Wydział Budowy Maszyn i Informatyki

Rok akademicki: 2010/2011

Studia: stacjonarne/inżynierskie

Semestr: 4

Kierunek: Mechanika

PRACA DOMOWA NR 6

Dane:

- średnica zewnętrzna rury:

D = 77 [mm];

- grubość ścianki rury:

g = 7 [mm];

- długość całkowita:

L = 520 [mm];

- długość rury:

l₁ = 340 [mm];

- grubość spoiny pachwinowej:

a = 8 [mm];

- siły:

P₁ = 5500 [N];  

α = 62;     x₁ = 43 [mm];    y₁ = 29 [mm];

P₂ = 3600 [N];

β = 174 ;    x₂ = −40 [mm];  y₂ = −28 [mm].

- materiał rury:

Materiał dobrany na rurę to stal niestopowa konstrukcyjna wyższej jakości wg PN-75/H-84019 o znaku St3S o wartości R_e=235 MPa.

Spoina pachwinowa:

Na schemacie występują następujące zależności:

P₁ = P₁^′

P₁^″ = P₁ • cosα

P₁^‴ = P₁ • sinα

P₂ = P₂^‴

P₂^″ = P₂ • cosβ

P₂^′ = P₂ • sinβ

Suma rzutów sił na osie:

$$\sum_{}^{}{F_{\text{ix}} = {- P}_{2}^{''} = P_{2} \bullet cos\beta = - 3600 \bullet \cos 174} = 3580N \equiv P_{\text{tx}}$$

$$\sum_{}^{}{F_{\text{iy}} = {- P}_{1}^{''} = - P_{1} \bullet cos\alpha = - 5500 \bullet \cos 62} = - 2582\ N \equiv P_{\text{ty}}$$

$$\sum_{}^{}{F_{\text{iz}} = P_{1}^{'''} + P_{2}^{'} = P_{1} \bullet sin\alpha + P_{2} \bullet sin\beta = 5500 \bullet \sin 62 + 3600 \bullet \sin 174} = 5233\ N \equiv P_{\text{tz}}$$

Suma momentów sił względem osi:

$$\sum_{}^{}{M_{\text{ix}} = {- P}_{2}^{'} \bullet y_{2} + P_{1}^{'} \bullet \text{cosα} \bullet L + P_{1}^{'} \bullet \text{sinα} \bullet y_{1} = {- P}_{2} \bullet \text{sinβ} \bullet y_{2} + P_{1} \bullet \text{cosα} \bullet L + P_{1} \bullet sin\alpha \bullet y_{1} = - 3600 \bullet \sin 174 \bullet 0,028 + 5500 \bullet \cos 62 \bullet 0,52 + 5500 \bullet \sin 62 \bullet 0,029 = = 1473\ \ Nm \equiv M_{\text{gx}}}$$

$$\sum_{}^{}{M_{\text{iy}} = {- P}_{1}^{'''} \bullet x_{1} + P_{2}^{'''} \bullet L \bullet \text{cosβ} + P_{2}^{'''} \bullet \text{sinβ} \bullet x_{2} = {- P}_{1} \bullet \text{sinα} \bullet x_{1} + P_{2} \bullet L \bullet \text{cosβ} + P_{2} \bullet \text{sinβ} \bullet x_{2} = 5500 \bullet \sin 62 \bullet 0,043 + 3600 \bullet 0,52 \bullet \cos 174 + 3600 \bullet \sin 174 \bullet \left| - 0,04 \right| = = - 1638\ Nm \equiv M_{\text{gy}}}$$

$$\sum_{}^{}{M_{\text{iz}} = {- P}_{2}^{''} \bullet y_{2} - P_{1}^{''} \bullet x_{1} = - P_{2} \bullet \text{cosβ} \bullet y_{2} - P_{1} \bullet \text{cosα} \bullet x_{1} = = - 3600 \bullet \cos 174 \bullet 0,028 - 5500 \bullet \cos 62 \bullet 0,043 = - 10,8\ Nm \equiv M_{s}}$$

Moment gnący:

$$M_{g} = \sqrt{M_{\text{gx}}^{2} + M_{\text{gy}}^{2}} = \sqrt{\left( 1473 \right)^{2} + \left( 1638 \right)^{2}} = 2203\ \text{Nm}$$

