1. Przedstawienie problemu - opis sytuacji.
Fabryka w Kamieniu Pomorskim produkuje wiadra. W jej asortymencie znajdują się dwa ich typy: pierwszy stanowią wiadra z blachy ocynkowanej, drugi - to lekkie wiadra z tworzyw sztucznych.
Wiadra wytwarza się taśmowo, a ich produkcja jest całkowicie zautomatyzowana. Produkty te, mimo iż ich przeznaczenie jest podobne, wymagają zastosowania odmiennych procesów produkcyjnych. Każde z wiader zawiera zarówno elementy blaszane, jak i plastikowe. Wiadro z blachy ocynkowanej wytworzone jest w z blachy, ale posiada plastikową nakładkę na uchwyt zapobiegającą przymarzaniu wiadra do ręki w czasie noszenia wody zimą. Wiadro z tworzywa sztucznego zrobione jest prawie w całości z plastiku, ale posiada metalowy uchwyt z plastikową nakładką. Uchwyt w obu wiadrach jest taki sam i zrobiony jest z pręta stalowego.
W procesie produkcyjnym przedsiębiorstwo wykorzystuje dwa typy maszyn. Pierwsza z nich to mało wydajna, stara maszyna do tłoczenia blachy ocynkowanej oraz wyginania prętów stalowych, druga – to nowoczesna wtryskarka służąca do odlewania części plastikowych potrzebnych w procesie produkcji.
Do wytworzenia wiadra blaszanego wykorzystuje się maszynę do gięcia blachy ocynkowanej, która do wytłoczenia jednego wiadra potrzebuje ok. dwóch minut. Po pół minuty zajmuje natomiast wygięcie pręta metalowego oraz odlanie przy pomocy wtryskarki nakładki na uchwyt. Czyli do wytworzenia wiadra metalowego z blachy ocynkowanej potrzeba łącznie dwóch i pół minuty pracy maszyny do tłoczenia blachy oraz pół minuty pracy wtryskarki.
Wiadra plastikowe wytwarzają również dwie maszyny. Na uformowanie jednego wiadra potrzeba jedną minutę czasu pracy wtryskarki, pół minuty zajmuje wtryskarce wytworzenie nakładki na uchwyt i pół minuty wygięcie pręta stalowego. Żeby wytworzyć wiadro plastikowe maszyna do tłoczenia blachy musi pracować pół, a wtryskarka półtorej minuty.
Jak już wspomniano maszyna służąca do tłoczenia blachy ocynkowanej jest maszyną starą. Oprócz małej wydajności powoduje to także częste przerwy w pracy tej maszyny i dlatego czas jej pracy w ciągu dnia wynosi tylko 6 godzin (360 minut). Wtryskarka natomiast jest maszyną nową, nie zacina się podczas pracy, dlatego można przyjąć, że w ciągu dnia pracuje nieprzerwanie przez 8 godzin (480 minut).
Sprzedając wiadra na rynku przedsiębiorstwo z Kamienia Pomorskiego otrzymuje 20 PLN za wiadro z blachy ocynkowanej oraz 15 PLN za wiadro z plastiku. Zysk jednostkowy ze sprzedaży pierwszego produktu wynosi 2 PLN, a ze sprzedaży drugiego 7 PLN.
Celem fabryki jest stopniowe zwiększanie udziału w rynku, jednak szefowie zdają sobie sprawę z ograniczeń spowodowanych przestarzałymi maszynami do tłoczenia blachy wykorzystywanymi przez ich przedsiębiorstwo. Chcą więc na razie przede wszystkim maksymalizować zysk, a dopiero na drugim miejscu – produkcję. Mają nadzieję, że taka polityka pozwoli im w krótkim czasie wymienić przestarzałe maszyny, co pozwoli obniżyć koszty produkcji i ceny oraz zwiększyć sprzedaż i w ten sposób spowoduje wzrost udziału w rynku i maksymalizację utargu.
