teoria:
definicje
miara , miara zupełna, miara zewnętrzna, funkcja mierzalna.
twierdzenia:
Carathéodory'ego ,
charakteryzacja zbiorów mierzalnych,
związek całki Riemanna z całką Lebesgue`a
o mierzalności kresów
miara podwykresu
zadania:
podać moc zbiorów generowawnych przez daną rodzinę np {N}, {{1},{2}}
sprawdzić które funkcje to miara (napisać Tak albo Nie)
było koło i należało policzyć miarę cięć {(x-1)^2+(y-2)^2<=4} ciecia t x=0, x=1,x=2,x=4
jakieś pytania o zbiory Adelta (definicja była na tablicy), i napisać czy dane funckje są mierzalne, była miara licząca i napisać i policzyć całki
bylo zadanie typu: A jest zbiorem mierzalnym i lambda(A)=1
1 Istnieje zbiór G- otwarty taki że A zawiera się w G i lambda(G)<2
2 Istnieje zbiór G- otwarty taki że G zawiera się w A i lambda(G)>0
3 Istnieje zbiór F-domknięty taki że A zawiera się w F i lambda(F)<2
4 Istnieje zbiór F- domknięty taki że F zawiera się w A i lambda(F)>0
jedno zadanie tyczyło się praktycznie twierdzenia Lebesque'a- Leviego o zbierzności monotonicznej i Lebesque'a o zbierzności ograniczonej
Tak jeszcze wtrącę odnośnie zadań z egzaminu. to zadanie z tym Asigma brzmiało jakoś tak:
Mamy rodzinę A zawartą w P(X) i teraz należy określić czy:
1 A zawiera się w Asigma
2 Asigma zawiera się w A
3 Asigma zawiera się w sigma(A)- chodzi o sigmaciało generowane przez A
4 Jeżeli A- sigma ciało to A=Adelta
A jeżeli chodzi o to zadanie gdzie trzeba bylo określić moc sigma-ciała A gdzie
A={N} to skoro traktujemy {N} jako całość i nie urozłączniamy jego elementów to moc jest równa 4 dlatego że mamy :{pusty, {N}, R\{N}, R}
Tak mi się wydaje;pbylo jeszcze obliczyć całki
całka po zbiorze (0,2) z (x-1) d ni(x)
a druga była z (x-1)^2
całka po zbiorze (2,6) iloczyn N z x d ni(x)
a ostatnia była po zbiorze w stylu (2, niesk) iloczyn N