1. CO TO JEST MODEL
EKONOM ETRYCZNY?

Model ekonometryczny, jest uproszczoną wizją rzeczywistości. Przedstawia on zależności zachodzące miedzy zjawiskiem objaśnianym i najważniejszymi zjawiskami objaśniającymi za pomocą równania regresji. Celem budowy takiego modelu jest zebranie danych, ich selekcja pod katem istotności dla badanego zjawiska . Model możemy zapisać w następującej postaci

Y=([x, xj , Xn )+c - Gdzie f oznacza postać

analityczną funkcji . y oznacza zmienną objaśnianą, x

zmienne objaśniające, c składnik losowy.

Równanie to ma postać matematyczną, w której

pojedyncza zmienna, zwana zmienną objaśnianą

przedstawiona jest jako funkcja deterministyczna

zmiennych, zwanych zmiennymi objaśniającymi.

Równanie takie dopełnione jest tak zwanym

zaburzeniem losowym ( błędem losowym).

Klasyfikacja modeli ekonometrycznych:

a).ze wzglądu na liczbę, równań:

-jednorównaniowe, wielorównaniowe

b).ze względu na postać analityczną zależności modelu:

-.liniowe, nieliniowe

c).ze względu na role czynnika czasu w równaniach

modelu

- statyczne, dynamiczne

2. PROSZĘ PRZEDSTAWIĆ METODOLOGIĘ
EKONOMETRII.

Metodologia ekonometrii - sposób postępowania w

trakcie modelowania ekonometrycznego.

ELEMENTY:

Metodologia ekonometrii to sposób postępowania przy

formułowaniu modelu ekonometrycznego.

Następujące kroki:

1. Ustalenie teorii ekonomicznej lub zbioru hipotez,
które model ekonomiczny ma potwierdzić lub odrzucić.
Stawiamy hipotezy o tym, czy w konkretnych
warunkach ekonomicznych nadal funkcjonuje teoria w
swojej niezmienionej postaci, czy może dotąd
rozpoznane czynniki, w świetle postawionych hipotez.
zaczynają wywierać silniejszy lub słabszy wpływ niż
poprzednio, a może ujawniają swoje działanie nowe,
nieznane dotąd w teorii mechanizmy, które modyfikują
istniejącą dotąd wizję rzeczywistości.

2. Specyfikacja matematyczna modelu
ekonometrycznego -sformułowanie matematyczne,
które powiąże zmienne objaśniane ze zmiennymi
objaśniającymi

-wpływ liniowy (np. zmiana o jednostkę),

- wipek logarytmiczny ( na każdy % zmiany zmiennej
objaśniającej zmienna objaśniana reaguje o
określony%)

3.Specyfikacja stochastyczna (losowa) określa jak w tej realizacji matematycznej należy uwzględnić zaburzenie losowe- tzn. czy jest dodatnie (addytywne) czy mnożnikowe.

4. Określenie zbioru danych statystycznych. Każdy model oparty jest na jakichś danych statystycznych które można sklasyfikować na 3 grupy:

- dane przekrojowe - różne jednostki są obserwowane
w tym samym przedziale czasu, momencie (np. w
danym miesiącu)

- szeregi czasowe - stany jakiegoś zjawiska w
kolejnych jednostkach czasu (w kolejnych latach,
kwartałach, miesiącach),

rozróżnienie tych dwóch kategorii jest ważne do budowania modelu ekonometrycznego

rt. „ f,^$tymaCja (obcowanie) modelu

ekonometrycznego. Ustalamy jaki jest wpływ każdej ze zm,enn_ych na zmienną objaśnianą, jaki jest łączny

ob£_ian_aT^nnyCh *>*»»*** na zmienną objaśnianą, czy jest istotny, czy nie

n5E°2£; '?*/-*^ustollć- ^cz>^{modei nie}

TSr_r^{yC W3},^d: *WWcych poprawek, to : ' ^Pr0CCdur P^lWych odpowiedzieć na pytania

•S 'SSĘ?* ^MŹ °^dra,CiĆ P°^S,awion* ^hiP°^,ez«

: wraz z upływem czasu, e we wszystkich grupach społ.-

-.czy są jednakow,

s^,c^P;uTeSą°^S_nT_a^C°^Wane * ^rÓWnanlU "W» « qr ulegają zmianie wraz z unłvw..m c™»

ekonomicznych,

-jakie są szczegółowe cech oszacowanego przez nas

modelu

7.Predykcja albo prognozowanie i symulacja - móc

odpowiedzieć na pytanie: jak interesujące nas zjawisko

zachowa się w przyszłości, co można przewidywać na

przyszłość np. jaki będzie PKB w roku następnym jak

ustalimy jego wartość oczekiwaną z jakim błędem- czy

liczba ta jest wiarygodna czy nie (model predykcji

pozwala wnioskować w przyszłości)

3. PROSZĘ WYMIENIĆ I PRZEDYSKUTOWAĆ ZAŁOŻENIA KLASYCZNEGO MODELU REGRESJI LINIOWEJ.

Klasyczny model regresji liniowej opiera się na sześciu

założeniach:

1.Za łożenie o generowaniu obserwacji na zmiennej

objaśnianej. Mówi ona o tym , że i-ta obserwacja na

zmiennej y jest sumą iloczynów parametrów p

przemnożonych przez i-te obserwacje z dodatkiem

zaburzenia losowego czyli yi=pi

y=Xb+e (zapis macierzowy) dla i-tej obserwacji, gdzie

i=U,...4i:

yi=b,+b.xii+b)X3i+...+bkXkr+ei x_u b_k. każda

zmienna objaśniająca daje zmiennej objaśnianej efekt,

który jest wartością tej zmiennej, np. zmienną

objaśnianą są płace, objaśniającą staż pracy (x_h liczba

lat stażu) b\ ustala jaki jest wpływ stażu na dochód + e .

Parametry są w pierwszej potędze i to jest dowód na to,

że jest to model liniowy.

