1.Całka nieoznaczona-funkcję F(x) będziemy nazywac pierwotna dla funkcji f(x) na danym przedziale (a,b) , jeśli dla dowolnego xe(a,b) zachodzi F’(x)=f(x) lub dF(x)/dx=f(x).np.funkcja F(x)=sinx jest f.pierwotna na calej osi rzeczywistej R1 dla funkcji f(x)=cosx, bowiem xeR1 zachodzi (sinx)’=cosx. Znajdowanie f.pierwotnej F(x) Gdy dana jest f(x) to podstawowe zadanie rachunku całkowego. Uwaga: znadowanie f.pierwotnej F(x) jest niejednoznaczne bowiem F’(x)=f(x) oraz [F(x)+c]=f(x). oznacza to że mając jedną F(x) mamy cała rodzine. Zapisujemy: ∫f(x)dx=F(x)+c-jest to całka nieoznaczona z funkcji f(x). 2. równanie różniczkowe zwyczajne-wezmy zmienna xe(a,b) i nieznaną funkcje y=y(x)oraz jej pochodne(y’,y”,..,yⁿ) okreslone w tym przedziale.Def: równanie postaci:F(x,y,y’,y”,..,yn)=0- jest to równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu.Rząd równania-najwieksza pochodna wystepujaca w równaniu.Def: rozwiązaniem albo calką równania różniczkowego zwyczajnego nazywamy każdą funkcję y(x) spełniającą w/w równanie w przedziale (a,b) gdzie pojawiaja się stałe. Dla równania n-tego rzędu mam n stałych. Dlatego mowimy o n-parametrowej rodzinie rozwiązań.

3. całką ogólną lub rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego zwyczajnego nazywamy takie rozwiązanie które zawiera tyle niezależnych stalych ile wynosi rzad tego równania. y’=x² –lagrange, $\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$=x²/dx –leibitz , dy=x²dx, ∫dy= ∫x²dx, y= $\frac{x^{3}}{3} + c$=c.ogolna. 4. całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego zwyczajnego nazywamy takie rozwiązanie w którym dowolnym stalym nadano konkretne wartości przy pomocy tzw. Warunków początkowych. (x₀=1, y_o=2) –warunki początkowe. 2=1/3 + c -> c=5/3 , y=$\frac{x^{3}}{3}$+ 5/3.5.tw o wartości średniej funkcji – jeśli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a,b] to istniej taki punkt ksi należacy e(a,b) ze zachodzi *- ∫_a^bf(x)dx = (b−a)f(ksi). Liczbę f(ksi) = $\frac{1}{(b - a)}\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}}\ $- nazywamy wartościa średnia funkcji f(x) w przedziale [a,b].interpretacja geometryczna jest b.prosta: całka oznaczona pod funkcja y=f(x), x=a,x=b,y=0. Iloczyn (b-a)f(ksi) to pole prostokąta. P1=P2 to *. 6. kryterium d’Alamberta –jeśli dla szeregu $\sum_{n}^{}u_{n}$z dodatnimi wyrazami istnieje taka liczba q<1 to dla wszystkich dostatecznie duzych n zachodzi nierowność $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} < q$ - to szereg jest ziezny , teslo >= 1 to szereg rozbieżny. Np. $\sum_{n = 1}^{\text{nieskon}}\frac{n}{2^{n}}$. U_n=n/2ⁿ u _n+1=$\frac{n + 1}{2^{n + 1}}$. U _n+1= ½ $\frac{n + 1}{n}$. ½ $\operatorname{}\frac{n + 1}{n} = \frac{1}{2} < 1$.-szereg zbieżny. 7. równanie różniczkowe liniowe- def.rown.rozn.y’=f(x,y) nazywa się liniowymi jeśli jest ono liniowe względem szukanej funkcji y i jej pochodnej y’. może wiec być ono zapisane w postaci : y’+P(x)y=Q(x). przykłady rozwiązań liniowych 1) jeśli Q(x)=0 to równ.rózniczkowe liniowe jednorodne. 2.różne od 0 to niejednorodne. 