Prawo Darcy'ego (rzadziej formuła Darcy'ego) (ang. Darcy's law, Darcy's formula) - fundamentalny wzór o charakterze fenomenologicznym, opisujący zależność między prędkością filtracji płynu przepływającego w ośrodku porowatym  a występujacym gradientem ciśnienia . Prawo Darcy'ego zmieniało swoją postać z postępem wiedzy w zakresie hydrodynamiki podziemnej. W rezultacie obecnie stosowane sformułowanie różni się znacznie od pierwotnej postaci wyrażonej 150 lat temu przez H. Darcy'ego. Ponadto podane zostały uogólnienia prawa Darcy'ego odbiegające niekiedy znacznie od idei pierwotnej.

Niniejszy artykuł pomija historyczny aspekt problemu i przedstawia formułę Darcy'ego w postaci stosowanej obecnie w hydrodynamice podziemnej.

Sformułowanie skalarne [edytuj]

Sformułowanie skalarne odnosi się do jednowymiarowych przepływów w ośrodkach porowatych. Jego postać jest następująca:

Prędkość filtracji płynu przepływającego w ośrodku porowatym  jest wprost proporcjonalna do spadku ciśnienia przypadającego na jednostkę miąższości ośrodka  i odwrotnie proporcjonalna do lepkości przepływającego płynu  , a współczynnik proporcjonalności, zwany przepuszczalnością  jest parametrem stałym, charakterystycznym dla danego ośrodka porowatego:

Znak ujemny w powyższym równaniu pochodzi stąd, że przepływ płynu odbywa się zgodnie ze spadkiem a nie ze wzrostem ciśnienia.

Tak sformułowane prawo Darcy'ego wprowadza pojęcie przepuszczalności  jako ściśle określonego parametru materiałowego ośrodka porowatego. Tak sformułowane pojęcie niezupełnie pokrywa się z potocznym określeniem słowa przepuszczalność rozumianym jako zdolność ciała stałego do przeciekania przez niego płynów.

Zauważmy, że prędkość filtracji płynu nie zależy od wartości ciśnienia, lecz od jego spadku, a ponadto nie zależy od porowatości ośrodka porowatego.

Sformułowanie skalarne dla ośrodków niejednorodnych [edytuj]

Sformułowanie to odnosi się do jednowymiarowych przepływów w ośrodkach porowatych, w których występuje zależność przepuszczalności  od położenia . Postać prawa Darcy'ego jest wówczas następująca:

Prędkość filtracji płynu przepływającego w ośrodku porowatym  jest wprost proporcjonalna do wziętej ze znakiem ujemnym pochodnej ciśnienia  i odwrotnie proporcjonalna do lepkości przepływającego płynu  , a zależny od położenia  współczynnik proporcjonalności, zwany przepuszczalnością  jest parametrem stałym, charakterystycznym dla danego ośrodka porowatego w danym punkcie przestrzeni  :

Znak ujemny w powyższym równaniu pochodzi stąd, że przepływ płynu odbywa się zgodnie ze spadkiem a nie ze wzrostem ciśnienia (ujemna pochodna ).

Sformułowanie wektorowe [edytuj]

Sformułowanie wektorowe odnosi się do jedno-, dwu- i trójwymiarowych przepływów w ośrodkach porowatych. Jego postać, stanowiąca uogólnienie postaci skalarnej, jest następująca:

Wektor prędkości filtracji płynu przepływającego w ośrodku porowatym  jest wprost proporcjonalny do wziętego ze znakiem ujemnym gradientem ciśnienia  i odwrotnie proporcjonalny do lepkości przepływającego płynu  , a współczynnik proporcjonalności, zwany przepuszczalnością  jest parametrem stałym, charakterystycznym dla danego ośrodka porowatego:

Znak ujemny w powyższym równaniu pochodzi stąd, że wektor prędkości filtracji płynu skierowany jest przeciwnie do wektora gradientu ciśnienia.