2. X jest stałe w powtarzalnych próbach, jest to założenie sztuczne, ale wygodne dla obliczeń.

3. Rząd macierzy X jest równy liczbie szacowanych parametrów K, a liczba obserwacji n jest większa od liczby szacowanych parametrów K a więc r(X)=K<n. W równaniu regresji są tylko takie zmienne które wnoszą do równania regresji własną informację a nie powtarzają informacji wnoszonych przez inne już istniejące zmienne.

4. Wektor zaburzeń losowych ma warunkową wartość oczekiwaną przy danej macierzy X równą wektorowi zerowemu E(e)=0. Oznacza to, że zmienne losowe się znoszą i wartością oczekiwaną jest 0.

5. zaburzenia losowe są sferyczne

var(e)=E | E-E(e) || EE(e) ]'-E(ee' )| = s^!I,gdzie
I oznacza macierz jednostkową. Warunkowa macierz
wariancji - kowariancji jest równa bezwarunkowej
macierzy wariancji kowariancji.
Wariancje kolejnych zaburzeń (elementy stanowiące
diagonalną macierzy) są takie same dla wszystkich
obserwacji i równe s^!, gdzie s^J jest dodatnią stałą ,
elementy pozadiagonalne, które są kowariancjami
zaburzeń dla różnych obserwacji są równe 0. Równość
wariancji zaburzeń ei nazywany homoscedastycznością
(jednorodność). Jeśli wariancje ei zmieniają się wraz z
numerem obserwacji zachodzi heteroscedastyczność.
Przypadek zerowych kowariancji dla różnych zaburzeń
losowych e i i e j nazywamy brakiem autokorelacji
zaburzeń E (e i e j ) = 0 i ;£ j , jeśli dla różnych
obserwacji ich kowariancja jest różna od zera to taki
przypadek nazywamy autokorelacją E (e, e _f) # 0 i £ j.
6Zaburzenia losowe mają n-wymiarowy rozkład
normalny e—N(o,s^II) rozkład normalny

(dwuparametryczny) zależny od średniej i wartości, w postaci wieloparametrowej zależny od wektora średnich (nie są zera) i od macierzy wariancji kowariancji.

4.JAKĄ ROLĘ SPEŁNIA SKŁADNIK LOSOWY W KLASYCZNYM MODELU REGRESJI LINIOWEJ?

Składnik losowy reprezentuje losowe zakłócenia funkcyjnego powiązania między wartościami zmiennej zależnej a wartościami zmiennej niezależnej. Składnik ten wyraża wpływ wszystkich czynników, które obok X mogą wpływać na zmienną objaśnianą Y. Jest on związany z brakiem pełnego dopasowania analitycznej postaci funkcji regresji do rzeczywistego powiązania między analizowanymi zmiennymi. Składnik losowy pozwala obliczyć dokładność szacunku parametrów liniowej funkcji regresji.

Y= bo+blxI+e ,- e Zaburzenie losowe (błąd losowy) jego celem jest przedstawienie sumarycznego

oddziaływania na zmienną objaśnianą wszystkich innych czynników, pominiętych w równaniu, ze względu na ich pomijalne znaczenie dla opisu badanego związku. Błąd ten może wynikać z nieadekwatności teorii ekonomii, lub niepoprawności postawionych hipotez, które ma weryfikować model. Zaburzenie losowe zawiera także błędy pomiaru zmiennych wynikające z niedokładności mierzenia wartości, jakie przyjmują zmienne, jak również z uchybień zawinionych zarówno przez ankieterów i osoby gromadzące dane jak i udzielające odpowiedzi na pytania ankieterów. Wreszcie w zaburzeniu losowym zawarte są wpływy indywidualnych cech jednostek, które obok wyróżnionych zmiennych objaśniających mogą oddziaływać na zmienną objaśnianą. Dodanie do równania regresji składnika losowego powoduje, że równanie regresji ma charakter stochastyczny (losowy)

5. JAKIE SĄ RODZAJE DANYCH
STATYSTYCZNYCH?

Dane szeregów czasowych, w których kolejne obserwacje rejestrują badane zjawisko ekonomiczne w następujących po sobie przedziałach czasu. Dla przykładu takimi danymi mogą być PKB, zatrudnienie, stopa inflacji, zestawiane jako dane roczne, kwartalne lub miesięczne) a nawet godzinowe - kursy walut).Są one z reguły danymi zagregowanymi opisującymi przeciętną wartość badanego zjawiska z określonego przedziału czasu.

Dane przekrojowe pojawiają się jako obserwacje wielu obiektów dokonywane w tej samej jednostce czasu. Np. obserwacja budżetów gospodarstw domowych. GUS obserwuje je np. na terenie całego kraju i dostarcza informacji o dochodach, wydatkach, o składzie demograficznym rodzin, o ich mieszkaniu. Dane te są szczegółowe i uwzględniają różnorodność badanych gospodarstw domowych. Dane panelowe łączą cechy danych szeregów czasowych i danych przekrojowych np. dane PKB dla poszczególnego kraju są pojedynczym szeregiem czasowym, ale zestawienie PKB dla np. krajów OECED tworzy dane połączone. Typowymi danymi panelowymi są panele gosp. domowych. Dla Polski zestawiono panele z lat 1993-97 i 97-2000 zawierające' około 3 tys. tych samych gospodarstw domowych badanych przez okresy czteroletnie. W Luksemburgu znajduje się baza danych panelowych gospodarstw domowych dla wszystkich krajów Unii i stanów Zjednoczonych. Dane statystyczne pełnią ważne role w modelowaniu ekonometrycznym. One potwierdzają poprawność specyfikacji funkcji regresji i poprawność postawionych hipotez.