8.całka podwójna –funkcja z=f(x,y) jest określona i ograniczona w obszarze domkniętym D. dzielimy ten obszar D na n podobszarów D; i=1,2,3..,n. w każdym z nich wybieramy pkt Pi(ksi_i, η _i). i tworzymy sume iloczynów δ_n=$\sum_{i = 1}^{n}{f\left( ksii,ni \right)}$ΔxΔy. Zagęszczamy ten przedział tzn n->nieskocz. Jeśli suma δ_n niezależna od wyboru punktow P, zmierza do tej samej granicy to tę granicę nazywamy całką podwójną funkcji z=f(x,y) w obszarze D. Uwaga zbiór pktów Q(x,y) f (x,y) tworzy powierzchnię (płat) nad obszarem D. interpretacja geom: suma δ_n jest sumą objętości prostopadłościana o podstawie Di i wysokości f(ksi_i, η _i). jeśli całka istnieje to jest ona miarą objętości bryły o podstawie D leżacej pod płatem powierzchniowym. V= ∬_Df(x, y)dxdy ;f(x,y)-nieujemna. Jeśli funkcja f(x,y) przyjmuje w obszarze D wartości ujemne to –V.. jeśli płat powierzchniowy ma równanie z=1 to całka podwója jest równa liczbowo polu obszaru d. |D|= ∬_D1dxdy. 9. kryterium Cauchy-ego. –jeśli istnieje taka liczna q<1 że dla wszystkich dostatecznie duzych n zachodzi nierównośc $\sqrt[n]{n} < q$ to szereg $\sum_{n}^{}\text{Un\ }$- jest zbieżny jeśli $\sqrt[n]{n}$>=1 to rozbieżny. Def. Liczba z=x+iy nazywa się granica ciągu Zn;n=1,2,.. nieskoncz, jeśli dla dowolnej liczby ξ>0 istenieje taki indeks wyrazu ciagu N(ξ) że dla n> N(ξ) zachodzi nierównosć |z-z_n|<ξ. Interpretacja geometryczna : dla dowolnej liczby ξ>0 poczynając od pewnego nr (indeksu) wyrazu N(ξ) wszystkie wyrazy ciagu leża w kole o promieniu ξ i środku z, na zewnatrz zewnatrz kola musi być skończona liczba wyrazów. Zapisujemy z_n = zi mowimy że ciąg Zn jest zbieżny do z. tw. Aby zachodzila zbieżność ciagu Zn warunkiem koneicznym i dostatecznym jest aby zbieżne były ciągi rzeczywistych i urojonych. X₁,x₂,…x_n (x_n=Re(Z_n)) , y₁,y₂,..y_n (y_n=Im(Z_n)). Czyli : Xn = x i yn = y  to zn = z gdzie z=x+iy.

1.Całka nieoznaczona-funkcję F(x) będziemy nazywac pierwotna dla funkcji f(x) na danym przedziale (a,b) , jeśli dla dowolnego xe(a,b) zachodzi F’(x)=f(x) lub dF(x)/dx=f(x).np.funkcja F(x)=sinx jest f.pierwotna na calej osi rzeczywistej R1 dla funkcji f(x)=cosx, bowiem xeR1 zachodzi (sinx)’=cosx. Znajdowanie f.pierwotnej F(x) Gdy dana jest f(x) to podstawowe zadanie rachunku całkowego. Uwaga: znadowanie f.pierwotnej F(x) jest niejednoznaczne bowiem F’(x)=f(x) oraz [F(x)+c]=f(x). oznacza to że mając jedną F(x) mamy cała rodzine. Zapisujemy: ∫f(x)dx=F(x)+c-jest to całka nieoznaczona z funkcji f(x). 2. równanie różniczkowe zwyczajne-wezmy zmienna xe(a,b) i nieznaną funkcje y=y(x)oraz jej pochodne(y’,y”,..,yⁿ) okreslone w tym przedziale.Def: równanie postaci:F(x,y,y’,y”,..,yn)=0- jest to równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu.Rząd równania-najwieksza pochodna wystepujaca w równaniu.Def: rozwiązaniem albo calką równania różniczkowego zwyczajnego nazywamy każdą funkcję y(x) spełniającą w/w równanie w przedziale (a,b) gdzie pojawiaja się stałe. Dla równania n-tego rzędu mam n stałych. Dlatego mowimy o n-parametrowej rodzinie rozwiązań. 3. całką ogólną lub rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego zwyczajnego nazywamy takie rozwiązanie które zawiera tyle niezależnych stalych ile wynosi rzad tego równania. y’=x² –lagrange, $\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$=x²/dx –leibitz , dy=x²dx, ∫dy= ∫x²dx, y= $\frac{x^{3}}{3} + c$=c.ogolna. 4. całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego zwyczajnego nazywamy takie rozwiązanie w którym dowolnym stalym nadano konkretne wartości przy pomocy tzw. Warunków początkowych. (x₀=1, y_o=2) –warunki początkowe. 