matematyka na 6

Lekcja 1: Podział liczb

Witaj,

Dzisiaj rozpoczynamy Twój kurs przygotowawczny do matury z matematyki. Przygotuj sobie około 10-15 min na zapoznanie się z poniższymi materiałami i na rozwiązanie zadań, które dla Ciebie przygotowałem.

Poprawność rozwiązań będziesz mógł sprawdzić już jutro.

 

Jeszcze jedna WAŻNA uwaga dotycząca kursu. Materiał w kursie jest ustawiony "chronologicznie" czyli poczynając od liczb rzeczywistych, przez funkcje liniową, kwadratową aż do końca materiału w liceum. Jeżeli coś jest dla Ciebie proste i oczywiste, mozesz pominąć daną lekcję i poczekać na kolejną.  W kursie nie pomijam żadnego materiału, bo To co jest dla Ciebie łatwe innym może sprawiać trudności. Dlatego musisz wykazać w tym względzie trochę wyrozumiałości.

Sugeruję jednak, abyś zawsze przejrzał lekcję chociaż pobieżnie - dzięki temu przypomnisz sobie szybko najważniejsze wiadomości.

 

A teraz przejdź już do części właściwej tej pierwszej lekcji.

Podział liczb na naturalne, całkowite, wymierne, rzeczywiste.

Wszystkie liczby możemy podzielić na pewne grupy. Są to liczby: naturalne, całkowite, wymierne oraz niewymierne i rzeczywiste. Najbardziej ogólnym pojęciem są liczby rzeczywiste, bo w tym zbiorze znajdują się wszystkie znane Tobie liczby ( przynajmniej  na poziomie szkoły średniej, dopiero na studiach burzą człowiekowi cały światopogląd ). Ale o liczbach rzeczywistych trochę później. Na samym początku ...

Definicja:  Liczby naturalne

N={1,2,3,...}

Są to te najbardziej naturane, używane przez ludzi liczby, które pozwalają określić ilość rzeczy. Nie mamy ilości ujemnych. Albo coś mamy, albo nie  ( czyli jest zero), dlatego w zbiorze liczb naturalnych nie ma żadnych liczb ujemnych. Jeszcze jedna ważna uwaga. Wśród matematyków wciąż istnieje spór czy do liczb naturalnych zaliczyć zero czy też nie. W zależności od kontekstu, zakłada się różnie. Tutaj przyjmujemy, że liczby naturalne zaczynają się od zera.

Definicja:  Liczby całkowite

C={0,1,−1,2,−2,3,−3,...}

Zbiór liczb naturalnych oznaczamy przez N.

Kolejny zbiór to liczby całkowite. Są one rozszerzeniem liczb naturalnych. Tzn. do zbioru liczb naturalnych dodajemy jeszcze ich wszystkie liczby przeciwne ( czyli te z minusami) oraz to nieszczęsne zero ( z którym nie wiadomo co zrobić).

Definicja: Liczby wymierne

W=pq:p∈C∧q ∈C∖{0}

Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, która jest ilorazem dwóch liczb całkowitych. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy przez C.

Liczby wymierne - tutaj sprawa się komplikuje, bo do tego co opisaliśmy wcześniej, czyli do liczb całkowitych musimy dodać jeszcze wszystkie ułamki. Ogólnie możemy powiedzieć, że liczba wymierna to taka, która daje się przedstawić w postaci ułamka zwykłego. Każdą liczbę naturalną czy całkowitą także możemy zapisać w postaci ułamka, np. 3=31, −5=−51. Więc ta definicja uwzględnia wszystkie liczby wymierne.

Przykładami liczb wymiernych są:

  0, −3, 5, 13, −432, 4,(56)

UWAGA!

Ułamki okresowe również są liczbami wymiernymi! Na przykład: 0,(1)=19

Przykład, w jaki sposób zamienić ułamek okresowy na ułamek zwykły został przedstawiony w paragrafie Działania na ułamkach.

 

Definicja: Liczby niewymierne

Liczbą niewymierną nazywamy każdą liczbę, która nie jest liczbą wymierną. Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy przez NW.

Liczby niewymierne są to wszystkie liczby, których nie możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego. Inaczej mówiąc te liczby mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone i nieokresowe.

Przykładami liczb niewymiernych są:

 π=3,1415926535... 

2=1,4142135623... 

 

Definicja: Liczby rzeczywiste

Liczbami rzeczywistymi są wszystkie liczby wymierne i niewymierne. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy przez R.

Gdy połączymy ze sobą wszystkie wyżej opisane zbiory liczb, to  otrzymamy zbiór liczb rzeczywistych.