6. NA CZYM POLEGA LINIOWOŚĆ W
KLASYCZNYM MODELU REGRESJI
LINIOWEJ?

Klasyczny model regresji jest modelem liniowym względem parametrów, a nie względem zmiennych objaśniających. Regresory w równaniu regresji mogą być dowolnymi funkcjami zmiennych objaśniających. Dla zmiennej wieku wprowadzić można do równania regresji dwa regresory: wiek i wiek w kwadracie. Model jest linowy względem parametrów jeśli każda z pochodnych cząstkowych zmiennej objaśnianej względem parametrów jest niezależna od wszystkich parametrów modelu. Liniowość względem parametrów to jedno z założeń modelu regresji liniowej. Liniowość jest konieczna względem parametrów a nie wobec zmiennych objaśniających - parametry równania muszą być w pierwszej potędze np. Y=po + pix,+, ,+p_k+c i= 1.2,3, n

Przykład dla modelu regresji prostej (z jedna zmienną objaśniającą). Takim modelem jest Yi= p₀+ PiX,-£i Interpretacją parametru p, = bezwzgedna zmienna \7 bezwzględna zmienna X.

Pi mierzy zmienną y w zależności od zmiennej JUllÓwj o ile jednostek zmieni się y, gdy x zmieni się o jedną jednostkę przy pozostałych zmiennych w modelu niezmienionych. Warunek ceteris paribus. Np. funkcja popytu na kawę w zależności od dochodu.

Parametr Pi będzie miał interpretację ile kg kawy spożywa się z każdej 1 zl dochodu? Jeżeli funkcja jest liniowa względem parametru, a jednocześnie liniowa względem zmiennej to obydwie zmienne są w jednostkach relacji pc. wskazuje o ile jednostek wzrasta Y gdy X wzrasta o jedną jednostkę. W funkcji podwójnie logarytmicznej ten sam parametr ma inna interpretację. Wskazuje o ile % zmieni się Y gdy X zmieni się o 1 %.

7. JAKĄ INTERPRETACJĘ MAJĄ
WSPÓŁCZYNNIKI REGRESJI W MODELU
LINIOWYM WZGLĘDEM ZMIENNYCH
OBJAŚNIAJĄCYCH?

Model liniowy ma postać yi - bi+b!X_!|...+b_kx_kl+

_.+b_kx_ld + b_KXKi-ei i-ii_.

E (y, / x' i) = b,+b₂x,_h„+b_kxi,,+ ...+b_kx_k, + b_K x_a

-e i-u_.

ćE( V|/x'_l).bic

te*

B_K mierzy oczekiwaną zmianę yj_ jako efekt zmiany x_ti

o jednostkę, gdy inne zmienne w modelu pozostają niezmienione. Warunek ten zwany jest ceteris paribus. w modelu regresji wielorakiej pojedynczy współczynnik ma jedynie sensowną interpretacje ekonomiczną przy warunku ceteribus paribus pi mierzy zmienną y w zależności od zmiennej x, mówi o ile jednostek zmieni się y, gdy x zmieni się o jedną jednostkę przy pozostałych zmiennych w modelu niezmienionych.

Warunek ceteris paribus. Np. funkcja popytu na kawę w zależności od dochodu . Parametr pi będzie miał interpretację ile kg kawy spożywa się z każdej 1 z! dochodu, (krańcowy efekt)

8. JAKĄ INTERPRETACJĘ MAJA
WSPÓŁCZYNNIKI REGRESJI W MODELU
PODWÓJNIE LOGARYTMICZNYM.

W modelu podwójnie logarytmicznym wyznaczamy elastyczność. Elastyczność odpowiada na pytanie: o ile procent zmieni się zmienna objaśniana, gdy zmienna objaśniająca zmieni się o jeden procent. Elastyczności mogą być wyznaczane bezpośrednio z modelu, w którym zarówno zmienna objaśniana jak i zmienne objaśniające są logarytmami zmiennych pierwotnych. M odel taki możemy zapisać: ln.v, =r, + r₂!n.v₂,+---H-ln/_AA-_t, + v,, ( = 1.2.-, gdzie dla odróżnienia parametry oznaczyliśmy symbolami ~ , zaburzenie losowe symbolem 3, a

indeks * zastąpiliśmy przez * dla podkreślenia, że takie modele są wyznaczane na danych szeregów czasowych. Logarytmowanie jest wygodną transformacją, ze względu na fakt, że logarytm ilorazu jest w przybliżeniu równy relatywnej (względnej) znuanie zmiennej, co zapisujemy:

^toJ'i-lnj'M = ln[ —]»

9. PROSZĘ SFORMUŁOWAĆ TWIERDZENIE
GAUSSA - MARKOWA I JE

ZINTERPRETOWAĆ.

W klasycznym modelu regresji liniowej najlepszym liniowym i nieobciążonym estymatorem wektora

B

parametrów ^r jest b wyznaczone za pomocą MNK: , ^X' ° macierzy wariancji - kowariancji

■ ■ ■ °" '^XX)' • Dyskusja twierdzenia: Estymator b jest estymatorem liniowym, gdyż jest liniową funkcją zmiennej losowej y. 0 jest estymatorem nieobciążonym. tzn. E(b)=

^.Więc ^b-W-x)'X'."P'[xx)'X' Więc W'ĄxxV Xc)-{rxy xf>. _{b w} powtarzalnych próbach, przy danej macierzy X. jest sreon.o równy nieznanemu wektorowi parametrów

Ze «li H^dChy'^{a S}'^{K Wi(;C od wielk}°ści. którą estymuje. Ze wzglądu na mdywidualne zaburzenia losowe różne

* różnych próbach, oszacowane b różni się od P .

jednak średnio różnice te się znoszą. Jest więc estymatorem nieobciążonym.

Estymator b jest estymatorem najlepszym, tzn. że ma minimalną macierz wariancji-kowariancji wynoszącą

Dopełnieniem własności estymatorów MNK jest własność zgodności, co oznacza, że dla wzrastającej wielkości próby estymator b jest zbieżny do

prawdziwych wartości ^* w populacji.

10.CO TO JEST BŁĄD STANDARDOWY ESTYMATORA? PROSZĘ PODAĆ WZÓR DLA PRZYPADKU REGRESJI WIELORAKIEJ I GO ZINTERPRETOWAĆ.

Błąd standardowy estymatora ' *"'- to pierwiastek kwadratowy z wariancji z próby dla bk

Błędy standardowe umieszczamy w równaniu regresji w nawiasach pod wyznaczonymi ocenami.