Przyczyny technologiczno – rynkowe zmuszają do postawienia dodatkowych warunków: produkcja wiader blaszanych nie może być niższa niż 70 dziennie (ze względu na podpisane wcześniej kontrakty), natomiast produkcja wiader plastikowych nie może być wyższa niż 295 (problemy ze zbytem).
2. Wielokryterialny opis problemu.
PRODUKTY: |
MASZYNY (czas pracy) |
UTARG: |
ZYSK: |
||
tłoczarka: |
wtryskarka: |
||||
wiadro z blachy ocynkowanej |
2,5 minuty |
0,5 minuty |
20 PLN |
2 PLN |
|
wiadro plastikowe |
0,5 minuty |
1,5 minuta |
15 PLN |
7 PLN |
|
maksymalny czas pracy maszyn |
360 minut |
480 minut |
|
|
Zmienne decyzyjne:
x1 – produkcja wiader z blachy ocynkowanej (w sztukach)
x2 – produkcja wiader plastikowych (w sztukach)
Funkcje celu:
F1(x)=20x1+15x2 maksymalizacja utargu
F2(x)=2x1+7x2 maksymalizacja zysku
Warunki ograniczające:
x1, x2>=0 x1>=70 x2<=295 2,5x1+0,5x2<=360 0,5x1+1,5x2<=480 |
x1<70, ) x2<0, 295> 5x1+x2<=720 x1+3x2<=960 |
x1<70, ) x2<0, 295> x2<=720-5x1 x2<=320-1/3x1 |
Ilustracja graficzna zadania:
|
Decyzje sprawne to wszystkie rozwiązania znajdujące się na odcinkach CD i DE, czyli zbiór decyzji sprawnych to: Ds=<C;D> <D;E>.
punkty kluczowe |
F1(x) |
F2(x) |
|
A |
(70;200) |
4400 |
1540 |
B |
(70;0) |
1400 |
140 |
C |
(144;0) |
2880 |
288 |
D |
(86;291) |
6085 |
2209 |
E |
(75;295) |
5925 |
2215 |
Wynik wskazuje, że mamy do czynienia z problemem wielokryterialnym. Jeżeli mielibyśmy kierować się wyłącznie kryterium maksymalizacji utargu wybralibyśmy produkcję 86 wiader z blachy ocynkowanej i 291 wiader plastikowych. Gdyby decydowała maksymalizacja zysku, wówczas optymalna byłaby decyzja o produkcji 75 wiader blaszanych i 295 wiader plastikowych. Zbiory rozwiązań nie mają części wspólnej, co powoduje, że żadna z decyzji nie jest optymalna pod względem obu kryteriów. Innymi słowy:
D1opt={D}
D2opt={E}
D1opt D2opt = Ø
Jak już wspomniałem dyrekcja fabryki w Kamieniu Pomorskim na pierwszym miejscu stawia maksymalizację zysku, ale nie chcąc utracić udziału w rynku, chciałaby także, aby osiągany utarg stanowił minimum 95% maksymalnego utargu. W tym celu gotowa jest również obniżyć planowany zysk do 95% zysku maksymalnego. Jednocześnie dyrekcja godzi się z faktem, że wartości funkcji celu mogą okazać się niesprawne w sensie Pareto.
I tak dyrekcja godzi się na następujący poziom zysku i utargu:
F1max(x) = 6085 PLN
F1*(x) = 95% z 6085 = 5781 PLN
oraz
F2max(x) = 2215 PLN
F2*(x) = 95% z 2215 = 2104 PLN.
W takim przypadku funkcje celu mają następującą postać:
F1(x): 20x1+15x2=5781
F2(x): 2x1+7x2=2104
i dalej:
F1(x): 20x1+15x2-u1++u1-=5781
F2(x): 2x1+7x2-u2++u2-=2104
Kryterium optymalizacyjne sprowadza się zatem do minimalizacji niedoboru utargu w stosunku do postulowanego poziomu 5781 PLN oraz zysku do poziomu 2104 PLN.
