1. Wielkości charakteryzujące ruch.

2. Zasady dynamiki

I zasada dynamiki:

Istnieje taki układ, zwany układem inercjalnym, w którym ciało, na które nie działa żadna siła lub działające siły równoważą się, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem stałym prostoliniowym.

II zasada dynamiki:

Jeżeli na ciało działa siła niezrównoważona zewnętrzna (pochodząca od innego ciała) to ciało to porusza się ruchem zmiennym. Wartość przyspieszenia w tym ruchu wyraża wzór:

III zasada dynamiki:

Jeżeli ciało A działa na ciało B siłą F, to ciało B działa na ciało A siłą F’. Wartość i kierunek siły F’ jest równy wartości i kierunkowi siły F, a jej zwrot jest przeciwny do zwrotu siły F.

1. Równania ruchu. W szczególności ruch ciała o zmiennej masie.

Uogólnione równanie ruchu i prawo zachowania pędu

Cząstka P o masie m i prędkości vw układzie inercjalnym. Do cząstki przyłącza się druga cząstka o Znikomo małej masie dm i prędkości w. Zmiana pędu układu w czasie dt:

Aby rozwiązać problem takiego ruchu musimy dodatkowo podać zależność masy od czasu m(t) oraz prędkości u od czasu u(t).

Na ogół, technika rozwiązywania r.r ciała o zmiennej masie polega na zastąpieniu różniczkowania po czasie przez różniczkowanie po masie

Przykład1: Ruch rakiety w stałym polu g

Rakieta porusza się pionowo do góry. Gazy wylatują z jej dyszy ze stałą prędkością u i w stałej ilości: dm/dt=‐a.

R. Ruchu w kierunku pionowym

Całkujemy dwukrotnie względem m:

Wstawiając warunki początkowe:

1. Zasady zachowania w fizyce. Zasada zachowania: pędu, momentu pędu i energii.

Pęd.

Jest to wielkość fizyczna wyrażająca się wzorem:

Zasada zachowania pędu:

Jeżeli na ciało lub układ ciał nie działa żadna siła zewnętrzna (pochodząca od innego ciała), to całkowity pęd układy jest stały.

Moment pędu:

Zasada zachowania momentu pędu:

Jeżeli na ciało lub układ ciał wypadkowy układ działających sił jest równy 0, to :

Moment pędu bryły sztywnej:

Oznaczenia:

V - prędkość całkowita chwilowa;

p - pęd;

m - masa ciała;

b - moment pędu;

r - ramie siły;

w - prędkość kątowa;

I - moment bezwładności;

Zasada zachowania energii:

Jeżeli na ciało nie działa żadna siła zewnętrzna - nie licząc siły grawitacyjnej - to całkowita energia mechaniczna jest stała.

Energia kinetyczna w ruch obrotowym:

Oznaczenia:

EK - energia kinetyczna;

I - moment bezwładności;

w - prędkość kątowa;

1. Równanie oscylatora harmonicznego prostego. Omówić jego rozwiązanie. Składanie drgań. Figury Lissajoux.

SKŁADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH

- SKŁADANIE DRGAŃ ZACHODZĄCYCH W TYM SAMYM KIERUNKU - można przeprowadzić korzystając z faktu, że drganie harmoniczne jest rzutem ruchu jednostajnego po okręgu na jedną z jego średnic.

Chwilowe wartości współrzędnych punktu P krążącego po okręgu z prędkością kątową ω można opisać równaniami:

x1 = A1cosωt

x2 = A2cos(ωt + φ)

Obydwa równania opisują proste drgania harmoniczne o amplitudzie A i częstotliwości kołowej ω. Jeżeli składamy dwa drgania harmoniczne o tych samych częstotliwościach, przesunięte w fazie o kąt φ, to można amplitudy drgań przedstawić w postaci wektorów w układzie współrzędnych 0xy, obracających się z prędkością kątową ω, odpowiadającą częstotliwości kołowej drgania harmonicznego. Rzuty wektorów amplitud na jedną z osi układu współrzędnych odpowiadają chwilowym wartościom wychylenia w ruchu harmonicznym. Na rysunku przedstawiono sposób składania drgań harmonicznych o amplitudach A1 i A2.