11. CO TO JEST PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA

NIEZNANEGO PARAMETRU A?

Przedział ufności - przedział, w którym znajduje się

nieznana wartość parametru^' z

prawdopodobieństwem 1- .

Wyznaczamy go wg wzoru:

Wh - '-wA * A *A+'.-wA>^{=1 _ a}

Wielkości ^-',-t,n.CT_b< ^

n-k:ai2 ft, nazywamy odpowiednio lewostronną i prawostronną granicą przedziału ufności. Jeśli uprzednio wyznaczyliśmy przedział ufności to wyniki tych obliczeń możemy wykorzystać dla

weryfikacji °' "* ^- . Jeśli przedział ufności nie zawiera liczby 0, to odrzucamy hipotezę zerową.

12. CO TO SĄ HIPOTEZY PROSTE I JAK JE
WERYFIKUJEMY W KLASYCZNYM MODELU
REGRESJI LINIOWEJ?

Weryfikacja prostych hipotez

Hipotezy proste stawiamy względem jednego

parametru. Rozkład t - Studenta _jest wykorzystywany dla weryfikacji prostych hipotez i wyznaczania przedziałów ufności. Idea testowania prostych hipotez jest następująca.

LJ

Stawiamy hipotezą zerową « i określamy jaką wartość przyjmuje ^^k ■ Dla przykładu postawmy

hipotezę, że parametr "* przyjmuje określoną wartość

"* , a więc •" "^ł ~ ^' ■ Jeśli zerowa hipoteza nie jest prawdziwa to przyjmujemy hipotezę alternatywną

™l-Pk * Pk . Jeśli "0 jest prawdziwa, to

'n-K :

statystyka testująca ' ma rozkład

t - Studenta ₀ ⁿ ~ * stopniach swobody. Postępowanie testowania jest następujące: Odrzucamy

zerową hipotezę jeśli przy tej hipotezie n-K „^ ^ dużą wartość, która jest bardzo mało prawdopodobna. Mówiąc dokładniej odrzucamy hipotezę zerową, jeśli prawdopodobieństwo zaobserwowania wartości

I "-*l lub większej jest mniejsze od tak zwanego poziomu istotności Z przyjmowanego z reguły jako

P\t,->:\^>'„->„/■,}= a
0,05. A więc ■ ■ "' gdzie tzw.

wartość krytyczni "~ *° wyznaczamy z tablic rozkładu t - Studenta <ji_a fa_nej liczby stopni

swobody "^— **■ i db postulowanego poziomu istotności D.

A

Powyższy test jest testem dwustronnym gdyż hipoteza alternatywna Hi dopuszcza, aby wartości parametru

była większa lub mniejsza od

13. NA CZY POLEGA STATYSTYCZNA ISTOTNOŚĆ ZMIENNEJ OBJAŚNIAJĄCEJ?

Wśród hipotez dwustronnych powszechnie stosowana

wobec

jest hipoteza zerowa postaci

■ 0

Ą:A

hipotezy alternatywnej 1 t*k .Odrzucenie Ho

oznacza, że parametr stojący przy k-tej zmiennej

objaśniającej jest statystycznie * ^, a więc, że k-ta zmienna jest statystycznie istotna - wyjaśnia zachowanie się zmiennej objaśnianej.

. . . , W > 2 , .

Reguła kciuka '' - ułatwia sprawdzenie

statystycznej istotności zmiennej objaśniającej. Jeśli

liczba stopni swobody wynosi 20 lub więcej i jeśli

poziom istotności ^— ' to °^^ł ~~ odrzucamy,

jeśli wartość statystyki

Jeśli t wyliczone jest znacznie większe od t tablicowego, to odrzucimy Hu i przyjmujemy H, * p — value:

„ ^-v_aw<o,o5 _t0 H,A =0 _odmicamy

H,„2. P~^'"e> 0fi5 ,₀ H„A =0 _akceptujemy Ho.

14. PROSZĘ PRZEDSTAWIĆ TEST ISTOTNOŚCI
RÓWNANIA REGRESJI.

Pytanie czy równanie regresji jest istotne, jest równoznaczne z pytaniem czy łączne współczynniki regresji są równe 0 z wyłączenien stałej. Stwiamy

H 8

H,:P=0 wobec ': " 4 0. Przy takiej hipotezie.
wyjaśniona suma kwadratów ESS powinna być mała. a
RSS winna być duża. Konstruujemy

ESSl(K-\)

statystykę RSS/(n-K)

mająca rozkład Fishera o K-1 i

n-K stopniach swobody. Obie zmienne są od siebie

niezależne i mają rozkład X2. Jeżeli korzystając ze

współczynników determinacji R² licznik i mianownik

dzielimy przez TSS i otrzymujemy

jm _ ESSl(K-l) _ R^:/{K-1)

-' RSS/[n-K)~(l-R²)/{n-K) _{Jeś!i wiąc}

wyUczone F jest większe od F tablicowego to hipotezę odrzucamy i stwierdzamy, że regresja jest statystycznie istotna.

15. PROSZĘ PRZEDSTAWIĆ WZÓR
DEKOMPOZYCJI ZMIENNOŚCI CAŁKOWITEJ
Y NA ZMIENNOŚĆ WYJAŚNIONĄ I
NIEWYJAŚNIONĄ.

Zmienność całkowitą zmiennej objaśnianej "; oznaczaną w literaturze angielskim skrótem TSS.' mierzymy za pomocą sumy kwadratów odchyleń obserwacji zmiennej objaśnianej od średniej:

rss = X(y,-y)^:

'•1

Jeśli model zawiera stałą, to całkowitą sumę kwadratów możemy zdekomponować na dwa składniki, na wyjaśnioną (równaniem regresji) sumę kwadratów. oznaczaną przez ESS (Explained Sum of Sąuares)

£SS = £(y,-F)²

i resztową (niewyjaśnioną) sumę kwadratów, oznaczaną przez RSS

Vi ⁼ y< l Odejmując od obydwu stron średnią-^ mamy

po

_y.=y_l*e, = (y_l-y)=(y_l-y)+e^ _a

podniesieniu do kwadratu i sumowaniu
fTi «i '-i '■'

wiemy, że ^l=1 . '"'

Wzór dekompozycyjny ma następującą

ś>,-f)^j=Ż(jw>^j+£>.^j

postać: '■' '■' '•' lub inaczej

TSS = ESS+RSS.

