OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA





OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA





1. Przedstawienie problemu - opis sytuacji.


Fabryka w Kamieniu Pomorskim produkuje wiadra. W jej asortymencie znajdują się dwa ich typy: pierwszy stanowią wiadra z blachy ocynkowanej, drugi - to lekkie wiadra z tworzyw sztucznych.

Wiadra wytwarza się taśmowo, a ich produkcja jest całkowicie zautomatyzowana. Produkty te, mimo iż ich przeznaczenie jest podobne, wymagają zastosowania odmiennych procesów produkcyjnych. Każde z wiader zawiera zarówno elementy blaszane, jak i plastikowe. Wiadro z blachy ocynkowanej wytworzone jest w z blachy, ale posiada plastikową nakładkę na uchwyt zapobiegającą przymarzaniu wiadra do ręki w czasie noszenia wody zimą. Wiadro z tworzywa sztucznego zrobione jest prawie w całości z plastiku, ale posiada metalowy uchwyt z plastikową nakładką. Uchwyt w obu wiadrach jest taki sam i zrobiony jest z pręta stalowego.

W procesie produkcyjnym przedsiębiorstwo wykorzystuje dwa typy maszyn. Pierwsza z nich to mało wydajna, stara maszyna do tłoczenia blachy ocynkowanej oraz wyginania prętów stalowych, druga – to nowoczesna wtryskarka służąca do odlewania części plastikowych potrzebnych w procesie produkcji.

Do wytworzenia wiadra blaszanego wykorzystuje się maszynę do gięcia blachy ocynkowanej, która do wytłoczenia jednego wiadra potrzebuje ok. dwóch minut. Po pół minuty zajmuje natomiast wygięcie pręta metalowego oraz odlanie przy pomocy wtryskarki nakładki na uchwyt. Czyli do wytworzenia wiadra metalowego z blachy ocynkowanej potrzeba łącznie dwóch i pół minuty pracy maszyny do tłoczenia blachy oraz pół minuty pracy wtryskarki.


Wiadra plastikowe wytwarzają również dwie maszyny. Na uformowanie jednego wiadra potrzeba jedną minutę czasu pracy wtryskarki, pół minuty zajmuje wtryskarce wytworzenie nakładki na uchwyt i pół minuty wygięcie pręta stalowego. Żeby wytworzyć wiadro plastikowe maszyna do tłoczenia blachy musi pracować pół, a wtryskarka półtorej minuty.

Jak już wspomniano maszyna służąca do tłoczenia blachy ocynkowanej jest maszyną starą. Oprócz małej wydajności powoduje to także częste przerwy w pracy tej maszyny i dlatego czas jej pracy w ciągu dnia wynosi tylko 6 godzin (360 minut). Wtryskarka natomiast jest maszyną nową, nie zacina się podczas pracy, dlatego można przyjąć, że w ciągu dnia pracuje nieprzerwanie przez 8 godzin (480 minut).

Sprzedając wiadra na rynku przedsiębiorstwo z Kamienia Pomorskiego otrzymuje 20 PLN za wiadro z blachy ocynkowanej oraz 15 PLN za wiadro z plastiku. Zysk jednostkowy ze sprzedaży pierwszego produktu wynosi 2 PLN, a ze sprzedaży drugiego 7 PLN.

Celem fabryki jest stopniowe zwiększanie udziału w rynku, jednak szefowie zdają sobie sprawę z ograniczeń spowodowanych przestarzałymi maszynami do tłoczenia blachy wykorzystywanymi przez ich przedsiębiorstwo. Chcą więc na razie przede wszystkim maksymalizować zysk, a dopiero na drugim miejscu – produkcję. Mają nadzieję, że taka polityka pozwoli im w krótkim czasie wymienić przestarzałe maszyny, co pozwoli obniżyć koszty produkcji i ceny oraz zwiększyć sprzedaż i w ten sposób spowoduje wzrost udziału w rynku i maksymalizację utargu.