Związki między zbiorami liczb opisanymi powyżej przedstawia rysunek:

 

Do góry

Skoro tutaj jesteś to przeczytałeś już cały materiał. Teraz pora na zadania.

W każdej lekcji przygotowałem dla Ciebie po kilka zadań, zazwyczaj pomiędzy 3 a 5. Uważam, że taka ilość jest minimalna do tego aby utrwalić materiał i jednocześnie nie zajmie zbyt dużo czasu, co też jest ważne, bo przygotowując się do matury na pewno masz dużo innych obowiązków.

 

Rozwiązania do zadań prześlę Ci jutro. Będziesz mógł wtedy sprawdzić swoje rozwiązania.

Zadanie 1

Wskaż, który zbiór zawiera tylko liczby naturalne.

A={−3,−1,0,5,80}

B={32,15,36}

C={2,15,36}

D={2,17,101}

Zadanie 2

Wskaż, który zbiór zawiera tylko liczby całkowite.

A={−7,−2,0,6,13}

B={52,15,36}

C={π,40,41}

D={2,3,413}

Zadanie 3

Wskaż, który zbiór zawiera tylko liczby niewymierne.

A={−π,π,121}

B={32,7,36}

C={−3,π,37}

D={32,15,36}

Zadanie 4

Wskaż takie liczby a oraz b, że spełniają poniższą nierówność oraz a jest liczbą wymierną, natomiast b jest liczbą niewymierną.

38<a<b<1,51

 Odpowiedź A:  

A={−3,−1,0,5,80}   

Liczby  −1, −3  nie są liczbami naturalnymi.

 

Odpowiedź B:  

B={32,15,36}

Liczba 32 nie jest liczbą naturalną.

 

Odpowiedź C:  

C={2,15,36}

Liczba 2 nie jest liczbą naturalną.

 

Odpowiedź D:  

D={2,17,101}

Wszystkie liczby są liczbami naturalnymi.

Odpowiedź A:

A={-7,-2,0,6,13}

Wszystkie liczby są liczbami całkowitymi.

Odpowiedź B:

B={{5}{2},15,36}

Liczba {5}{2} nie jest liczbą całkowitą.

 

Odpowiedź C: 

C={pi,40,41}

Liczba pi nie jest liczbą całkowitą.

 

Odpowiedź D:

D={2,{3},{4}{13}}

Liczby {3},{4}{13} nie są liczbami całkowitymi.

 

Lekcja 2: Zaokrąglanie liczb (Przybliżanie liczb)

Przybliżanie liczb do n-tego miejsca po przecinku.

 Omówienie przybliżania ( zaokrąglania ) liczb rozpoczniemy od przykładu. Jak z praktyki każdy wie, na konkretnych liczbach każdy szybciej zrozumie niż na literkach.

Przykład:

Podać przybliżenie liczby 2,35278 do drugiego, a później do trzeciego miejsca po przecinku.

Przybliżanie do drugiego miejsca po przecinku:

Kiedy zaokrąglamy liczbę do drugiego miejsca po przecinku, musimy spojrzeć jaka jest kolejna cyfra, czyli w tym wypadku - trzecia cyfra po przecinku.

Rozważamy tu liczbę: 2,35278

Druga cyfra po przecinku to: 2,35278

natomiast trzecia to: 2,35278

Ogólna zasada jest taka, że jeżeli kolejna cyfra jest większa lub równa od 5 to zaokrąglamy w górę, jeżeli mniejsza, to nic nie zmieniamy, a pozostałe cyfry odcinamy. A dokładniej...

W naszym przykładzie trzecia cyfra jest mniejsza od pięciu ( 2<5), dlatego nie zmieniamy drugiej cyfry, a cyfry stojące na miejscach dalszych niż drugie odcinamy 2,35278

i otrzymujemy przybliżenie do drugiego miejsca po przecinku: 2,35278≈2,35

Przybliżanie do trzeciego miejsca po przecinku:

Mamy zaokrąglić liczbę do trzeciego miejsca po przecinku. Patrzymy więc jaka jest kolejna cyfra. Jest to 7:

2,35278

 Ponieważ 7≥5 to  cyfrę na miejscu trzecim, zamieniamy na cyfrę o jeden większą, a dalsze odcinamy.

2,35278

i otrzymujemy przybliżenie do trzeciego miejsca po przecinku: 2,35278≈2,353.

Ogólna zasada przybliżania liczb:

Przybliżając liczbę dziesiętną do n - tego miejsca po przecinku, postępujemy następująco:

Patrzymy na cyfrę stojącą na miejscu n+1. W zależności od tego, jaka jest to cyfra, postępujemy na dwa sposoby.