W oparciu o tę dekompozycję zdefiniowany jest współczynnik determinacji ■

«--

TSS

Jh-W

calkowBumttuadraiów TSS r

16. PROSZĘ WYPROWADZIĆ WZORY NA

WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI I

SKORYGOWANY WSPÓŁCZYNNIK

DETERMINACJI ORAZ PODAĆ ICH

INTERPRETACJE.

Współczynnik determinacji oznaczany przez R^:

określa jaka część zmienności zmiennej objaśnianej ^ jest wyjaśniona przez zmienność wszystkich zmiennych objaśniających. Zmienność całkowita, zmiennej objaśnianej y, (TSS), mierzymy za pomocą sumy kwadratów odchyleń obserwacji zmiennej objaśnianej

TSS = f_i(y,.-yf
od średniej: <-'

Jeśli model zawiera stałą, to całkowitą TSS dzielimy na 2 składniki:- wyjaśnioną sumę kwadratów

ess = %&-?)

i resztową sumę kwadratów

_R, _ESS RSS

TSS

'-' i dalej TSS TSS . _R>

przyjmuje wartości z przedziału między 0 i 1. Jeśli wynosi 1 to funkcja regresji w 100% wyjaśnia zmienność y, a jeśli 0 to model regresji w ogóle nie wyjaśnia zmienności y. Jeśli na przykład R¹ wynosi 0,6 to możemy powiedzieć, że 60% zmienności zmiennej objaśnianej y jest wyjaśnione zmiennością wszystkich zmiennych objaśniających łącznie, a 40% zmienności jest niewyjaśnione (jest zmiennością resztową).

Skorygowany współczynnik determinacji R¹ współczynnik ten jest skorygowany ze względu na tak zwaną liczbę stopni swobody, to znaczy ze względu na różnicę między liczbą obserwacji n a liczbą zmiennych

objaśniających K. Współczynnik ^zdefiniowany jest następująco:

Ś«r'(n-AT)

ŻP=1-

^"2

pŁ2«Ui5Ł5Ł —■-

17. PROSZĘ OMÓWIĆ WPROWADZANIE DO
RÓWNANIA REGRESJI 0-1 ZMIENNYCH
OBJAŚNIAJĄCYCH.

Wprowadza się je gdy mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi zwanymi kategoriami, których wartości nie mogą być przedstawwiane za pomocą liczb rzeczywistych np.: wykształcenie, płeć, poziom wykształcenia, region zamieszkania itp. Aby do modelu dodać zmienną jakościową o dwóch kategoriach musimy z niej stworzyć kat. 0-1. Aby doła.czyć do modelu cechy jakościowej o m kategoriach, należy wprowadzić do równania regresji jedynie m-1 zmiennych 0-1, pomijając dowolną z kategorii. Tę pominiętą kategorię, której zmienna 0-1 przyjmuje wartość 0 nazywamy kategorią bazową albo referencyjną. Oszacowanie parametru dla zmiennej 0-1 interpretujemy względem jej kategorii referencyjnej.

18. CO TO JEST WSPÓŁLINIOWOŚĆ? JAKIE
SĄ KONSEKWENCJE WSPÓŁLINIOWOŚCI?
JAK MOŻNA JĄ PRZEZWYCIĘŻYĆ?

Współliniowość jest cechą próby a nie populacji, w której zmienne są ze sobą zbyt silnie powiązane liniowo. Oznacza ona dokładną lub niemal dokładną liniową zależność (korelację) miedzy regresorami, co utrudnia a czasami wręcz uniemożliwia określenie wpływu każdej ze zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą. Współliniowość - wywiera negatywny wpływ na oszacowanie modelu, jest zjawiskiem niebezpiecznym. Gdy pojawia się współliniowość to estymatory są nadal BLUE. ale mają zbyt duże błędy standardowe, co zmniejsza precyzję oszacowania a również regresji charakteryzuje się niską precyzją oszacowania. Symptomy współliniowości:

1)Współczynniki mają duże błędy standardowe i w związku z tym znaczna liczba regresorów jest nieistotna, nawet wtedy, gdy łącznie są one istotne, a

R jest wysokie.

2)Współczynniki mogą mieć niewłaściwe znaki i

niedopuszczalną wielkość.

3)Małe zmiany w zbiorze statystycznym (np.: dodanie

jednej lub kilku nowych obserwacji) mogą prowadzić

do znacznych zmian oszacowań współczynników

regTesji przy niektórych zmiennych.

Przezwyciężyć ją można przez:

Opuszczenie zmiennej- powoduje, że teoria ekonomii

dopasowuje się do złych danych.

Można wprowadzić dodatkowe regresory, kwadraty

zmiennych pierwotnych.

Można rozszerzyć zbiór pierwotnych obserwacji o

dodatkowe obserwacje.

Zastępowanie brakujących informacji średnią

arytmetyczną lub średnią ruchomą (szeregi czasowe)

prow-adzi do obciążenia estymatorów.

Wykrywanie obserwacji znaczących: nietypowych

wartości zmiennej objaśnianej i obserwacji

dźwigniowych dla zmiennych objaśniających.

Obserwacje nietypowe charakteryzuja.ee się

. e, = V- — v.

nieoczekiwanie dużymi resztami ' ^J' *-'. Obserwacje dźwigniowe - znacznie oddalone od środka zmienności zmiennych objaśniających, co wpływa na ocenę parametrów przy małej wielkości reszty. Brak w obserwacjach dźwigniowych ostatniej obserwacji zmienia znacząco równanie regresji można przez to uzyskać inny model, ale nie jest on zgodny z danymi.