Przyczyny technologiczno – rynkowe zmuszają do postawienia dodatkowych warunków: produkcja wiader blaszanych nie może być niższa niż 70 dziennie (ze względu na podpisane wcześniej kontrakty), natomiast produkcja wiader plastikowych nie może być wyższa niż 295 (problemy ze zbytem).


2. Wielokryterialny opis problemu.


PRODUKTY:

MASZYNY (czas pracy)

UTARG:

ZYSK:

tłoczarka:

wtryskarka:

wiadro z blachy ocynkowanej

2,5 minuty

0,5 minuty

20 PLN

2 PLN

wiadro plastikowe

0,5 minuty

1,5 minuta

15 PLN

7 PLN

maksymalny czas pracy maszyn

360 minut

480 minut




Zmienne decyzyjne:

x1 – produkcja wiader z blachy ocynkowanej (w sztukach)

x2 – produkcja wiader plastikowych (w sztukach)


Funkcje celu:

F1(x)=20x1+15x2  maksymalizacja utargu

F2(x)=2x1+7x2  maksymalizacja zysku


Warunki ograniczające:

x1, x2>=0

x1>=70

x2<=295

2,5x1+0,5x2<=360

0,5x1+1,5x2<=480



x1<70, )

x2<0, 295>

5x1+x2<=720

x1+3x2<=960



x1<70, )

x2<0, 295>

x2<=720-5x1

x2<=320-1/3x1



Ilustracja graficzna zadania:



Decyzje sprawne to wszystkie rozwiązania znajdujące się na odcinkach CD i DE, czyli zbiór decyzji sprawnych to: Ds=<C;D>  <D;E>.



punkty kluczowe

F1(x)

F2(x)

A

(70;200)

4400

1540

B

(70;0)

1400

140

C

(144;0)

2880

288

D

(86;291)

6085

2209

E

(75;295)

5925

2215



Wynik wskazuje, że mamy do czynienia z problemem wielokryterialnym. Jeżeli mielibyśmy kierować się wyłącznie kryterium maksymalizacji utargu wybralibyśmy produkcję 86 wiader z blachy ocynkowanej i 291 wiader plastikowych. Gdyby decydowała maksymalizacja zysku, wówczas optymalna byłaby decyzja o produkcji 75 wiader blaszanych i 295 wiader plastikowych. Zbiory rozwiązań nie mają części wspólnej, co powoduje, że żadna z decyzji nie jest optymalna pod względem obu kryteriów. Innymi słowy:

D1opt={D}

D2opt={E}

D1opt  D2opt = Ø


Jak już wspomniałem dyrekcja fabryki w Kamieniu Pomorskim na pierwszym miejscu stawia maksymalizację zysku, ale nie chcąc utracić udziału w rynku, chciałaby także, aby osiągany utarg stanowił minimum 95% maksymalnego utargu. W tym celu gotowa jest również obniżyć planowany zysk do 95% zysku maksymalnego. Jednocześnie dyrekcja godzi się z faktem, że wartości funkcji celu mogą okazać się niesprawne w sensie Pareto.

I tak dyrekcja godzi się na następujący poziom zysku i utargu:

F1max(x) = 6085 PLN

F1*(x) = 95% z 6085 = 5781 PLN

oraz

F2max(x) = 2215 PLN

F2*(x) = 95% z 2215 = 2104 PLN.


W takim przypadku funkcje celu mają następującą postać:

F1(x): 20x1+15x2=5781

F2(x): 2x1+7x2=2104

i dalej:

F1(x): 20x1+15x2-u1++u1-=5781

F2(x): 2x1+7x2-u2++u2-=2104


Kryterium optymalizacyjne sprowadza się zatem do minimalizacji niedoboru utargu w stosunku do postulowanego poziomu 5781 PLN oraz zysku do poziomu 2104 PLN.