Zadanie przewidziane do rozwiązania w Solverze Excela będzie więc miało następującą postać:
(d, u) = u1-+u2++u2- min
a warunki, które muszą zostać spełnione:
1. x1<70, )
2. x2<0, 295>
3. 5x1+x2<=720
4. x1+3x2<=960
5. 20x1+15x2+u1--u1+=5781
6. 2x1+7x2-u2++u2-=2104
7. u1-, u1+>=0
8. u2-, u2+>=0
3. Rozwiązanie zadania w module Solver.
Funkcja celu |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
||||||
Zmienne |
x1 |
x2 |
u1+ |
u1- |
u2+ |
u2- |
|
|
||||||
Wartości |
80,97273 |
277,4364 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Warunki ograniczające: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Współczynniki |
|
|
|
|
LHS |
RHS |
|||||||
3) |
5 |
1 |
|
|
|
|
682,3 |
720 |
||||||
4) |
1 |
3 |
|
|
|
|
913,2818 |
960 |
||||||
1) |
1 |
|
|
|
|
|
80,97273 |
70 |
||||||
2) |
|
1 |
|
|
|
|
277,4364 |
295 |
||||||
5) |
20 |
15 |
-1 |
1 |
|
|
5781 |
5781 |
||||||
6) |
2 |
7 |
|
|
-1 |
1 |
2104 |
2104 |
Komórka celu (Min) |
|
|
|
|
||
|
Komórka |
Nazwa |
Wartość początkowa |
Wartość końcowa |
|
|
|
$H$5 |
Wartości |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Komórki decyzyjne |
|
|
|
|
||
|
Komórka |
Nazwa |
Wartość początkowa |
Wartość końcowa |
|
|
|
$B$5 |
Wartości x1 |
0 |
80,97272727 |
|
|
|
$C$5 |
Wartości x2 |
0 |
277,4363636 |
|
|
|
$D$5 |
Wartości u1+ |
0 |
0 |
|
|
|
$E$5 |
Wartości u1- |
0 |
0 |
|
|
|
$F$5 |
Wartości u2+ |
0 |
0 |
|
|
|
$G$5 |
Wartości u2- |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Warunki ograniczające |
|
|
|
|
||
|
Komórka |
Nazwa |
Wartość komórki |
formuła |
Status |
Luz |
|
$H$9 |
3) LHS |
682,3 |
$H$9<=$I$9 |
Nie wiążące |
37,7 |
|
$H$10 |
4) LHS |
913,2818182 |
$H$10<=$I$10 |
Nie wiążące |
46,71818182 |
|
$H$11 |
1) LHS |
80,97272727 |
$H$11>=$I$11 |
Nie wiążące |
10,97272727 |
|
$H$12 |
2) LHS |
277,4363636 |
$H$12<=$I$12 |
Nie wiążące |
17,56363636 |
|
$H$13 |
5) LHS |
5781 |
$H$13=$I$13 |
Wiążące |
0 |
|
$H$14 |
6) LHS |
2104 |
$H$14=$I$14 |
Wiążące |
0 |
Decyzja optymalna przy postawionych przez nas warunkach przewiduje produkcję 81 wiader z blachy ocynkowanej oraz 277 wiader plastikowych.
Otrzymana decyzja optymalna nie jest sprawna w sensie Pareto, gdyż wszystkie warunki sztywne tego problemu są spełnione w formie ostrych nierówności. Oznacza to, że przedsiębiorstwo mogłoby produkować więcej wiader niż wynika to z podjętej decyzji.
Przyjmując jednak, że podjęta decyzja optymalna zadowoliłaby dyrekcję i przedsiębiorstwo z Kamienia Pomorskiego zdecydowałoby się na podjęcie produkcji w takim wymiarze, osiągnęłoby następujący zysk i utarg:
1. utarg = 20 * 81 + 15 * 277 = 5775 PLN
2. zysk = 2 * 81 + 7 * 277 = 2101 PLN
czyli znajdowałyby się on prawie na poziomie 95% maksymalnego zysku i maksymalnego utargu.