19. NA CZY POLEGA UOGÓLNIONA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW????

Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów zwana jest również od nazwiska jej autora metodą Aikena. Uogólnioną Metodę Najmniejszych kwadratów używa się do modelu regresji liniowej z niesferycznym składnikiem losowym. Stosuje się w sytuacji, gdy macierz wariancji-kowariancji _lna postać Var(Ą\) = £(£f'|X) = Var(E) = E{es') = <r i Q Estymator UMNK otrzymamy gdy estymator MNK b = (X'X) X'y ustąpimy y przez Py, x przez PX oraz ^s przez "^£, który dla odróżnienia oznaczamy

przez b :

b = [(PX)'(PX)]-^,(PX)'Py = (X'/2-'X)-^,X'/3^r,y.

Reszty oznaczamy wUMNK ^e = y- Xb

e'e

.Wtedy podobnie do wariancji resztowej w MNK"

- M"ł

CT" =

n — K. Otrzymamy n—K

20. PROSZĘ POKAZAĆ JAK UOGÓLNIONĄ
METODĘ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
MOŻNA SPROWADZIĆ DO KLASYCZNEJ
METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW.

Przyjmując założenie, że

Var(ĄX) = E(eć\X) = Var(E) = E{eć) = o^I _n

Macierz " jest dodatnio określona (jako macierz wariancji-kowariancji zaburzenia losowego ), co oznacza że ma dodatni wyznacznik i jest określona, co oznacza że jest macierzą odwracalną. Z algebry macierzy wiadomo, że dla macierzy dodatnio określonej istnieje taka macież dolnotrójkontna P. że:

PT-/y oraz P*P' = I._{Ponieważmacierz}

« jest znana to możemy wyznaczyć macierz PJeżeli przemnożymy lewostronnie równanie regresji

y - V+1 przez P to otrzymamy * = *W+ P*. Gdzie wektor zaburzeń spemia założenie klasycznego modelu regresji, gdyż wariancja tego zaburzenia jest

równa ^var<^P£> = ^PvaK«)P' = <r^:P/2P' = <rl

Oznacza to, że model UMNK sprowadziliśmy po przez przemnożenie przez macierz P do KMNK. Estymator MNK

21. PROSZĘ PRZEDSTAWIĆ TEST
GOLDFELDA-QUANDTA.

Test GoldfeIda-Quandta jest stosowany w przypadkach, gdy znamyzmienną odpowiedzialną za wzrost wariancji zaburzenia losowego. Użycie tego testu sprowadza się do wykonania następujących kroków: DPrzenumerowujemy obserwacje według rosnących wartości, cechy, odpowiedzialnej za wzrost wariancji (np. według rosnącego dochodu). 2)Opuszczamy c środkowych obserwacji, gdzie c

c*"/£

dobrane jest tak, że ' ³; oraz " ^- C jest parzyste. (Opuszczenie c środkowych obserwacji zwiększa moc testu, a więc zdolność testu do wykrvcia homoscedastyczności, gdy ona rzeczywiście występuje).

3) Ozie Urny próbę n-c na 2 podpróby n-c-2 obserwacji 3)SZacujemy dwa równania regresji dla pierwszej i drugiej części próby i wyznaczamy dwie wariancje resztowe, oznaczone odpowiednio subskryptami 1 i 2

-2 e,'e,

a, =-

dla pierwszej i drugiej części próby:

-₂ e;e,

a-, = - -- n-c

2

J-f ■ - _ 2
4)Stawiamy hipotezę zerową 0" 2 1

(występuje homoscedastyczność) wobec hipotezy

(występuje

alternatywnej

heteroscedastyczność).

testową

statystykę

5 )Konstruujemy

F.Z

² ', gdzie liczby przy statystyce F są liczbami stopni swobody licznika i mianownika

dla tej statystyki, która ma rozkład t" Fishera-Snedecora.

.^rr

6)Weryfikujemy hipoteza zerową: jeśli F _M> >wm

KT*'>F_tmm f

₍ T"* (gdzie *W^a"« oznacza

wartość tablicową), to odrzucamy hipotezą zerową o homoscedastyczności i przyjmujemy hipotezę alternatywną o heteroscedastyczności. Korzystając z

—-K

^ST~^K

wartości p dla wyliczonej statystyki

, . . . , ,- p<0,05

możemy również stwierdzić, ze jeśli ^r , to

odrzucamy hipotezę, zerową o homoscedastyczności i

przyjmujemy hipotezę alternatywną o

heteroscedastyczności. Badania symulacyjne nad tym

testem wskazują, że jest on czuty na spełnienie

założenia o normalności zaburzeń.

22. PROSZĘ PRZEDSTAWIĆ TEST BREUSCHA-PAGANA.

Oznaczany jest skrótem BP i jest stosowany gdy więcej

niż jedna ze zmiennych objaśniających odpowiada za

wzrost wariancji.

Procedurę testowania testem Breuscha-Pagana można

ująć w kolejnych krokach:

l)Szacujemy za pomocą MNK równanie wyjściowe

y, = A+A*& + • • •+Pk^x» + ^£, _ora2

drugie - wyznaczające wariancją zaburzenia losowego: a) = a, + a₂z_v + ■■■ + a_m:_ml + u,

2
Jeśli ^a* ■«»—-*. = °,_t o °7 ^{= a}i

i*

a²=^—

2)Wyznaczamy wariancję resztową "

Zauważmy, że przy liczeniu wariancji resztowej sumę

kwadratów reszt dzielimy nie przez " ^— "■ , a przez

" . Tak wyznaczona wariancja resztową jest estymatorem metodv największej wiarogodności.

-Ś.

3)Konstruujemy nową zmienną ^a . Jest to

kwadrat i-tej reszty podzielony przez wariancję

resztową.

Szacujemy regresję pomocniczą

5)Z oszacowania równania regresji pomocniczej

Pi^m et, + a-,z-„ ■ ■ ■ + a z +u-

r, i 3-2/ v-„-_m «, wyznaczamy

wyjaśnioną sumę kwadratów ESS _ _gcj₂i_e
'"' i definiujemy statystykę testującą

. Tak zdefiniowana statystyka ma

asymptotyczny rozkład % o m-1 stopniach

swobody, co zapisujemy ~ -^ Xm-\

6)Weryfikujemy " _h'_ip0te2(.