2=1/3 + c -> c=5/3 , y=$\frac{x^{3}}{3}$+ 5/3.5.tw o wartości średniej funkcji – jeśli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a,b] to istniej taki punkt ksi należacy e(a,b) ze zachodzi *- ∫_a^bf(x)dx = (b−a)f(ksi). Liczbę f(ksi) = $\frac{1}{(b - a)}\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}}\ $- nazywamy wartościa średnia funkcji f(x) w przedziale [a,b].interpretacja geometryczna jest b.prosta: całka oznaczona pod funkcja y=f(x), x=a,x=b,y=0. Iloczyn (b-a)f(ksi) to pole prostokąta. P1=P2 to *. 6. kryterium d’Alamberta –jeśli dla szeregu $\sum_{n}^{}u_{n}$z dodatnimi wyrazami istnieje taka liczba q<1 to dla wszystkich dostatecznie duzych n zachodzi nierowność $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} < q$ - to szereg jest ziezny , teslo >= 1 to szereg rozbieżny. Np. $\sum_{n = 1}^{\text{nieskon}}\frac{n}{2^{n}}$. U_n=n/2ⁿ u _n+1=$\frac{n + 1}{2^{n + 1}}$. U _n+1= ½ $\frac{n + 1}{n}$. ½ $\operatorname{}\frac{n + 1}{n} = \frac{1}{2} < 1$.-szereg zbieżny. 7. równanie różniczkowe liniowe- def.rown.rozn.y’=f(x,y) nazywa się liniowymi jeśli jest ono liniowe względem szukanej funkcji y i jej pochodnej y’. może wiec być ono zapisane w postaci : y’+P(x)y=Q(x). przykłady rozwiązań liniowych 1) jeśli Q(x)=0 to równ.rózniczkowe liniowe jednorodne. 2.różne od 0 to niejednorodne. 8.całka podwójna –funkcja z=f(x,y) jest określona i ograniczona w obszarze domkniętym D. dzielimy ten obszar D na n podobszarów D; i=1,2,3..,n. w każdym z nich wybieramy pkt Pi(ksi_i, η _i). i tworzymy sume iloczynów δ_n=$\sum_{i = 1}^{n}{f\left( ksii,ni \right)}$ΔxΔy. Zagęszczamy ten przedział tzn n->nieskocz. Jeśli suma δ_n niezależna od wyboru punktow P, zmierza do tej samej granicy to tę granicę nazywamy całką podwójną funkcji z=f(x,y) w obszarze D. Uwaga zbiór pktów Q(x,y) f (x,y) tworzy powierzchnię (płat) nad obszarem D. interpretacja geom: suma δ_n jest sumą objętości prostopadłościana o podstawie Di i wysokości f(ksi_i, η _i). jeśli całka istnieje to jest ona miarą objętości bryły o podstawie D leżacej pod płatem powierzchnio. V= ∬_Df(x, y)dxdy ;f(x,y)-nieujemna. Jeśli funkcja f(x,y) przyjmuje w obszarze D wartości ujemne to –V.. jeśli płat powierzchniowy ma równanie z=1 to całka podwója jest równa liczbowo polu obszaru d. |D|= ∬_D1dxdy. 9. kryterium Cauchy-ego. –jeśli istnieje taka liczna q<1 że dla wszystkich dostatecznie duzych n zachodzi nierównośc $\sqrt[n]{n} < q$ to szereg $\sum_{n}^{}\text{Un\ }$- jest zbieżny jeśli $\sqrt[n]{n}$>=1 to rozbieżny. Def. Liczba z=x+iy nazywa się granica ciągu Zn;n=1,2,.. nieskoncz, jeśli dla dowolnej liczby ξ>0 istenieje taki indeks wyrazu ciagu N(ξ) że dla n> N(ξ) zachodzi nierównosć |z-z_n|<ξ. Interpretacja geometryczna : dla dowolnej liczby ξ>0 poczynając od pewnego nr (indeksu) wyrazu N(ξ) wszystkie wyrazy ciagu leża w kole o promieniu ξ i środku z, na zewnatrz zewnatrz kola musi być skończona liczba wyrazów. Zapisujemy z_n = zi mowimy że ciąg Zn jest zbieżny do z. tw. Aby zachodzila zbieżność ciagu Zn warunkiem koneicznym i dostatecznym jest aby zbieżne były ciągi rzeczywistych i urojonych. X₁,x₂,…x_n (x_n=Re(Z_n)) , y₁,y₂,..y_n (y_n=Im(Z_n)). Czyli : Xn = x i yn = y  to zn = z gdzie z=x+iy.