Drganie o amplitudzie A2 wyprzedza w fazie drganie o amplitudzie A1 o kąt φ. Chwilowe wartości wychyleń drgań składowych można przedstawić równaniami:

x1 = A1cosωt

x2 = A2cos(ωt + φ)

Drganie wypadkowe jest sumą drgań składowych:

x = x1 + x2 = Acos(ωt + ψ)

gdzie A - amplituda drgania wypadkowego, ψ - kąt przesunięcia fazowego między drganiem wypadkowym a drganiem o amplitudzie A1. Posługując się twierdzeniami: cosinusów i sinusów można wyliczyć wypadkową amplitudę A i przesunięcie fazowe ψ:

Chwilowa wartość wychylenia drgania wypadkowego:

W przypadku, gdy kąt przesunięcia fazowego , amplituda drgania wypadkowego wynosi:

Sytuację taką przedstawiono na rysunku.

Chwilowe wychylenie drgania wypadkowego od położenia równowagi opisuje równanie:

Jeśli chwilowa wartość wychylenia nie jest istotna, a chcemy znaleźć wypadkową amplitudę A i kąt przesunięcia fazowego ψ, to wystarczy narysować wektory amplitud nachylone pod kątem φ, opuszczając układ współrzędnych i "zapominając" o tym, że wektory obracają się z prędkością ω. Jest to zwykły sposób postępowania przy analizie → obwodów prądu zmiennego.

- SKŁADANIE DRGAŃ PROSTOPADŁYCH DO SIEBIE. - Tor zakreślany przez punkt materialny, wykonujący jednocześnie dwa drgania harmoniczne w kierunkach wzajemnie prostopadłych, nazywa się figurą lub krzywą Lissajous. Jeśli obydwa drgania mają takie same częstotliwości, wtedy parametryczne równania toru punktu (równania ruchu) są następujące:

x = A1 cosωt

y = A2 cos(ωt + φ)

Równania te można przedstawić w postaci:

Rugując z równań czynnik zależny od czasu, otrzymuje się równanie krzywej Lissajous w postaci:

(*)

Równanie to jest ogólnym równaniem elipsy, jednak w zależności od kąta przesunięcia fazowego φ może przejść w równanie prostej lub okręgu: jeśli

φ = 0, to cos φ = 1 a, sin2φ=0.

Wtedy równanie (*) przyjmuje postać:

- równanie prostej;

jeśli

φ = 90o, to cosφ = 0 a sin2φ=1

Wtedy można napisać:

- równanie prostej

Figury Lissajoux.

Lissajous figury (krzywe), trajektorie punktu materialnego, wykonującego drgania harmoniczne w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach.

Dokładny kształt kreślonych figur zależy od różnicy faz obu drgań i ich stosunku częstości. Przy stałej różnicy faz i stosunku częstości danym przez stosunek dwóch liczb całkowitych figury Lissajous są krzywymi zamkniętymi.

Obserwacje figur Lissajous wykorzystuje się w analizach drgań. Metodę zaproponował fizyk francuski J. Lissajous (1822-1880).

1. Równanie oscylatora harmonicznego z uwzględnieniem siły tłumiącej. Omówić jego rozwiązanie.

2. Równanie oscylatora harmonicznego z uwzględnieniem siły tłumiącej oraz harmonicznej siły wymuszającej. Przeprowadzić analizę fizyczną rozwiązań.

3. Transformacja Galileusza.

Transformacja lub inaczej przekształcenie Galileusza jest to przekształcenie wiążące położenie pewnego punktu P w dwóch układach inercjalnych S oraz S'.

