Ćwiczenie nr 3

Wahadło torsyjne. Pomiar modułu sztywności drutu stalowego metodą dynamiczną

Data przeprowadzenia ćwiczenia: 17.04.2012

Data oddania sprawozdania: 24.04.2012

Zespół 6

Aneta Simińska

Wojciech Kwieciński

Cel ćwiczenia

Celem przeprowadzonego przez nas ćwiczenia było zapoznanie się z teorią odkształceń ciał oraz doświadczalne wyznaczanie modułu sztywności stali.

Wstęp teoretyczny

Moduł sztywności G to współczynnik sprężystości materiału, równy stosunkowi naprężenia stycznego σ_s do kąta skręcenia α deformowanego ciała: G = σ_s/α [N/m²]. Występuje w odkształceniach postaciowych, przy zachowaniu stałej objętości ciała.

Wahadło torsyjne jest rodzajem wahadła fizycznego. Stanowi je bryła sztywna, umocowana do cienkiego drutu, jako elementu sprężystego. Po odchyleniu wahadła z położenia równowagi o kąt α i po jego uwolnieniu, powstają drgania pod wpływem momentu siły M, przy czym:

M = −D • α

Współczynnik D (zależny od rodzaju drutu) nazywa się momentem kierującym i oznacza wartość momentu siły, powodującego skręcenie drutu o jednostkowy kąt w mierze łukowej, tzn. o 1 radian. Znak minus oznacza, że moment siły powoduje skręcenie drutu o kąt przeciwny do kąta α (tzn. zawsze ku położeniu równowagi).

Równanie ruchu wahadła torsyjnego jest analogiczne do równania wahadła fizycznego i jest jednocześnie równaniem ruchu obrotowego bryły sztywnej: M = I ⋅ γ, gdzie I oznacza moment bezwładności bryły, a γ = dω/dt jest przyśpieszeniem kątowym, równym pochodnej prędkości kątowej ω po czasie t. Uwzględniając pierwsze równanie otrzymujemy więc równanie ruchu wahadła w postaci: $I\frac{\text{dω}}{\text{dt}} = - D \bullet \alpha$, którego rozwiązanie: α = Asinωt oznacza, że jest to ruch harmoniczny prosty o amplitudzie A. Wzór na okres drgań wahadła torsyjnego T jest analogiczny jak dla wahadła fizycznego, mianowicie: $T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{D}}$ .

Przyrządy użyte w doświadczeniu

Wahadło torsyjne oraz krążek dodatkowy, sekundomierz, śruba mikrometryczna, suwmiarka i linijka.

Przebieg ćwiczenia

Doświadczenie rozpoczęliśmy od pięciokrotnego zmierzenia średnicy drutu za pomocą śruby mikrometrycznej, oraz obliczenia wartości średniej. Następnie pięciokrotnie wyznaczyliśmy długość drutu za pomocą miarki milimetrowej i również obliczyliśmy wartość średnią. Kolejno za pomocą suwmiarki wyznaczyliśmy średnicę zewnętrzną oraz wewnętrzną pierścienia dodatkowego i jak w przypadku poprzednich dwóch czynności, pomiar powtórzyliśmy 5 razy oraz obliczyliśmy wartości średnie. Po wykonaniu wszystkich pomiarów przeszliśmy do wyznaczenia po 20 okresów wahadła torsyjnego bez dodatkowego obciążenia, następnie z nim i obie czynności powtórzyliśmy 5 razy oraz wyznaczyliśmy wartości średnie z uzyskanych pomiarów. Znając wszystkie już potrzebne nam do obliczeń wartości, zabraliśmy się za obliczenie momentu bezwładności krążka dodatkowego według następującego wzoru:

$$J = \frac{1}{2}m\left( R_{1}^{2} + R_{2}^{2} \right)$$

Następnie obliczyliśmy współczynnik sztywności G według wzoru:

$$G = \frac{8\pi Jh}{\left( T_{1}^{2} - T^{2} \right)R^{2}}$$

Uzyskawszy wyniki z dwóch poprzednich równań, przystąpiliśmy do przeprowadzenia rachunku błędów.