Gdy cyfra na miejscu n+1 jest:

a)  <5, czyli jest to {0,1,2,3,4}, wówczas odcinamy cyfry znajdujące się na dalszych miejscach niż n otrzymując przybliżenie.

b)  ≥5, czyli jest to {5,6,7,8,9}, wówczas cyfrę na n - tym miejscu zamieniamy na cyfrę o jeden większą, a pozostałe cyfry stojące na dalszych miejscach niż n odcinamy, otrzymując przybliżenie.

Do góry

Obliczanie błędów przybliżenia

Niech  xp będzie przybliżeniem liczby x.

Definicja: Błąd bezwzględny przybliżenia

Błędem bezwzględnym przybliżenia nazywamy liczbę obliczaną według wzoru:

Δ=|x−xp|

Czyli jest to wartość bezwzględna różnicy między wartością dokładną a przybliżoną.

Definicja: Błąd względny przybliżenia

Błędem względnym przybliżenia nazywamy liczbę obliczaną według wzoru:

δ=Δ|x|=|x−xp||x|

UWAGA!

Błąd względny przybliżenia możemy również podawać jako wartość wyrażoną w procentach. Wówczas:

δ=|x−xp||x|⋅100%

Przykład:

Dana jest liczba 35.267.  Zaokrąglij tą liczbę do drugiego miejsca po przecinku, a następnie oblicz błąd względny i bezwzględny tego przybliżenia.

x=35,267

Liczbę zaokrąglamy do drugiego miejsca po przecinku i otrzymujemy:

xp=35,27

Obliczamy błąd bezwzględny:

Δ=|x−xp|=|35,267−35,27|=|−0,003|=0,003

Obliczamy błąd względny:

δ=|x−xp||x|=|35,267−35,27||35,267|=0,00335,267≈0,000085=0,0085%

Do góry

Dopasuj elementy po prawej stronie, do elementów po stronie lewej.

x=3,567,xp=3,56

x=2,659,xp=2,66

x=0,75,xp=0,8

x=2,345,xp=2,35

Δ=0,001

δ=0,0021

Δ=0,007

δ=0,067

Zadanie 1

Przybliżenie liczby 0,32145 do drugiego miejsca po przecinku to:

0.32

0.33

0.31

0.35

Zadanie 2

Zaokrąglij liczbę 1,655 do drugiego miejsca po przecinku, a następnie oblicz błąd względny i bezwzględny tego przybliżenia. Wyniki podaj z dokładnością do trzeciego miejsca po przecinku.

Zadanie 3

Ułamek 67 zapisany w postaci dziesiętnej (z przybliżeniem do czwartego miejsca po przecinku) to:

0,8571

0,8572

0,8576

0,8580

Lekcja 3: Kolejność wykonywania działań

Działania w nawiasach, potęgowanie i pierwiastkowanie.

Kolejność wykonywania działań arytmetycznych nie jest przypadkowa. Trzeba pamiętać o prawidłowej kolejności ich wykonywania.

Kolejność wykonywania działań: 

1. Działania w nawiasach

2. Potęgowanie i pierwiastkowanie

3. Mnożenie i dzielenie ( w kolejności ich występowania tzn. od lewej do prawej)

4. Dodawanie i odejmowanie ( w kolejności ich występowania tzn. od lewej do prawej)

 

1. Działania w nawiasach

Jeżeli w wyrażeniu arytmetycznym występują nawiasy, najpierw wykonujemy działania w nawiasach wewnątrz których nie ma innych nawiasów.

Przykład:

1+(20−(6−(4+9)))

Obliczanie tego wyrażenia, rozpoczynamy od najbardziej wewnętrznego nawiasu i wychodzimy do najbardziej zewnętrznego, czyli:

1+(20−(6−(4+9)))=

=1+(20−(6−13))=1+(20+7)=1+27=28

 

 

2. Potęgowanie i pierwiastkowanie

W wyrażeniu arytmetycznym bez nawiasów, najpierw wykonujemy pierwiastkowanie i potęgowanie.

Przykład:

22+4+82+9=22+4+82+9=4+4+64+3=75

Do góry

Mnożenie, dzielenie, dodawanie i odejmowanie

3. Mnożenie i dzielenie ( w kolejności ich występowania)

Jeżeli w wyrażeniu arytmetycznym nie ma innych działań ani nawiasów tylko mnożenie i dzielenie, wówczas wykonujemy je w kolejności występowania (od lewej do prawej).