Zadanie przewidziane do rozwiązania w Solverze Excela będzie więc miało następującą postać:

(d, u) = u1-+u2++u2-  min

a warunki, które muszą zostać spełnione:

1. x1<70, )

2. x2<0, 295>

3. 5x1+x2<=720

4. x1+3x2<=960

5. 20x1+15x2+u1--u1+=5781

6. 2x1+7x2-u2++u2-=2104

7. u1-, u1+>=0

8. u2-, u2+>=0


3. Rozwiązanie zadania w module Solver.

Funkcja celu

0

0

0

1

1

1



Zmienne

x1

x2

u1+

u1-

u2+

u2-



Wartości

80,97273

277,4364

0

0

0

0

0











Warunki ograniczające:









Współczynniki





LHS

RHS

3)

5

1





682,3

720

4)

1

3





913,2818

960

1)

1






80,97273

70

2)


1





277,4364

295

5)

20

15

-1

1



5781

5781

6)

2

7



-1

1

2104

2104



Komórka celu (Min)






Komórka

Nazwa

Wartość początkowa

Wartość końcowa




$H$5

Wartości

0

0

















Komórki decyzyjne






Komórka

Nazwa

Wartość początkowa

Wartość końcowa




$B$5

Wartości x1

0

80,97272727




$C$5

Wartości x2

0

277,4363636




$D$5

Wartości u1+

0

0




$E$5

Wartości u1-

0

0




$F$5

Wartości u2+

0

0




$G$5

Wartości u2-

0

0

















Warunki ograniczające






Komórka

Nazwa

Wartość komórki

formuła

Status

Luz


$H$9

3) LHS

682,3

$H$9<=$I$9

Nie wiążące

37,7


$H$10

4) LHS

913,2818182

$H$10<=$I$10

Nie wiążące

46,71818182


$H$11

1) LHS

80,97272727

$H$11>=$I$11

Nie wiążące

10,97272727


$H$12

2) LHS

277,4363636

$H$12<=$I$12

Nie wiążące

17,56363636


$H$13

5) LHS

5781

$H$13=$I$13

Wiążące

0


$H$14

6) LHS

2104

$H$14=$I$14

Wiążące

0


Decyzja optymalna przy postawionych przez nas warunkach przewiduje produkcję 81 wiader z blachy ocynkowanej oraz 277 wiader plastikowych.

Otrzymana decyzja optymalna nie jest sprawna w sensie Pareto, gdyż wszystkie warunki sztywne tego problemu są spełnione w formie ostrych nierówności. Oznacza to, że przedsiębiorstwo mogłoby produkować więcej wiader niż wynika to z podjętej decyzji.



Przyjmując jednak, że podjęta decyzja optymalna zadowoliłaby dyrekcję i przedsiębiorstwo z Kamienia Pomorskiego zdecydowałoby się na podjęcie produkcji w takim wymiarze, osiągnęłoby następujący zysk i utarg:

1. utarg = 20 * 81 + 15 * 277 = 5775 PLN

2. zysk = 2 * 81 + 7 * 277 = 2101 PLN

czyli znajdowałyby się on prawie na poziomie 95% maksymalnego zysku i maksymalnego utargu.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Modele preferencji optymalizacja wielokryterialna
Optymalizacja wielokryterialna
Optymalizacja LP
Zasady ergonomii w optymalizacji czynności roboczych
optymalizacja fak
WYKŁAD NR 3 KB2 PŁYTY WIELOKIERUNKOWO ZBROJONE
Etyka zawodu położnej w aspekcie wielokulturowym
Podstawy Optymalizacji, simplex
model optymalizacyjny
BO WYK2 Program liniowe optymalizacja
Logistyka i optymalizacja kosztow w handlu internetowym
PRACA PRZEJŚCIOWA OPTYMALIZACJA PROCESÓW ENERGETYCZNYCH POPRZEZ ZASOTOWANIE NOWOCZESNYCH ALGORYTMÓW
ITIL Podstawy W2 Budowa i optymalizacja procesów i serwisów ITIL
Jadczak R Badania operacyjne, Wykład 4 Optymalizacja w logistyce
A8 Omówi narz dzia i metody rozwi zywania zadania sterowania optymalnego
hydrologia1-wielokaty, hydrologia