Równanie powyższe wyraża w istocie układ trzech równań skalarnych dla składowych  wektora predkości filtracji  :

Sformułowanie wektorowe dla przepływów pionowych i ukośnych [edytuj]

Sformułowanie to odnosi się do przepływów pionowych i ukośnych. Jego postać jest następująca:

Wektor prędkości filtracji płynu przepływającego w ośrodku porowatym  jest wprost proporcjonalny do wziętego ze znakiem ujemnym gradientu ciśnienia pomniejszonego o ciśnienie hydrostatyczne i odwrotnie proporcjonalny do lepkości przepływającego płynu  , a współczynnik proporcjonalności, zwany przepuszczalnością  jest parametrem stałym, charakterystycznym dla danego ośrodka porowatego:

gdzie  jest gęstością płynu,  jest przyśpieszeniem ziemskim, a  jest wysokością.

Sformułowanie wektorowe dla ośrodków niejednorodnych [edytuj]

Sformułowanie to odnosi się do wielowymiarowych przepływów w ośrodkach porowatych, w których występuje zależność przepuszczalności  od położenia . Postać prawa Darcy'ego jest wówczas następująca:

Pole wektorowe prędkości filtracji płynu przepływającego w ośrodku porowatym  jest wprost proporcjonalne do wziętego ze znakiem ujemnym gradientu ciśnienia  i odwrotnie proporcjonalne do lepkości przepływającego płynu  , a zależny od położenia  współczynnik proporcjonalności, zwany przepuszczalnością  jest parametrem stałym, charakterystycznym dla danego ośrodka porowatego w danym punkcie przestrzeni  :

Sformułowanie wektorowe dla niejednorodnych ośrodków anizotropowych [edytuj]

Sformułowanie to odnosi się do wielowymiarowych przepływów w anizotropowych ośrodkach porowatych, w których występuje zależność przepuszczlności  od położenia . Postać prawa Darcy'ego jest wówczas następująca:

Pole wektorowe prędkości filtracji płynu przepływającego w ośrodku porowatym  jest wprost proporcjonalne do wziętego ze znakiem ujemnym gradientu ciśnienia  i odwrotnie proporcjonalne do lepkości przepływającego płynu  , a zależny od położenia  tensorowy współczynnik proporcjonalności, zwany tensorem przepuszczalności  posiada składowe o wartościach stałych, charakterystycznych dla danego ośrodka porowatego w danym punkcie przestrzeni  :

Ilość niezależnych składowych tensora przepuszczalności zależna jest od rodzaju anizotropii ośrodka porowatego.

Inne sformułowania [edytuj]

Istnieje bezpośrednie uogólnienie prawa Darcy'ego na przepływy wielofazowe w ośrodkach porowatych. Jego szczegółowa postać podana jest w artykule prawo Darcy'ego dla przepływów wielofazowych.

Czasami, zwłaszcza w hydrologii, przez formułę Darcy'ego (prawo Darcy'ego) rozumie się następującą liniową relację między prędkością filtracji płynu  a spadkiem wysokości hydraulicznej  zachodzącej na dystansie  :

gdzie  jest tzw. współczynnikiem filtracji. Znak ujemny w powyższym równaniu pochodzi stąd, że przepływ płynu odbywa się zgodnie ze spadkiem a nie ze wzrostem wysokości hydraulicznej.

Takie sformułowanie jest bliższe pierwotnej idei Darcy'ego, lecz odnosi się jedynie do jednego rodzaju płynu - wody, i to w ściśle określonej temperaturze. Współczynnik ten będzie miał zatem inną wartość np. dla wody i dla powietrza, a nawet dla dwóch próbek wody w różnych temperaturach. W przeciwieństwie do przepuszczalności współczynnik filtracji nie jest zatem parametrem materiałowym, zależnym jedynie od własności ośrodka porowatego