Wytrzymałość materiałów zagadnienia:

1. Naprężenia : rodzaje, opis i przekroje ich rozkład w pręcie (w tym naprężenia termiczne)

Naprężenie jest definiowane jako iloraz siły będącej reakcją na obciążenie zewnętrzne i powierzchni , na które ta siła działa:

$\sigma = \frac{F}{S}$

Rys. 3.1. Walec obciążony siłą osiową

Rodzaje naprężeń:

Styczne-naprężenie leżące w płaszczyźnie rozpatrywanego przekroju (oznaczone τ)

Normalne –naprężenia mające kierunek prostopadły do rozpatrywanego przekroju (oznaczone σ)

Termiczne: $\sigma = \frac{P}{A} = - E\alpha(T)$

α-współczynnik rozszerzalności cieplnej

E−Moduł Yanga

T-przyrost temperatury

1. Warunki projektowania przy rozciąganiu osiowym:

σ ≤ σ_kr; l ≤ l_kr; N ≤ N_kr

l-wydłużenie

σ-naprężenie

N−siła normalna

Indeks kr – oznacza wartość krytyczną

1. Warunki projektowania prętów zginanych

$\sigma_{x}^{\max} = \frac{\text{Mg}}{\text{Wy}} \leq \sigma_{\text{kr}}$; W_max = f ≤ f_kr

σ_max− maksymalne naprężenie normalne

Mg − moment gnący (zginający)

Wy − wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie, którego wartość wynosi

$$Wy = \frac{I_{x}}{e_{\max}}$$

I_x - geometryczny moment bezwładności względem osi x(w zagadnieniu 28 więcej) pokrywającej się z osią obojętną przekroju

e_max- maksymalna odległość skrajnych włókien od osi obojętnej

1. Skręcanie

Skręcanie pręta (por. rys. 2.3) występuje wtedy, gdy dwie pary sił działają w dwóch różnych płaszczyznach prostopadłych do osi pręta.
Rozważmy pręt o przekroju kołowym i długości l (rys.2.20a) skręcany dwoma parami sił (momentami skręcającymi M_s)

Prosta AB₁ równoległa do osi pręta na skutek skręcania przyjmie kształt linii śrubowej AB₂ o kącie γ nachylenia jednakowym na całej długości pręta. Przekroje końcowe pręta pozostają nadal płaskie, zaś długość l i promień r nie ulega zmianie, czyli objętość pręta nie zmienia się. Jeżeli wyobrazimy sobie rozwinięty cylinder o szerokości dx, to widzimy (rys. 2.20b), że kąty proste odkształcą się o kąt γ.
Ponieważ w pręcie nie zachodzą zmiany objętości, a jedynie zmiany postaci, można przyjąć, że stan naprężeń w pręcie skręcanym jest podobny do stanu czystego ścinania. W przekrojach poprzecznych pręta występują naprężenia styczne.

Z warunku równowagi rozpatrywanego pręta wynika, że suma elementarnych momentów ( dM=τ_ρ*dF*ρ ) w przekroju poprzecznym pręta równa się momentowi skręcającemu (zewnętrznemu) dany pręt :

$$M_{s} = \frac{\tau_{\max}}{r}\int_{F}^{}\rho^{2}\text{dF}$$

Występującą, tutaj całkę nazywamy J_o biegunowym momentem bezwładności przekroju (por. rozdz. 2.3.3.3)stąd wartość maksymalnych naprężeń statycznych τ _max dla punktów położonych przy zewnętrznej powierzchni skręcanego pręta:

$$\tau_{\text{MAX}} = \frac{\text{Ms}}{J_{0}}r$$

Obliczenia wytrzymałościowe.

Podobnie jak i przy zginaniu, wprowadzimy pojęcie wskaźnika wytrzymałości na skręcanie W_o
Jest to iloraz biegunowego momentu bezwładności J_o przez maksymalną odległość (skrajne włókna) od osi pręta:

Niektóre wzory na J_o oraz W₀ podano w tab. 2.2. Tak więc otrzymamy warunek wytrzymałościowy na skręcanie:

1. zginanie (Naprężenia):

-ukośne:

     Zginanie ukośne zachodzi wtedy, gdy płaszczyzna obciążenia nie jest płaszczyzną głównych środkowych osi bezwładności. Ślad płaszczyzny obciążenia na poprzecznym przekroju belki nie pokrywa się wtedy z główną środkową osią bezwładności tego przekroju.

        

      Zginanie ukośne można uważać za rezultat zginania belki w dwóch płaszczyznach wzajemnie prostopadłych przechodzących przez główne środkowe osie bezwładności przekroju.

      Warunek wytrzymałości ma postać

                 

gdzie a - kąt nachylenia płaszczyzny obciążenia, W_z, W_y - wskaźniki wytrzymałości przekroju.