§ 1. Układ inercjalny

Układ inercjalny to taki układ, w którym wszystkie prawa fizyczne występują w "standardowej" postaci. Układ taki pozostaje w spoczynku bądź porusza się postępowym ruchem jednostajnym prostoliniowym (bez obrotów) gdy nie działają nań żadne siły zewnętrzne. Układ ten nazywa się układem inercjalnym gdyż obowiązuje w nim I zasada dynamiki - zasada bezwładności; (inercja znaczy m. in. bezwładność). Każdy układ poruszający się postępowym ruchem jednostajnym prostoliniowym (bez obrotów) względem układu inercjalnego jest także układem inercjalnym. Pogrubioną część można traktować jako twierdzenie, które zostanie wkrótce dowiedzione.

§ 2. Matematyczna postać transformacji Galileusza

Z zamieszczonego rysunku widać, że . Załóżmy, że układ S' porusza się ze stałą prędkością translacyjną względem układu nieruchomego jakim jest układ inercjalny S.

Rozpatrzmy ruch początku układu współrzędnych S' względem początku układu S w przedziale czasu [0;t]. Można wykazać (porównaj to równanie z r-niem ruchu jednostajnego prostoliniowego [MECHANIKA KLASYCZNA] Ruchy prostoliniowe), że

Podstawmy

Jeśli założymy, że w chwili początki układów pokrywały się, tj. , to otrzymamy

Matematyczna postać transformacji Galileusza

§ 3. Konsekwencje wynikające z transformacji Galileusza

Przepiszmy transformację Galileusza w następującej postaci

Jeśli rozpatrzymy nasze układy po czasie T to i zmienią się do odpowiednio i , zatem po tym czasie nasza transformacja będzie postaci

Po podzieleniu przez otrzymamy

Klasyczne prawo składania prędkości

- prędkość punktu P w układzie S,

- prędkość punktu P w układzie S',

- prędkość układu S' względem S - tzw. prędkość unoszenia.

Przypomnijmy nasze założenie: , i sprawdźmy co z niego wynika. Rozpatrzmy ponownie układy po czasie T’. Prędkości i zmieniły się do odpowiednio i natomiast . Zatem nasze klasyczne prawo składania prędkości wygląda następująco

Tak jak ostatnio, po podzieleniu przez mamy, że

- to przyspieszenie punktu P w układzie S,

- to przyspieszenie punktu P w układzie S'.

Co na podstawie 2. zasady dynamiki możemy wyrazić jako

Niezmienność praw fizycznych względem układów inercjalnych

Zatem układ poruszający się ze stałą prędkością translacyjną po linii prostej względem układu inercjalnego także jest układem inercjalnym, gdyż wszystkie prawa pozostają w nim w "standardowej" postaci. Zatem pogrubione wyżej twierdzenie zostało dowiedzione.

1. Doświadczenie Michelsona-Morleya. Transformacja Lorentza. Wyprowadzenie wzorów transformacyjnych / w szcz. transformacje składowych prędkości/

2. Konsekwencje transformacji Lorentza. Niezmienniki transformacji Lorentza.

3. Dualizm korpuskularno-falowy materii. Dowody doświadczalne /np. zjawisko Comptona, zjawisko tworzenia par (e^-, e⁺)/

4. Fale de Broglie’a.

Są to fale związane ze strumieniem poruszających się cząsteczek. Każdą cząstkę poruszającą się można opisać w sposób falowy.

Długość fali De Broglie’a :

Dla sprintera długość fali De Broglie’a wynosi :

λ ≈ 10-36 m. Jest to wielkość niemierzalna, i dlatego nie opisujemy wolnych cząstek w sposób falowy.

Oznaczenia

h - stała Plancka;

λ - długość fali;

p - pęd cząsteczki.

1. Model atomu wodory wg Bohra.

Atom wodoru według Bohra składa się z dodatnio naładowanego jądra skupiającego prawie całą masę atomu i z elektronu krążącego po orbicie kołowej.

Aby elektron nie mógł przyjmować dowolnej odległości od jądra, Bohr wprowadził ograniczenia w postaci postulatów.

2. Pierwszy postulat Bohra.

Moment pędu elektronu w atomie wodoru jest wielkością skwantowaną: ,

, .