Błąd bezwzględny współczynnika sztywności ∆G policzyliśmy metodą różniczki zupełnej:

$$G = G\left( \frac{J}{J} + \frac{h}{h} + 2\frac{T}{T_{1} - T} + 4\frac{R}{R} \right)$$

Błąd względny współczynnika sztywności otrzymaliśmy ze wzoru:

$$_{G} = \frac{G}{G}100\%$$

Wartość błędu względnego ∆J/J wyliczyliśmy metodą różniczki zupełnej w oparciu o wzór:

$$\frac{J}{J} = \frac{m}{m} + 2\frac{R\left( R_{1} + R_{2} \right)}{R_{1}^{2} + R_{2}^{2}}$$

Obliczenia

	średnica drutu [m]	długość drutu [m]
1	0,00099	0,855
2	0,001	0,853
3	0,001	0,854
4	0,00102	0,853
5	0,001	0,856
średnia	0,001002	0,854

Średnica drutu jest równa 1,002 mm, co w przybliżeniu daje 0,001m. W związku z tym promień drutu wynosi 0,0005m, zatem:

R = 0,0005m

h = 0,854m

	średnica krążka dodatkowego [m]
	wewnętrzna
1	0,0156
2	0,0154
3	0,0155
4	0,0155
5	0,0154
średnia	0,01548

Jeśli wewnętrzna średnica krążka dodatkowego wynosi 0,01548 m , to jego wewnętrzny promień wynosi 0,0077 m, natomiast jeśli zewnętrzna średnica krążka dodatkowego wynosi 0,10796 m , to jego zewnętrzny promień wynosi 0,0540 m, zatem:

R₁ = 0,054m

R₂ = 0,0077m

	pomiary czasu 20 wahnięć [s]
	bez krążka dodatkowego
1	163
2	164
3	164
4	162
5	163
średnia

Na podstawie powyższej tabelki okresy wahnięć T są równe:

T = 8,16s

T₁ = 8,45s

Obliczenia momentu bezwładność dodatkowego krążka:

m = 800 ± 5g = 0, 800 ± 0, 005kg

I₀ = 0, 0011 ± 0, 0001[m² • kg]

Po podstawieniu wszystkich danych do wzoru:

$$G = \frac{8\pi Jh}{\left( T_{1}^{2} - T^{2} \right)R^{4}}$$

otrzymujemy:

G = 81, 4GPa

Obliczenia błędów

Odchylenia standardowe kolejnych wartości

	R	R1	R2	T
odchylenie standardowe	0,00001	0,0001	0,0002	0,04
błędy	0,000003	0,00002	0,0001	0,01

t_α = 0,571

∆G ze wzoru:

$$G = G\left( \frac{J}{J} + \frac{h}{h} + 2\frac{T}{T_{1} - T} + 4\frac{R}{R} \right)$$

wynosi:

G = 14, 1GPa

a więc:

G = 81 ± 14 GPa

Natomiast błąd względny ∆_G jest równy:

$$_{G} = \frac{G}{G}100\% = \frac{14,1}{81,4}100\% = 17,3$$

Wnioski

Pierwsze co możemy zauważyć oglądając wyniki naszych pomiarów i obliczenia modułu sztywności dla stali to fakt że otrzymana przez nas wartość 81,4 GPa jest bardzo bliska wartości podawanej w tablicach, czyli około 80 GPa. Uwagę zwracać może również dość duża niepewność naszego pomiaru wynosząca nieco ponad 17%, lecz należy pamiętać, że jest ona tak duża ponieważ do obliczenia modułu metodą wykorzystaną przez nas wykorzystujemy dużą ilość różnych wartości, które musieliśmy sami pomierzyć, a każdy pomiar obarczony jest pewną niepewnością, co przekłada się na niepewność ostatecznego wyniku doświadczenia.