Naprężenia:

$$\tau_{x} = \frac{\left| P_{\text{tx}} \right|}{A} = \frac{3580}{1564,5} = 2,29\ \text{MPa}$$

$$\tau_{y} = \frac{\left| P_{\text{ty}} \right|}{A} = \frac{\left| - 2582\ \right|}{1564,5} = 1,65\ \text{MPa}$$

$$\tau_{s} = \frac{\left| M_{s} \right|}{W_{o}} = \frac{\left| - 10,8\ \right| \times 1000}{60\ 866,6\ } = 0,18\ \text{MPa}$$

Pole przekroju spoiny:

$$A = \frac{\pi}{4} \bullet \left( \left( D + 2 \bullet a \right)^{2} - D^{2} \right) = \frac{\pi}{4} \bullet \left( \left( 77 + 2 \bullet 6 \right)^{2} - 77^{2} \right) = {1564,5\ \text{mm}}^{2}$$

Wskaźnik wytrzymałości:

$$W_{o} = \frac{I_{o}}{\frac{D + 2 \bullet a}{2}} = \frac{2\ 708\ 563,4}{\frac{77 + 2 \bullet 6}{2}} = 60\ 866,6\ \text{mm}^{3}$$

Moment bezwładności:

$$I_{o} = \frac{\pi}{32} \bullet \left\lbrack \left( D + 2 \bullet a \right)^{4} - D^{4} \right\rbrack = \frac{\pi}{32} \bullet \left\lbrack \left( 77 + 2 \bullet 6 \right)^{4} - 77^{4} \right\rbrack = 2\ 708\ 563,4\ \text{mm}^{4}$$

$$\tau = \sqrt{\tau_{x}^{2} + \tau_{y}^{2}} = \sqrt{\left( 2,29 \right)^{2} + \left( 1,65\ \right)^{2}} = 7,96\ \text{MPa}$$

$$\tau_{\text{wyp}} = \sqrt{\tau^{2} + \tau_{s}^{2} - 2 \bullet \tau \bullet \tau_{s} \bullet \text{cosϵ}} = \sqrt{{7,96}^{2} + {0,18}^{2} - 2 \bullet 7,96 \bullet 0,18 \bullet cos96,25} = 7,98\ \text{MPa}$$

Wyznaczenie kątów:

$$\text{tgψ} = \frac{M_{\text{gy}}}{M_{\text{gx}}} = > \psi = \text{arctg}\frac{M_{\text{gy}}}{M_{\text{gx}}} = \text{arctg}\frac{1638}{1473} = 48,04$$

$$\text{tgδ} = \frac{\tau_{y}}{\tau_{x}} = > \delta = \text{arctg}\frac{\tau_{y}}{\tau_{x}} = \text{arctg}\frac{1,65}{2,29} = 35,77$$

ϵ = δ + ψ = 180 − (35, 77 + 48, 04)=96, 25

$$\sigma_{g}^{\left( \text{Mgx} \right)} = \frac{\left| M_{\text{gx}} \right|}{W_{o}} = \frac{1473}{60\ 866,6} = 24,2\ \text{MPa}$$

$$\sigma_{g}^{\left( \text{Mgy} \right)} = \frac{\left| M_{\text{gy}} \right|}{W_{o}} = \frac{1638}{60\ 866,6} = 26,9\ \text{MPa}$$

$$\sigma_{r} = \frac{P_{n}}{A} = \frac{5233}{1564,5} = 3,35\ \text{MPa}$$

σ_n = σ_g^(Mgx) + σ_g^(Mgy) + σ_r = 24, 2 + 26, 9 + 3, 35 = 54, 45MPa

P_n = P_tz = 5233 N

Naprężenie zredukowane w spoinie pachwinowej:

$$\sigma_{z} = \sqrt{\sigma_{n}^{2} + \tau_{\text{wyp}}^{2}} = \sqrt{\left( 54,45 \right)^{2} + \left( 7,98 \right)^{2}} = 55\ \text{MPa}\ \leq \ k_{t} = 96\ \text{MPa}$$

$$k_{r} = \frac{R_{e}}{x_{e}} = \frac{235}{2,2} = 106,82\ \text{MPa}$$

k_t = s • k_r = 0, 9 • 106, 82 = 96, 1 MPa

Został tutaj uwzględniony współczynnik jakości i statycznej wytrzymałości spoiny: s = 0, 9, oraz współczynnik bezpieczeństwa x_e = 2, 2.

