1. Napisz macierz Vandermond'a dla 3 punktów: (1,2),(-1,3),(2,3).

| 1 1 1 |

| 1 -1 1 |

|1 2 4 |

1. Czy można uzyskać ogólne równanie różniczkowe metodami numerycznymi? Uzasadnij.

Nie można, ponieważ musza być podstawione wartości (używamy wartości do obliczania równań różniczkowych, wykorzystujemy konkretne wartości) czyli będzie to równanie szczególne.

1. Przekształć wyrażenie y=x-sin(x), aby uniknąć problemu kasowania małych x.

y = x − sin(x)

$$\rightarrow \ \frac{x^{3}}{3!} - \frac{x^{5}}{5!} + \frac{x^{7}}{7!}\ldots$$

1. Zagadka z babcia i dziadkiem, wpłacali wnukowi na konto co miesiąc pewna różna kwotę, wnuczek postanowił policzyć czy starczy mu pieniędzy. Jakiej metody numerycznej powinien użyć do wyliczenia ilości kasy na koncie.

NA WYKLADZIE KIEDYS BYŁO CZYM MOŻNA SZACOWAĆ KOSZTA (NIE MOGŁEM TEGO ZNALEŚĆ)

1. Zbieżny proces iteracji ma cechę samo poprawności. Wyjaśnij co to znaczy.

To znaczy ze przy małym kroku występują błędy a on z każdym kolejnym obiegiem sam je naprawia

bo nie korzysta z poprzedniego wyniku tylko jakby liczy od nowa czyli dokładnie. W skrócie: poprawia błędy.

1. Przynajmniej jeden z wystarczajacych warunków zbieżności procesu w metodzie iteracji prostej.

W metodzie Jacobiego warunek dostateczny zbieżności, , jest spełniony np. wtedy, gdy macierz ma dominującą przekątną, tzn. gdy

Dowód:

Rzeczywiście, ponieważ wyraz macierzy wynosi dla oraz dla , a więc

przy czym ostatnia nierówność wynika z warunku diagonalnej dominacji.

1. NIE WIEM

2. NIE MAM MODELU :P

3. Wykres i dlaczego interpolacja wyglada na nim tak jak wyglada, na rysunku byly wezly dosyc ciasno i prawie ze w jednej lini w poziomie. im dalej od srodka wykresu tym wieksze "fale" miedzy wezlami. Cos takiego jak na rysunku ponizej tylko nie bylo tego garba na srodku i wykres byl mniej wiecej jak ta niebieska.

Efekt Rungego – pogorszenie jakości interpolacji wielomianowej, mimo zwiększenia liczby jej węzłów. Początkowo ze wzrostem liczby węzłów n przybliżenie poprawia się, jednak po dalszym wzroście n zaczyna się pogarszać, co jest szczególnie widoczne na końcach przedziałów. Takie zachowanie się wielomianu interpolującego jest zjawiskiem typowym dla interpolacji za pomocą wielomianów wysokich stopni przy stałych odległościach węzłów. Występuje ono również jeśli interpolowana funkcja jest nieciągła, albo odbiega znacząco od funkcji gładkiej.

1. Ax = b rozpisać przy pomocy QR

QRx = b

x = bQ⁻¹R⁻¹

1. Jaka metodą jest rozkład QR? Nie chodziło co oznacza Q i R ?

Q – macierz ortogonalna

R – nieosobliwa macierz 3-kątna górna

1. Co potrzebujemy do metody Eulera.

-Zakres x

-Wartość początkową dla y(0)

-Wartość początkową dla $\dot{y}$(0)

-Krok (h)