-poprzeczne:

$\ \frac{\text{dM}}{\text{dx}} = T$; $\tau_{\text{zx}} = \frac{TS_{y}^{1}}{b_{z}I_{y}}$

WARUNKI:

Przekrój poprzeczny symetryczny względem osi z

Obciążenia symetryczne względem osi z.

Gęstość obciążenia wynosi .

Więzy symetryczne.

=0

-czyste(belka)

Czystym zginaniem nazywamy odkształcenie belki pomiędzy dwiema parami sił o równych momentach.

        

      Przy czystym zginaniu w przekrojach poprzecznych belki nie ma naprężeń stycznych.

      Obraz naprężeń normalnych przy czystym zginaniu

      

      Największe naprężenie normalne występuje we włóknach najdalej położonych od osi obojętnej przekroju poprzecznego

                 

gdzie M - moment gnący, y_max - odległość najdalej położonych włókien od osi obojętnej, I_z - moment bezwładności względem osi obojętnej.

Wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na zginanie względem osi obojętnej nazywamy stosunek momentu bezwładności tego przekroju względem osi obojętnej do odległości włókien skrajnych od tej osi

                 

gdzie I - moment bezwładności względem osi obojętnej, e - odległość włókien skrajnych od tej osi.

      Obliczenia wytrzymałościowe belek zginanych sprowadzają się do określenia największego naprężenia normalnego, występującego w przekroju poprzecznym belki.

Warunek wytrzymałościowy przedstawia się następująco

                  

gdzie k_g - naprężenie dopuszczalne przy zginaniu

1. ścinanie

  Stan naprężenia w przekrojach, w których występują tylko naprężenia styczne, nazywamy czystym ścinaniem.

      Prawo Hooke'a dla czystego ścinania:
Naprężenie styczne τ jest proporcjonalne do odkształcenia postaciowego γ.

                 

gdzie G - moduł sprężystości postaciowej.

$$G = \frac{E}{2\left( l + v \right)}$$

1. wykres naprężenia do odkształceń

Przykładowy wykres naprężenie-odkształcenie pokazuje rysunek po lewej. Początkowo wzrost przykładanej siły powoduje liniowy wzrost odkształcenia, aż do osiągnięcia granicy proporcjonalności . W zakresie tym obowiązuje prawo Hooke'a. Następnie po osiągnięciu wyraźnej granicy sprężystości materiał przechodzi w stan plastyczny, a odkształcenie staje się nieodwracalne. Jeżeli niemożliwe było określenie wyraźnej granicy sprężystości to wyznacza się umowną granicę sprężystości . Dalsze zwiększanie naprężenia powoduje nieliniowy wzrost odkształcenia, aż do momentu wystąpienia zauważalnego, lokalnego przewężenia zwanego szyjką. Naprężenie, w którym pojawia się szyjka, zwane jest pokazuje naprężenie rzeczywiste obliczane przy uwzględnieniu przewężenia próbki. Linia ciągła wytrzymałością na rozciąganie . Dalsze rozciąganie próbki powoduje jej zerwanie przy naprężeniu zrywającym (Uwaga! Wykres przedstawia dwie linie. Przerywana pokazuje stosunek uzyskiwanych sił do przekroju początkowego. Czyni się tak, by zaobserwować wartość , będącą lokalnym maksimum krzywej). Ten ogólny przypadek znacznie różni się dla różnych materiałów. Przykładowo materiały kruche nigdy nie przechodzą w stan plastyczny, lecz wcześniej ulegają zerwaniu. Dla wielu materiałów granica plastyczności jest trudna do określenia, gdyż nie istnieje wyraźnie przejście z zakresu sprężystego do plastycznego. Wyznacza się wtedy umowną granicę plastyczności . W przypadku wystąpienia widocznego płynięcia badanego materiału wyznacza się górną i dolną granicę plastyczności

1. Prawo Hooker wraz z złożonym stanem naprężeń

Prawo hooke’a- Stosując definicje odkształcenia i naprężenia można powiedzieć, że względne wydłużenie jest proporcjonalne do naprężenia, co można zapisać (jest to prawo w jednoosiowym stanie naprężeni):

σ = Eε

gdzie:

$\varepsilon = \frac{l}{l}$– odkształcenie względne,

  $\sigma = \frac{P}{A}$– naprężenie.