Warunek wytrzymałościowy dla spoiny pachwinowej o grubości a=6mm jest spełniony.

Spoina czołowa:

Na schemacie występują następujące zależności:

P₁ = P₁^′

P₁^″ = P₁ • cosα

P₁^‴ = P₁ • sinα

P₂ = P₂^‴

P₂^″ = P₂ • cosβ

P₂^′ = P₂ • sinβ

Suma rzutów sił na osie:

$$\sum_{}^{}{F_{\text{ix}} = {- P}_{2}^{''} = P_{2} \bullet cos\beta = - 3600 \bullet \cos 174} = 3580N \equiv P_{\text{tx}}$$

$$\sum_{}^{}{F_{\text{iy}} = {- P}_{1}^{''} = - P_{1} \bullet cos\alpha = - 5500 \bullet \cos 62} = - 2582\ N \equiv P_{\text{ty}}$$

$$\sum_{}^{}{F_{\text{iz}} = P_{1}^{'''} + P_{2}^{'} = P_{1} \bullet sin\alpha + P_{2} \bullet sin\beta = 5500 \bullet \sin 62 + 3600 \bullet \sin 174} = 5233\ N \equiv P_{\text{tz}}$$

Suma momentów sił względem osi:

$$\sum_{}^{}{M_{\text{ix}} = {- P}_{2}^{'} \bullet y_{2} + P_{1}^{'} \bullet \text{cosα} \bullet l_{1} + P_{1}^{'} \bullet \text{sinα} \bullet y_{1} = {- P}_{2} \bullet \text{sinβ} \bullet y_{2} + P_{1} \bullet \text{cosα} \bullet l_{1} + P_{1} \bullet sin\alpha \bullet y_{1} = - 3600 \bullet \sin 174 \bullet 0,028 + 5500 \bullet \cos 62 \bullet 0,34 + 5500 \bullet \sin 62 \bullet 0,029 = = 1008\ \ Nm \equiv M_{\text{gx}}}$$

$$\sum_{}^{}{M_{\text{iy}} = {- P}_{1}^{'''} \bullet x_{1} + P_{2}^{'''} \bullet l_{1} \bullet \text{cosβ} + P_{2}^{'''} \bullet \text{sinβ} \bullet x_{2} = {- P}_{1} \bullet \text{sinα} \bullet x_{1} + P_{2} \bullet l_{1} \bullet \text{cosβ} + P_{2} \bullet \text{sinβ} \bullet x_{2} = 5500 \bullet \sin 62 \bullet 0,043 + 3600 \bullet 0,34 \bullet \cos 174 + 3600 \bullet \sin 174 \bullet \left| - 0,04 \right| = = - 993\ Nm \equiv M_{\text{gy}}}$$

$$\sum_{}^{}{M_{\text{iz}} = {- P}_{2}^{''} \bullet y_{2} - P_{1}^{''} \bullet x_{1} = - P_{2} \bullet \text{cosβ} \bullet y_{2} - P_{1} \bullet \text{cosα} \bullet x_{1} = = - 3600 \bullet \cos 174 \bullet 0,028 - 5500 \bullet \cos 62 \bullet 0,043 = - 10,8\ Nm \equiv M_{s}}$$

Moment gnący:

$$M_{g} = \sqrt{M_{\text{gx}}^{2} + M_{\text{gy}}^{2}} = \sqrt{\left( 1008 \right)^{2} + \left( - 993 \right)^{2}} = 1415\text{Nm}$$

Naprężenia:

$$\tau_{x} = \frac{\left| P_{\text{tx}} \right|}{A} = \frac{3580}{1564,5} = 2,29\ \text{MPa}$$

$$\tau_{y} = \frac{\left| P_{\text{ty}} \right|}{A} = \frac{\left| - 2582\ \right|}{1564,5} = 1,65\ \text{MPa}$$

$$\tau_{s} = \frac{\left| M_{s} \right|}{W_{o}} = \frac{\left| - 10,8\ \right| \times 1000}{60\ 866,6\ } = 0,18\ \text{MPa}$$