Przykład:

8:2⋅4⋅7:16=8:2⋅4⋅7:16=

=4⋅4⋅7:16=16⋅7:16=112:16=7

 

 

4. Dodawanie i odejmowanie ( w kolejności ich występowania)

Jeżeli w wyrażeniu arytmetycznym nie ma innych działań ani nawiasów, tylko dodawanie i odejmowanie, to wykonujemy je w kolejności ich występowania ( od lewej do prawej).

Przykład:

3−5+36+5−7−24=3−5+36+5−7−24=

=−2+36+5−7−24=34+5−7−24=

=39−7−24=32−24=8

 

Do góry

Dopasuj elementy po lewej stronie do elementów po stronie prawej.

3−9:3⋅2−7

4:2⋅5⋅(6−4)

66:11−5−6

−10

20

−5

Wykorzystanie wszystkich reguł działań na liczbach.

Teraz połączymy wszystkie powyższe wiadomości. Spójrz na przykład:

Przykład:

92−20⋅(4⋅2)−3+5=

Najpierw obliczamy wyrażenie w nawiasie:

=92−20⋅(4⋅2)−3+5=

W nawiasie występuje pierwiastkowanie i mnożenie. Zgodnie z kolejnością wykonywania działań, najpierw pierwiastkujemy a później mnożymy, czyli:

=92−20⋅(2⋅2)−3+5=92−20⋅4−3+5=

Teraz w wyrażeniu nie ma już nawiasów. Wykonujemy więc potęgowanie:

=92−20⋅4−3+5=81−20⋅4−3+5=

Kolejno mnożenie:

=81−20⋅4−3+5=81−80−3+5=

Teraz w wyrażeniu pozostało do wykonania jedynie dodawanie i odejmowanie, zatem te działania wykonujemy w kolejności ich występowania, zaczynając od lewej strony:

=81−80−3+5=1−3+5=−2+5=3

 

Do góry

Dopasuj elementy po lewej stronie do elementów po stronie prawej.

16−6(10:2⋅2)−2(32−5)

8:2⋅6+24−16:2+25⋅22

(1+3⋅(9−3)−(−23−7):3):6

60

1

−64

Widzę, że bardzo sprawnie idzie Ci praca z kursem, bardzo mnie to cieszy.

Na rozluźnienie polecam Ci dzisiaj artykuł przygotowany przez redakcję matmana6.pl pod tytułem: Jak przygotować się do matury z matematyki?

Napisz mi proszę w komentarzu co o nim sądzisz, czy jest dla Ciebie przydatny i czy chciałbyś więcej artykułów związanych z maturą?

Jeżeli masz jakiś konkretny temat na który chciałbyś się więcej dowiedzieć to też napisz to w komentarzu, postaram się przygotować taki artykuł.

Kliknij tutaj aby przeczytać artykuł: Jak przygotować się do matury z matematyki?

Podobała Ci się dzisiejsza lekcja? Kliknij

Rozwiązania zadań z poprzedniej lekcji

Zadanie 1

Przybliżenie liczby 0,32145 do drugiego miejsca po przecinku to:

0.32

0.33

0.31

0.35

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 2

Zaokrąglij liczbę 1,655 do drugiego miejsca po przecinku, a następnie oblicz błąd względny i bezwzględny tego przybliżenia. Wyniki podaj z dokładnością do trzeciego miejsca po przecinku.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie 3

Ułamek 67 zapisany w postaci dziesiętnej (z przybliżeniem do czwartego miejsca po przecinku) to:

0,8571

0,8572

0,8576

0,8580

Zobacz rozwiązanie


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym rozwiazania
Matematyka na co dzień
matematyka na codzien
9 pytania z matematyki na egzamin licencjacki
matematyka na drodze
ciaglosc funkcji, nieciaglosc w punkcie sciaga z matematyki na egzamin ustny
sprawozdanie1, Cyfrowa obróbka sygnału polega na wykonywaniu operacji matematycznych na kolejnych pr
Matematyka jest ciekawa, MATEMATYKA NA WESOŁO, matematyka
BADANIE DOJRZAŁOŚCI DO UCZENIA SIĘ MATEMATYKI NA SPOSÓB SZKOLNY
matematyka na wesoło, E. MATEMATYCZNA
8 pytania z matematyki na egzamin magisterski
Kolokwium z matematyki na zarzdzaniu dzienne, WSFiZ rok 1
Matematycy na sciezkach wiary Pascal, naukowiec czy mistyk
MATEMATYKA NA CO DZIEŃ, klasa 6
BADANIE DOJRZAŁOŚCI DO UCZENIA SIĘ MATEMATYKI NA SPOSÓB SZKOLNY, Studia PO i PR, dojrzałość do matem

więcej podobnych podstron