujący się niewielką amplitudą, ma tę ciekawą własność, że okres drgań nie zależy od wartości amplitudy. Cechę tę nazywamy izochronizmem drgań.

Ruch ciężarka zawieszonego na nieważkiej sprężynie.

Gdy ciężarek o masie m zawiesimy na nieważkiej sprężynie (m_s = 0), to okres drgań powstałego w ten sposób wahadła możemy opisać następująco:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$	(2)

gdzie k – współczynnik sprężystości sprężyny.

Ruch ciężarka zawieszonego na sprężynie o niezerowej masie.

Okres tego ruchu wyraża się wzorem:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m + \frac{1}{3}m_{s}}{k}}$$	(3)

gdzie m_s jest masą sprężyny.

Tak byłoby również w przypadku nieważkiej sprężyny o takim samym współczynniku sprężystości, obciążonej ciężarkiem o łącznej masie $M = m + \frac{1}{3}m_{s}$ Zależność wyrażoną tym wzorem można przedstawić w wygodniejszej do obliczeń postaci:

$$T^{2} = \frac{4\pi^{2}m}{k} + \frac{4\pi^{2}m_{s}}{3k}$$	(4)

Widzimy, że T² zależy w sposób liniowy od wartości masy m zawieszonej na sprężynie, co możemy zapisać w sposób jeszcze bardziej nieskomplikowany:

T^2 = Am + B	(5)

Współczynniki tej prostej wyrażają się wzorem:

$$A = \frac{4\pi^{2}}{k},\ B = \frac{4\pi^{2}m_{s}}{3k}$$	(6)

Tekst na podstawie: H.Szydłowski, Pracownia fizyczna oraz http//pracownia.ifd.uni.wroc.pl

Opracowanie wyników pomiarów.

Najpierw sprawdzimy, czy okres T zależy od amplitudy. W tym celu obliczymy najpierw okres drgań dla każdego z pięciu pomiarów wykonanych dla tej samej amplitudy (tabela 1), a następnie jego średnią wartość Później znajdziemy największe odchylenie od średniej.

Obliczymy również okresy dla pozostałych pomiarów.

Skorzystamy z wzoru:

$$T = \frac{t}{20}$$

zatem okres wynosi odpowiednio:

1,12 s, 1,10 s, 1,11 s, 1,11 s, 1,12 s, Średnia wartość okresu, jak łatwo wyliczyć wynosi zatem 1,11 s. Obliczymy niepewność pomiarową jako odchylenie:

u(T) = 0, 01

Lp.	Amplituda x, m	Okres T, s
1	0,01	1,16*
2	0,02	1,23*
3	0,03	1,11
4	0,04	1,10
5	0,05	1,11
6	0,06	1,11
7	0,07	1,10
8	0,08	1,14*
9	0,09	1,10
10	0,10	1,12
11	0,10	1,10
12	0,10	1.11
13	0,10	1,11
14	0,10	1,12

Widzimy, że nie wszystkie wartości okresów zmierzonych przy naszych amplitudach mieszczą się w przedziale niepewności, jaki wyznaczyliśmy(*)

Teraz obliczymy średnie wartości wydłużeń sprężyny pod wpływem obciążeń rosnących i malejących. Skorzystamy z wzoru:

$$x_{0} = \frac{x_{01} + x_{02}}{2},$$

gdzie: x₀₁ –wydłużenie przy obciążeniu rosnącym,

x₀₂ - wydłużenie przy obciążeniu malejącym

Lp.	Siła F, N	x01, m	x02, m	x0, m
1	0,1	0,032	0,032	0,032
2	0,2	0,066	0,066	0,066
3	0,3	0,100	0,100	0,100
4	0,4	0,133	0,135	0,134
5	0,5	0,167	0,166	0,167
6	0,6	0,200	0,201	0,200
7	0,7	0,235	0,233	0,234
8	0,8	0,267	0,267	0,267
9	0,9	0,300	0,300	0,300
10	1	0,334	0,334	0,334

Następnie sporządzimy wykres zależności wydłużenia sprężyny x₀ od ciężaru F odważników znajdujących się na szalce, odkładając siłę F na osi rzędnych a wydłużenie x₀ na osi odciętych.

Na podstawie powyższego wykresu, można wyznaczyć stałą sprężystości, która wynosi
k = 0,03 N/m², u(k) = 0,002 N/m²

Teraz narysujemy wykres zależności kwadratu okresu T² drgań układu od masy m obciążającej sprężynę. Pamiętajmy, że masa jest równa sumie masy konkretnego odważnika i masy szalki, która wg instrukcji wynosi 17,9 g. Najpierw wyliczamy okres T z wzoru:

$$T = \frac{t}{20},$$

a następnie jego kwadrat:

Lp.	Masa m, g	Kwadrat okresu T^2, s^2
1	57,9	1,21
2	67,9	1,24
3	77,9	1,33
4	87,9	1,39
5	97,9	1,58
6	107,9	1,70
7	117,9	1,84
8	mx	1,22

Niepewność wielkości T² wynosi u(T²) = 0,0001 s². Tak małej niepewności nie można zaznaczyć na wykresie.

Z wykresu odczytujemy wartość A. (wynosi ona 0,010.) oraz masę m_x (wynosi ok. 58 g, ponieważ T²(m_x) = 1,21 s²)

Przy zerowym obciążeniu (m = 0) wartość T² = 0,52 s².

Sprawdzimy jeszcze, czy udział masy sprężyny m_s w łącznej masie m od której zależy okres drgań
T jest równy 1/3 m_s.

UWAGA. Masę ciężarka oznaczymy przez m_c.

I tak na przykład przy T² = 0,52 s² otrzymamy:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m_{c} + \frac{1}{3}m_{s}}{k}}$$

$$T^{2} = \frac{4\pi^{2}}{3k}m_{s} \Rightarrow m_{s} = \frac{3{kT}^{2}}{4\pi^{2}} \approx 0,001\ \text{kg}$$

WNOSKI:

W doświadczeniu miałem możliwość wyznaczenia współczynnika sprężystości k. Wartość którą otrzymałem wynosi k =0,03 N/m², u(T) = 0,002 N/m². Prawo Hooke’a jest spełnione w całym zakresie

Na podstawie pomiarów z punktu II1. pokazałem, że okres drgań badanego układu nie zależy od amplitudy, co oznacza że zachodzi tu tzw. izochronizm drgań.

Niestety, choć wykonałem dalsze polecenia zgodnie z instrukcją i udało mi się odczytać wartości współczynników A i B dla prostej T² = Am + B, oraz wyznaczyć „nieznaną” masę , to jednak nadal w ostatnim punkcie nie jestem w stanie wykazać poprawności zaproponowanych wzorów. Moim zdaniem błąd musi tkwić gdzieś w wyznaczaniu stałej k.