Pole przekroju spoiny:

$$A = \frac{\pi}{4} \bullet \left( \left( D + 2 \bullet a \right)^{2} - D^{2} \right) = \frac{\pi}{4} \bullet \left( \left( 77 + 2 \bullet 6 \right)^{2} - 77^{2} \right) = {1564,5\ \text{mm}}^{2}$$

Wskaźnik wytrzymałości:

$$W_{o} = \frac{I_{o}}{\frac{D + 2 \bullet a}{2}} = \frac{2\ 708\ 563,4}{\frac{77 + 2 \bullet 6}{2}} = 60\ 866,6\ \text{mm}^{3}$$

Moment bezwładności:

$$I_{o} = \frac{\pi}{32} \bullet \left\lbrack \left( D + 2 \bullet a \right)^{4} - D^{4} \right\rbrack = \frac{\pi}{32} \bullet \left\lbrack \left( 77 + 2 \bullet 6 \right)^{4} - 77^{4} \right\rbrack = 2\ 708\ 563,4\ \text{mm}^{4}$$

$$\tau = \sqrt{\tau_{x}^{2} + \tau_{y}^{2}} = \sqrt{\left( 2,29 \right)^{2} + \left( 1,65\ \right)^{2}} = 7,96\ \text{MPa}$$

$$\tau_{\text{wyp}} = \sqrt{\tau^{2} + \tau_{s}^{2} - 2 \bullet \tau \bullet \tau_{s} \bullet \text{cosϵ}} = \sqrt{{7,96}^{2} + {0,18}^{2} - 2 \bullet 7,96 \bullet 0,18 \bullet cos99,66} = 7,99\ \text{MPa}$$

Wyznaczenie kątów:

$$\text{tgψ} = \frac{M_{\text{gy}}}{M_{\text{gx}}} = > \psi = \text{arctg}\frac{M_{\text{gy}}}{M_{\text{gx}}} = \text{arctg}\frac{993}{1008} = 44,57$$

$$\text{tgδ} = \frac{\tau_{y}}{\tau_{x}} = > \delta = \text{arctg}\frac{\tau_{y}}{\tau_{x}} = \text{arctg}\frac{1,65}{2,29} = 35,77$$

ϵ = δ + ψ = 180 − (35, 77 + 44, 57)=99, 66

$$\sigma_{g}^{\left( \text{Mgx} \right)} = \frac{\left| M_{\text{gx}} \right|}{W_{o}} = \frac{1008}{60\ 866,6} = 16,6\ \text{MPa}$$

$$\sigma_{g}^{\left( \text{Mgy} \right)} = \frac{\left| M_{\text{gy}} \right|}{W_{o}} = \frac{993}{60\ 866,6} = 16,3\ \text{MPa}$$

$$\sigma_{r} = \frac{P_{n}}{A} = \frac{5233}{1564,5} = 3,35\ \text{MPa}$$

σ_n = σ_g^(Mgx) + σ_g^(Mgy) + σ_r = 16, 6 + 16, 3 + 3, 35 = 36, 25MPa

P_n = P_tz = 5233 N

Naprężenie zredukowane w spoinie pachwinowej:

$$\sigma_{z} = \sqrt{\sigma_{n}^{2} + \tau_{\text{wyp}}^{2}} = \sqrt{\left( 36,25 \right)^{2} + \left( 7,99 \right)^{2}} = 37\ \text{MPa}\ \leq \ k_{t} = 96\ \text{MPa}$$

$$k_{r} = \frac{R_{e}}{x_{e}} = \frac{235}{2,2} = 106,82\ \text{MPa}$$

k_t = s • k_r = 0, 9 • 106, 82 = 96, 1 MPa

Został tutaj uwzględniony współczynnik jakości i statycznej wytrzymałości spoiny: s = 0, 9, oraz współczynnik bezpieczeństwa x_e = 2, 2.

Warunek wytrzymałościowy dla spoiny pachwinowej o grubości a=6mm jest spełniony.