Logarytm

Wykresy logarytmów. Czerwony przy podstawie e, zielony przy podstawie 10, purpurowy przy podstawie 1,7

Logarytm (łac. [now.] logarithmus, w sensie stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos , „słowo”, w sensie proporcja, i ἀριθμός árithmós, „liczba”). Logarytm przy podstawie a z liczby b(log _ab) oznacza liczbę c, będącą potęgą do której podstawa a musi być podniesiona, aby dać liczbę b, czyli

przy czym a,b > 0 oraz Przykładowo log ₂8 = 3, gdyż 2³ = 8.

Kluczową własnością logarytmów jest fakt, iż służą one zamianie często czasochłonnego mnożenia na dużo prostsze dodawanie.

Spis treści  [ukryj]  1 Logarytm naturalny 1.1 Logarytm dziesiętny 1.2 Własności 2 Liczby zespolone 3 Funkcja logarytmiczna 4 Kologarytm 5 Logarytm dyskretny 6 Zastosowania 7 Zobacz też 8 Przypisy

Logarytm naturalny[edytuj]

 Osobne artykuły: logarytm naturalny i podstawa logarytmu naturalnego.

Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą e równą w przybliżeniu 2,718281828. Zwyczajowo zamiast log _ex pisze się ln x. Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej exp , dla której exp(1) = e, postaci

,

wtedy jej pochodna (również formalna) (exp x)' = exp x, co oznacza, że zamiast ponieważ ln e = 1. W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego e jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętny[edytuj]

 Osobny artykuł: logarytm dziesiętny.

Zapis bez indeksu log x albo oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności log(x) oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny. Dla dowolnej liczby jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym x, np.

log 5083495,424 = 6,7061624

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem.

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie b, należy użyć logarytmu o podstawie b.

Własności[edytuj]

Wprost z definicji:

,

log_a1 = 0,

log _aa = 1.

Z własności potęgi wynika również:

,

stąd też

,

oraz

,

,

i wreszcie

,

,

a więc

,

w szczególności

.

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość:

albo:

log _bx = log _balog _ax

Ponieważ funkcje logarytmiczne o różnych podstawach (log _bx i log _ax powyżej) są do siebie proporcjonalne, więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznym.

Zachodzi również:

Każda liczba dodatnia ma logarytm rzeczywisty, ujemna jednak wyłącznie zespolony ponieważ e^πi = − 1^[1]. Ponieważ potęga niezerowej liczby (nawet dla liczb zespolonych) nigdy nie wynosi zero, więc logarytm nie jest w zerze określony.

Jeżeli podstawa a > 1, to:

dla 0 < a < 1 zachodzi natomiast:

Można również zastosować logarytm wraz z funkcją wykładniczą, do obliczania dowolnych potęg (x i y dodatnie):

jest to przydatne szczególnie na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.

Liczby zespolone[edytuj]

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech z będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

	(1)

gdzie:

• k jest dowolną liczbą całkowitą,

• ln  | z | jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby z (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),

• to argument liczby zespolonej z

• ϕ to argument główny

W szczególności dla liczb zespolonych:

ln 1 = 2kπi,

ln( − 1) = (2k + 1)πi,

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych k. Przyjmując k = 0 otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: . Inni^[2] przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej przekształcamy do logarytmu naturalnego analogicznie jak dla liczb rzeczywistych:

dla

gdzie:

• w i z są liczbami zespolonymi.

• ln z i ln w są dane wzorem (1)

Funkcja logarytmiczna[edytuj]

 Osobny artykuł: funkcja logarytmiczna.

Często logarytm utożsamia się z funkcją logarytmiczną określoną wzorem f(x) = log _ax przy ustalonej podstawie a.

Można ją zdefiniować także jako funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej.

Kologarytm[edytuj]

Liczbę przeciwną do logarytmu z x nazywało się niegdyś kologarytmem x i oznaczało lub . Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu − log x. Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretny[edytuj]

 Osobny artykuł: logarytm dyskretny.

Logarytm dyskretny elementu b (przy podstawie a) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita c, że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

a^c = b.

Zastosowania[edytuj]

Dawniej logarytmy były używane do szybkiego mnożenia liczb za pomocą tablic logarytmicznych (zamieniano je na łatwe dodawanie ich logarytmów). Tablice logarytmiczne były podstawową pomocą do obliczeń naukowych, geodezyjnych, astronomicznych i inżynierskich. Dzisiaj, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, wyszły one właściwie z użytku podobnie jak suwak logarytmiczny.

Zobacz też[edytuj]