Oznaczenia

b - moment pędu;

V - prędkość elektronu;

r - promień orbity elektronu;

h - stała Plantha

3 Warunek kwantyzacji prędkości.

Prędkość elektronu w atomie wodoru jest wielkością skwantowaną:

, ,

,

Oznaczenia

V - prędkość elektronu; V0 - najmniejsza prędkość elektronu;

h - stała Plantha;

k - stała elektrostatyczna;

e - ładunek elementarny;

4 Warunek kwantyzacji promienia.

Promień orbity w atomie wodoru jest wielkością skwantowaną:

, , ,

Oznaczenia

r - promień orbity;

r0 - najmniejszy promień orbity;

h - stała Plantha;

V0 - najmniejsza prędkość elektronu

5 Warunek kwantyzacji energii.

Energia w atomie jest wielkością skwantowaną:

, ,

Energia jest ujemna, aby elektron samodzielnie nie mógł wydostać się poza atom.

Oznaczenia

E - energia;

E0 - najmniejsza energia atomu;

r0 - najmniejszy promień orbity;

k -stała elektrostatyczna;

e - ładunek elementarny;

6 Następny postulat Bohra.

W stanie stacjonarnym (elektron nie zmienia powłoki) atom nie może emitować energii.

7 Drugi postulat Bohra.

Atom przechodząc z poziomu energetycznego wyższego na niższy oddaje nadmiar energii w postaci kwantu promieniowania elektromagnetycznego.

Częstotliwość wyemitowanej energii :

,

poziom energetyczny - stan o ściśle określonej energii.

poziom podstawowy - wszystkie elektrony znajdują się najbliżej jądra.

Oznaczenia

ν - częstotliwość;

l - poziom, na który spada atom;

n - poziom początkowy.

8 Moment magnetyczny atomu i elektronu.

Moment magnetyczny jest zawsze przeciwnie skierowany do momentu pędu.

Moment magnetyczny : ;

, .

Moment magnetyczny w atomie wodoru jest wielkością skwantowaną.

Oznaczenia

b - moment pędu;

h - stała Plantha;

e - ładunek elementarny;

me - masa elektronu;

n - numer orbity;

m - moment magnetyczny;

µ - moment magnetyczny Bohra (wielkość stała)

9 Spinowy moment magnetyczny.

Jest związany z ruchem elektronu wokół własnej osi.

;

spinowy moment magnetyczny:

Spinowy moment magnetyczny jest odpowiedzialny za właściwości magnetyczne materii

Oznaczenia

h - stała Plantha;

e - ładunek elementarny;

me - masa elektronu;

m -spinowy moment magnetyczny;

s – spin

1. Zasada nieoznaczoności.

Podstawą badań fizycznych jest pomiar wielkości fizycznych. W przypadku obiektów makroskopowych (o rozmiarach widocznych "gołym okiem") można znaleźć przyrząd i metodę badawczą tak, aby nie wpływały one na własności obiektu lub zjawiska. Nie zawsze jest to proste i łatwe czy tanie.

Zupełnie inaczej wygląda pomiar w fizyce mikroświata, w fizyce atomu, jądra, cząstek elementarnych. W tych przypadkach przyrząd zawsze wpływa swoim oddziaływaniem na własności obiektu czy zjawiska.

Zupełnie szczególną rolę odgrywa w mikroświecie zasada nieoznaczoności Heisenberga. Mówi ona, że nie ma możliwości by dowolnie dwie wybrane wielkości zmierzyć z dowolnie dużą dokładnością niezależnie od przyrządu. Ograniczenie to, jest prawem przyrody.

Najczęściej zasadę nieoznaczoności Heisenberga przedstawiamy w postaci dwóch nierówności:

jednej dla pędu p i położenia x cząstki;

drugą – dla energii E i czasu t.

Zasada nieoznaczoności Heisenberga

Zasady tej nie warto stosować dla obiektów makroskopowych – niepewności są nieosiągalne. W świecie atomów sytuacja się zmienia. Jak to wygląda na przykładach?

Zasada nieoznaczoności Heisenberga – zastosowanie. Obliczymy niepewność wyznaczenia wartości prędkości. Podobnie można wyznaczyć niepewność określenia położenia.