6. kryterium d’Alamberta –jeśli dla szeregu $\sum_{n}^{}u_{n}$z dodatnimi wyrazami istnieje taka liczba q<1 to dla wszystkich dostatecznie duzych n zachodzi nierowność $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} < q$ - to szereg jest ziezny , teslo >= 1 to szereg rozbieżny. Np. $\sum_{n = 1}^{\text{nieskon}}\frac{n}{2^{n}}$. U_n=n/2ⁿ u _n+1=$\frac{n + 1}{2^{n + 1}}$. U _n+1= ½ $\frac{n + 1}{n}$. ½ $\operatorname{}\frac{n + 1}{n} = \frac{1}{2} < 1$.-szereg zbieżny. 7. równanie różniczkowe liniowe- def.rown.rozn.y’=f(x,y) nazywa się liniowymi jeśli jest ono liniowe względem szukanej funkcji y i jej pochodnej y’. może wiec być ono zapisane w postaci : y’+P(x)y=Q(x). przykłady rozwiązań liniowych 1) jeśli Q(x)=0 to równ.rózniczkowe liniowe jednorodne. 2.różne od 0 to niejednorodne.

8.całka podwójna –funkcja z=f(x,y) jest określona i ograniczona w obszarze domkniętym D. dzielimy ten obszar D na n podobszarów D; i=1,2,3..,n. w każdym z nich wybieramy pkt Pi(ksi_i, η _i). i tworzymy sume iloczynów δ_n=$\sum_{i = 1}^{n}{f\left( ksii,ni \right)}$ΔxΔy. Zagęszczamy ten przedział tzn n->nieskocz. Jeśli suma δ_n niezależna od wyboru punktow P, zmierza do tej samej granicy to tę granicę nazywamy całką podwójną funkcji z=f(x,y) w obszarze D. Uwaga zbiór pktów Q(x,y) f (x,y) tworzy powierzchnię (płat) nad obszarem D. interpretacja geom: suma δ_n jest sumą objętości prostopadłościana o podstawie Di i wysokości f(ksi_i, η _i). jeśli całka istnieje to jest ona miarą objętości bryły o podstawie D leżacej pod płatem powierzchnio. V= ∬_Df(x, y)dxdy ;f(x,y)-nieujemna. Jeśli funkcja f(x,y) przyjmuje w obszarze D wartości ujemne to –V.. jeśli płat powierzchniowy ma równanie z=1 to całka podwója jest równa liczbowo polu obszaru d. |D|= ∬_D1dxdy. 4. całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego zwyczajnego nazywamy takie rozwiązanie w którym dowolnym stalym nadano konkretne wartości przy pomocy tzw. Warunków początkowych. (x₀=1, y_o=2) –warunki początkowe. 2=1/3 + c -> c=5/3 , y=$\frac{x^{3}}{3}$+ 5/3.

9. kryterium Cauchy-ego. –jeśli istnieje taka liczna q<1 że dla wszystkich dostatecznie duzych n zachodzi nierównośc $\sqrt[n]{n} < q$ to szereg $\sum_{n}^{}\text{Un\ }$- jest zbieżny jeśli $\sqrt[n]{n}$>=1 to rozbieżny. Def. Liczba z=x+iy nazywa się granica ciągu Zn;n=1,2,.. nieskoncz, jeśli dla dowolnej liczby ξ>0 istenieje taki indeks wyrazu ciagu N(ξ) że dla n> N(ξ) zachodzi nierównosć |z-z_n|<ξ.Interpretacja geometryczna : dla dowolnej liczby ξ>0 poczynając od pewnego nr (indeksu) wyrazu N(ξ) wszystkie wyrazy ciagu leża w kole o promieniu ξ i środku z, na zewnatrz zewnatrz kola musi być skończona liczba wyrazów. Zapisujemy z_n = zi mowimy że ciąg Zn jest zbieżny do z. tw.Aby zachodzila zbieżność ciagu Zn warunkiem koneicznym i dostatecznym jest aby zbieżne były ciągi rzeczywistych i urojonych. X₁,x₂,…x_n (x_n=Re(Z_n)) , y₁,y₂,..y_n (y_n=Im(Z_n)). Czyli : Xn = x i yn = y  to zn = z gdzie z=x+iy. 5.tw o wartości średniej funkcji – jeśli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale [a,b] to istniej taki punkt ksi należacy e(a,b) ze zachodzi *- ∫_a^bf(x)dx = (b−a)f(ksi). Liczbę f(ksi) = $\frac{1}{(b - a)}\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}}\ $- nazywamy wartościa średnia funkcji f(x) w przedziale [a,b] .interpretacja geometryczna jest b.prosta: całka oznaczona pod funkcja y=f(x), x=a,x=b,y=0. Iloczyn (b-a)f(ksi) to pole prostokąta. P1=P2 to *.