Podstawiając otrzymujemy: $l = \frac{\text{Pl}}{\text{EA}}$

HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE W praktyce inżynierskiej występują złożone stany naprężenia, będące kombinacją naprężeń normalnych i stycznych. Przyjęcie hipotezy wytrzymałościowej umożliwia znalezienie matematycznej funkcji pozwalającej na zastąpienie złożonego, przestrzennego stanu naprężenia przez stan jednoosiowego rozciągania, dokładnie opisany przez statyczną próbę rozciągania. Dzięki temu w obliczeniach wytrzymałościowych można wykorzystać warunek wytrzymałościowy

1. Rozciąganie

Wytrzymałość na rozciąganie to naprężenie odpowiadające największej sile rozciągającej uzyskanej w czasie statycznej próby rozciągania (tj wykres z zagadnienia 7), odniesionej do pierwotnego przekroju poprzecznego tej próbki^[1]:

,

gdzie:

- największa siła rozciągająca niepowodująca przewężenia próbki

- pole przekroju poprzecznego roboczej części nieobciążonej próbki

Na wykresie z próby rozciągania reprezentowane jest przez maksimum krzywej.

1. Warunki projektowania- skręcanie

$\tau_{\max} = \frac{M_{x}R_{\max}}{J_{o}} \leq \tau_{\text{kr}}$; $\ \theta_{\max} = \frac{M_{x}}{GJ_{o}} \leq \theta_{\text{kr}}$

1. Stateczność pręta (krzywa Eulera, smukłość, projektowanie prętów ściskanych, algorytm obliczeń, naprężenia)

Wyboczeniem nazywamy zjawisko wyginania się pręta ściskanego siłami osiowymi.

      Siłą krytyczną nazywamy graniczną wartość siły, po przekroczeniu której następuje utrata stateczności pręta (nagłej zmiany kształtu konstrukcji). Wartość tej siły zależy od długości pręta, od wielkości i kształtu jego przekroju, od rodzaju materiału i sposobu zamocowania końców pręta (siła Eulera).

                 
gdzie l_r - długość zredukowana pręta, E - moduł sprężystości wzdłużnej materiału, I_z - najmniejszy główny środkowy moment bezwładności przekroju pręta.

       

      Promień bezwładności przekroju pręta nazywamy wielkość

                 

gdzie S - pole przekroju.

      Smukłość pręta obliczamy ze wzoru

                 

      Wartość smukłości granicznej oblicza się ze wzoru

                 

gdzie R_H - granica proporcjonalności materiału pręta.

      W przypadku wyboczenia sprężystego, tj. dla wartości smukłości
λ > λ_gr naprężenia krytyczne wyznaczamy ze wzoru

                 

zakładając, że σ_kr ≤ R_H

Algorytm obliczeń:

-War wytrzymałości $\frac{P}{A} \leq R_{0} \rightarrow A$

-przyjąć przekrój A^′ ≅ 3xA

-oblicz smukłość pręta

-z tablic przyjąć wartośc współczynnika φ wyboczenia dla określonego stosunku λ/λ_p

-sprawdzić warunek projektowania $\sigma \leq \sigma_{\text{kr}} \rightarrow \frac{P}{\text{Aφ}\left( \lambda \right)} \leq R_{0}$

1. Przemieszczenie punktu (zadania napisać krok po kroku)

2. Energia sprężysta

- przy ścinaniu $U = \int_{}^{}{\frac{M_{s}^{2}\rho^{2}}{2GJ^{2}}\text{dV}}$

-przy rozciąganiu $U = \int_{}^{}{\frac{P^{2}}{2AE}\text{dx}}$

-przy zginaniu $U = \int_{}^{}{\frac{M^{2}}{2EI}\text{dx}}$

1. Belka statycznie niewyznaczalna- reguła superpozycji

Zasada superpozycji

W wytrzymałości materiałów przyjmujemy zasadę superpozycji, która mówi, że efekt równoczesnego działania kilku obciążeń równy jest sumie efektów działania każdego z tych obciążeń oddzielnie.

Przykłady:

- Obciążenie trapezowe możemy rozłożyć na obciążenie trójkątne i prostokątne:

- Obciążenie liniowo zmienne o różnych znakach na obu końcach, możemy rozłożyć na dwa obciążenia trójkątne jak pokazano na rysunku poniżej:

- Poniżej przedstawiono belkę obciążoną obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym i dwoma momentami skupionymi na końcach. Zgodnie z zasadą superpozycji wykres momentów zginających można rozłożyć na trzy wykresy, będące efektem działania poszczególnych obciążeń oddzielnie.

1. Twierdzenie Castigliano

2. Energia odkształceń i pracy

3. Metoda Maxwella Mohra

4. Twierdzenie Wereszczgina

5. Metoda sił

6. Zginanie sprężysto-plastyczne

7. Graniczna nośność sprężysta(inaczej graniczny moment sprężysty)

8. Graniczna nośność plastyczna (inaczej graniczny moment plastyczny)

9. Zasada minimum energii Menabre-Castilianego

10. Graniczna nośność belek zginanych i nośność graniczna przekroju

11. Współczynnik kształtu

12. Płyty kołowe symetryczne

13. Teoria płyt ciękich

14. Momenty bezwładności dla poszczególnych figur