Niepewność pomiaru prędkości

1. Operatory i obserwable wielkości fizycznych. Równanie własne. Interpretacja fizyczna wartości własnych i funkcji własnych.

2. Niezależne od czasu równanie Schrödingera. Interpretacja fizyczna funkcji falowej cząstki.

Równanie Schrodinger’a

Jest to równanie ruchu mikrocząstki poruszającej

się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości

światła. Założenia do równania Schrodingera :

a). Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w określonej objętości musi mieć skończoną liczbę.

b). Cząstki poruszają się z prędkościami dużo mniejszymi od prędkości światła, i dlatego stosujemy zapis nierelatywistyczny.

Równanie Schrodingera dla jednej zmiennej :

; .

Oznaczenia

h - stała Plancka;

m - masa;

∂ - pochodna cząstkowa;

ψ - funkcja falowa (określa prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym punkcie);

x - położenie (?);

U - energia potencjalna cząstki;

i - liczba urojona (i2 = -1);

t - czas.

1. Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjalna. Znaleźć funkcje własne i wartości własne energii cząstki w tej studni.

Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla

cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału, przy czym cząstka porusza się wyłącznie

w jednym wymiarze. Rozkład potencjału przedstawia się następująco:

gdzie prostokątne zakreskowane obszary oznaczają położenia, w ktorych potencjał jest

nieskończony. Na przedziale (0, L) potencjał jest rowny zero. Wynika z tego że:

• cząstka może znajdować się tylko w przedziale (0, L), lub rownoważnie

• funkcje własne operatora energii mogą mieć niezerowe wartości tylko w przedziale (0, L)

Na podstawie powyższego zakłada się, że funkcje własne operatora energii mają wartość zero

w punktach x = 0 oraz x = L. Są to tzw. warunki brzegowe.

Zagadnienie własne operatora energii wyraża się następująco:

Jest to tzw. rownanie Schrodingera niezależne od czasu. Aby je rozwiązać, należy podstawić po

lewej stronie odpowiedni do danej sytuacji fizycznej operator energii, czyli hamiltonian H.

W obszarze (0, L) cząstka jest swobodna, gdyż potencjał jest w nim stały (siła jest ujemnym

gradientem potencjału, w rozważanym przypadku jest to po prostu pochodna wzięta ze znakiem

minus, gdyż zagadnienie jest jednowymiarowe – pochodna funkcji stałej jest rowna zero), a poza tym

obszarem cząstka znaleźć się nie może. Rozważać należy zatem funkcje własne jedynie w przedziale

(0, L).

Operator składowej x pędu ma postać:

Ponieważ potencjał w rozważanym obszarze jest rowny zeru, hamiltonian składa się wyłącznie

z części, związanej z energią kinetyczną i ma postać:

Mając hamiltonian można rozpocząć szukanie jego funkcji własnych. Rownanie Schrodingera

z rozważanym hamiltonianem ma postać:

Z powyższego wynika, że druga pochodna funkcji własnej jest proporcjonalna do tejże funkcji

własnej. Własność tę mają funkcje harmoniczne, czyli sin oraz cos. Ponieważ dla obu tych funkcji

zachodzi zależność:

wiadomo, że czynnikiem liniowym w argumencie funkcji harmonicznej jest pierwiastek ze

wspołczynnika, związanego z energią, ktory pojawia się w rownaniu Schrodingera.

Biorąc to wszystko pod uwagę przyjmuje się postać funkcji własnej jako kombinację liniową

funkcji harmonicznych z argumentem skalowanym pierwiastkiem wspołczynnika wziętego

z rownania Schrodingera:

W uparciu o powyższe rozwiązanie ogolne należy znaleźć rozwiązanie szczegołowe. Potrzebna

jest do tego znajomość wspołczynnikow A oraz B.