H₀:a₂ = a₃ = ••• = « =0

^m za pomocą

su^styki BP. Jeśli ^BP > %l-i _{t0 odrzucamy} nmotezę zerową „ homoscedastyczności i Przyjmujemy. że występuje heteroscedastyczność.

WATS^RON^^^ZED?^TA^^{,Ć TEST} DURBINA-»YATSONA I CO OMÓWIĆ

MHfaS? ~ ^WatS°^{na StOSOWan}y ^d0 grywania autokorelacji pierwszego rzędu, a więc autokorelacji

Ł™^'^ zaburzeniami losowJi.

normany sSfcaT* * ^m°^{ddu sta,e}J- ^rozUad

objaśnianeJJJ ^*T• ^brak °PÓżnień zmiennej

^{J Srod} an«nnych objaśniających.

ETAPY:

Oszacujemy za pomocą MNK równanie regresji i

e-

wyznaczamy reszty ' .

2)Obliczamy statystykę d (większość programów komputerowych wykonuje takie obliczenia rutynowo). 3)Z tablic rozkładu statystyki d dla danej wielkości próby T oraz danej liczby regresorów K znajdujemy

dwie wartości: "« ^oraz ". gdzie L oznacza (lower - dolną) oraz U (upper - gómą) granicę przedziału, między którymi znajduje się rzeczywista

wartość krytyczna, na ogól podawana dla '

4)Stawiamy 0'P~ (brak autokorelacji) wobec

hipotezy alternatywnej "vP^> .

5)Jeśli ^d<dL _I0 odrzucamy ^H0^:P⁼⁰ i

przyjmujemy "\'P^>®, oznacza to, że występuje dodatnia autokorelacja zaburzeń losowych.

Jeśli Ł — — U _> jo test jest nie rozstrzygnięty.

.« d>d,,

Jeśli

, to przyjmujemy

H₀:p = 0

oznacza to brak dodatniej autokorelacji zaburzeń

losowych.

Niekiedy alternatywną hipotezą jest występowanie

ujemnej autokorelacji. Przy doskonałej ujemnej

autokorelacji wartość statystyki d, jak wynika z

U S« S 4 j_est równa 4. Stąd, ze względu na symetrię statystyki d wokół wartości 2 , przy weryfikacji ujemnej autokorelacji za granicę dolną

A-d_u . . A-d,

możemy przyjmować ^u i za gomą ^L .

Test ten ma wiele wad: przedział nie rozstrzygnięcia testu. Test ten ma zdolność wykrywania autokorelacji tylko pierwszego rzędu. Test jest bardzo czuły na założenie normalności zaburzeń losowych.

24. PROSZĘ PRZEDSTAWIĆ TEST Breuscha -

Godfreya.

Oznaczamy skrótem BG jest testem ogólnym ponieważ

może zawierać regresory stochastyczne i wykrywać

autokorelacje wyższych rzędów, zachodzące między

zaburzeniami losowymi.

Idea testu: Niech model z K regresorami ma tradycyjną

postać: y- ^mp\+fiA*-⁺fi**a*i.

Załóżmy, że występuje autokorelacja zaburzeń losowych rzędu p. którą przedstawia równanie:

^e, = ft*,-l + P₂^S,-2 + -+ P,^S-p ⁺ "i

gdzie" ~ ^A,(°'^£T ') tak jak poprzednio. Na przykład
dla danych kwartalnych p = 4.
Weryfikujemy hipotezę

"o^A-A-»-p,«0 _{co 02naczai Że}

między zaburzeniami nie zachodzi autokorelacja

żadnego rzędu.

ETAPY:

l)Szacujemy za pomocą MNK wyjściowe równanie

g. regresji y = xP+Ei wyznaczamy reszty ' .

2)Szacujemy równanie regresji pomocniczej, w którym

zmienną objaśnianą są reszty ' z równania, zaś zmiennymi objaśniającymi wszystkie regresory z równania oraz dodatkowo p opóźnionych reszt:

i-V i-2*'" ' t-p . .

^r wyznaczonych również z tego

równania. Równanie regresji pomocniczej ma więc

postać:

t, ■ ff, *«,*., ♦ — •<!,.*». */V..i ~P:*,.. * — *p c, *,,

Dla oszacowania regresji pomocniczej , ze względu na opóźnione reszty, tracimy p pierwszych obserwacji, w związku z tym dla oszacowania równania dysponujemy jedynie T-p obserwacjami. Dla regresji pomocniczej wyznaczamy " .

3)Stawiamy hipotezę zerową

H»:p, =*=-= P,=0 _{wobec hjpotezy}

alternatywnej, że nie wszystkie " są jednocześnie ■ 0

4) Dla dużych prób statystyka (T-p) R ma rozkład chi-kwadrat o p stopniach swobody, więc:

(T-p)R²~Asy._X².

5) Weryfikujemy hipotezę

^Ho'-P\ -Pi ⁼"-=P_p =0 za pomocą

statystyki (T-p) R². Jeśli (T-p)R²> V ² _t0

odrzucamy hipotezę zerową, że między zaburzeniami nie zachodzi autokorelacja żadnego rzędu i przyjmujemy hipotezęalternatywną.

25. CO TO JEST STANDARDOWY BŁĄD
PROGNOZY I PRZEDZIAŁ PROGNOZY?

Błąd standardowy określa o ile średnio różni się prognoza od średniej prognozowanej. Wyrażony jest wzorem:

K. = #L = ^P^w^ćr^]^

2 " 2

oznacza nieznaną wariancję, °^ - jej nieobciążony estymator z próby Znając standardowy błąd prognozy możemy wyznaczyć

przedział prognozy dla wartości sT+S

«.*r- -'.*4Ćh. ^s -"'■'^s >■'-•''--<«**.''' - " zakładamy,

że wektor wartości, jakie przyjmują zmienne

objaśniające w okresie prognozowanym jest znany

badaczowi:

^XT+S ⁼ l*» ^X2.T*S> ^X3.T+S>'"> ^XK.T*S I _fc.
^{L J}. Dla

wyznaczenia prognozy znajomość tego wektora jest

niezbędna. Przedział prognozy oznacza

prawdopodobieństwo, że zmienna propgnozowana

znajduje się w pzredziale: przed prognozowaniem i po

proganozowaniu.