Po pierwsze należy zauważyć, że pierwszy warunek brzegowy mowi, że funkcja własna zeruje się

w punkcie x=0. Ponieważ sin(0)=0, zaś cos(0)=1 dla spełnienia tego warunku brzegowego

konieczne jest, aby B = 0. Wynika z tego, że szukana funkcja własna operatora energii dla

nieskończonej studni potencjału ma postać:

Funkcje harmoniczne są okresowe. Oznacza to, że zwiększenie ich argumentu o całkowitą

wielokrotność pewnej charakterystycznej wartości, zwanej okresem, nie zmienia wartości funkcji,

innymi słowy, że wartości funkcji okresowej powtarzają się co okres. O ile musi zmienić się wartość

argumentu x funkcji własnej, aby uzyskać ponownie tą samą jej wartość? Biorąc pod uwagę wartość

okresu funkcji harmonicznych oczekujemy, że okres funkcji własnej λ wyraża się następująco:

Zwiększenie argumentu x o czynnik λ lub jego całkowitą wielokrotność nie ma wpływu na wartość

funkcji własnej. Ponieważ zarowno dla x=0, jak dla x=L funkcja własna powinna się zerować, należy

się domyślać istnienia związku pomiędzy długością L a wyznaczonym okresem funkcji własnej λ, co

z kolei oznacza, że długość L musi być powiązana z wartościami energii En.

Wartość stałej A można znaleźć z tzw. warunku normowania. Ze względu na prostotę

rachunkową żąda się, aby funkcje własne miały normę rowną 1. Norma w przestrzeniach L2, do

ktorych należą szukane funkcje własne, jest zazwyczaj tzw. normą indukowaną przez iloczyn

skalarny:

Sam iloczyn skalarny w przestrzeni L2(R) ma postać:

Żądanie, aby norma funkcji własnej była rowna jeden jest rownoważne żądaniu, aby:

Aby znaleźć wartość stałej A należy obliczyć wartość iloczynu skalarnego:

Drugi człon w nawiasie kwadratowym zeruje się z uwagi na drugi warunek brzegowy. Argument

funkcji sin w wyniku całkowania rożni się od argumentu analizowanej funkcji własnej jedynie

czynnikiem mnożącym, rownym 2. Jeżeli funkcja własna operatora energii ma się zerować dla x=L,

to rownież ten czynnik musi się zerować, bo wartość x, będąca całkowitą wielokrotnością L, daje

argument funkcji sin będący całkowitą wielokrotnością kąta π radianow, a dla takich kątow funkcja

sin się zeruje. Po uwzględnieniu tego faktu stała A może być wyznaczona w następujący sposob:

Szukane funkcje własne mają zatem następującą postać:

Dozwolone wartości własne energii można znaleźć w oparciu o drugi warunek brzegowy.

Ponieważ funkcje własne mają zerować się w punkcie x=L, zachodzi:

Warte zauważenia jest wyłączenie zera ze zbioru dopuszczalnych wartości n. Dla n=0 otrzymuje

się funkcję własną całkowalną z kwadratem, ale trywialną – tożsamościowo rowną zeru. Oznacza to,

że nie może istnieć nieruchoma cząstka w studni potencjału! W wyniku prostych przekształceń

otrzymuje się następującą zależność na wartości własne energii cząstki w studni potencjału:

Uzyskaliśmy wynik, z ktorego jasno wynika, że energia cząstki w rozważanym zagadnieniu nie

jest dowolna: jest ściśle zależna od wartości szerokości studni potencjału, ponadto jest całkowitą

wielokrotnością pewnej niezerowej wartości minimalnej – wartości energii dla n=1 – mowimy, że

energia w zagadnieniu jest skwantowana. Jest to typowe dla zagadnień mechaniki kwantowej

w przypadku, gdy mamy do czynienia z zawężeniem możliwych wartości położenia do danego

skończonego przedziału. Dokładnie z taką sytuacją mamy do czynienia w rozważanym zagadnieniu.

Podstawiając powyższą zależność, otrzymuje się ostatecznie następującą postać funkcji własnych

hamiltonianu cząstki w jednowymiarowej nieskończonej studni potencjału:

1. Rozwiązać stacjonarne równanie Schrödingera dla cząstki padającej na próg potencjału. Obliczyć współczynniki przejścia i odbicia. Na czym polega zjawisko tunelowania cząstki przez próg (barierę) potencjału.