26. JAKIE SĄ SKUTKI POMINIĘCIA W
RÓWNANIU REGRESJI ISTOTNYCH
ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH?

Konstruując równanie regresji powinniśmy do niego włączyć wszystkie zmienne objaśniające, które z punktu widzenia teorii ekonomii mogą wyjaśniać zachowanie się zmiennej objaśnianej, a następnie eliminujemy te z nich, które okażą się nieistotne, a teoria sugeruje, że mają one drugorzędne znaczenie. Pominięcie w równaniu regresji istotnych zmiennych objaśniających powoduje, że estymatory MNK dla istniejących zmiennych są obciążone. -Do równania powinniśmy wstawiać wszystkie zmienne nawet gdyby były nie istotne. Usunięcie zmiennych świadczy, że zbiór danych do oszacowania modelu nie potwierdza teorii ekonomii.

27. JAKIE SĄ EFEKTY DODANIA W
RÓWNANIU REGRESJI NIEISTOTNYCH
ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH?

Gdy do równania regresji wstawiamy regresory nieistotne, wtedy powstanie nam drugie równanie , które jest niepotrzebnie rozszerzone o nieistotny zbiór regresorów. Za pomocą testu t —Studenta weryfikujemy hipotezy o istotności zmiennych. Estymatory są wtedy nieobciążone, mają nieco większe błędy standardowe, co powoduje, że są one mniej efektywne od tych dla równania z pominięciem zmiennych nieistotnych. Większa liczba regresorów, nawet nieistotnych, podwyższa

ii R\

współczynnik determinacji R , należy więc stosować przy małej liczbie stopni swobody, skorygowany

współczynnik detenninacj

28. PROSZĘ PRZEDSTAWIĆ TEST \VHITE'A I

GOOMÓWIĆ.

Test White'a stosujemy, gdy nie wiemy jaka zmienna

wywołuje heteroscedastyczność. Stosujemy wtedy gdy

nie potrafimy określić" zmiennych odpowiedzialnych za

wzrost wariancji. Test ten wykrywa również błędną

specyfikacje, równania, wskazuje, że aktualnie

zastosowana postać równania regresji jest niepoprawna.

Przedstawię testu White'a na przykładzie regresji z

dwiema zmiennymi objaśniającymi. Idea tej procedury

sprowadza się do uzależnienia wariancji zaburzenia

losowego od regresorów, ich kwadratów i iloczynów.

Procedura testowaniaprzebiega w następujących

krokach:

1) Szacujemy za pomocą MNK równanie regresji

y_t = P\ ⁺ Pi^xv *PAi ^{+ s}i i wyznaczamy reszty

2)Wyznaczamy regresją pomocniczą:

ef = ff, + ff₂ *„ + a A, + a₄4 + a_sxl + a^x_vx_)l + u, _

w której regresorami są zmienne objaśniające równania wyjściowego, ich kwadraty i iloczyny.

3(Wyznaczamy « dla regresji pomocniczej.

Statystyka "^x^"ma asymptotyczny rozkład * o m-

/ stopniach swobody, gdzie m jest liczbą regresorów

w regresji pomocniczej, co zapisujemy

nxR²~Asy.z²_m_i

4)Stawiamy hipotezę

H_n: cc, = or, = a, = a- = 0 . „

0 2 3 4 a wobec H,: nie

wszystkie a są równocześnie równe 0

5) Konstruujemy stsatystykę testującą

nxR¹~Asy.zl*

6) Testowaanie Ho : jeśli "^x^ ^> *"-' to
odrzucamy hipotezę zerową o homoscedastyczności i
przyjmujemy Hi, że występuje heteroscedastyczność.

30. PROSZĘ PRZEDSTAWIĆ TEST

STABILNOŚCI PARAMETRÓW CHOWA.

Testy stabilności sprawdzają hipotezy, czy parametry

modelu są stabilne w różnych podpróbach dla

przypadku danych przekrojowych lub w różnych

podokresach czasu dla przypadku szeregów czasowych.

Ten drugi przypadek nazywamy testem punktu

zwrotnego.

Dane przekrojowe: regresja płac dla kobiet i mężczyzn:

płaca, - 0, * fiip/tc, * Px"auta, + P^iek. * P,*iek: * P^iaz, * c,

gdzie: P^lacai. piaca miesięczna '~'^eJ osoby,

P'^ec<- płeć *-* osoby,"*"**- lata nauki '"*

osoby, ^weki -wiek '~^teJ osoby mierzony w latach,

^Wek> - wiek do kwadratu '~'^eJ osoby/"⁷²'- staż

pracy J osoby mierzony w latach. Wykształcenie

definiujemy jako zmienną 0-1:

tgau ■ {'•'^a'""^M'"°ⁱ'""^aH>fa;«'«'iiV»>u.-f.

[OJesliintit.

irednir « l^,J'^a"'~'^a°'°^t""""'>*':"'k"<irsrcdr,it. ' [Ijcsliinne.

gdzie kategorią referencyjną jest wykształcenie

podstawowe, (kategoria bazowa).

Model regresji:

p<°<°. - fi, * fi-jte. ♦ /»,-,*>«, ♦ Amh; + _{AMrt + AlAł}: _t f^

Zróżnicowanie płac ze względu na płeć oddaje

E^l \^{,7aŚ efekty} ^^ztalcenia, wieku i stażu Sta^W ^ ^jed,^nakowe- Możemy założyć, że efekty wykształcema. w.eku i stażu są odmienne dla mężczyzn

i dU kobiet, a więc, że parametry A*A _przyimuj_ą

mo^eTe n- ° ^my-^ZT'^eryflk0Wai; *"* 3 jednakowe SSiST ^J "^ak ^ ^Z "i=h J«t oparty na

i 3-ci- dl ~!f K ^g r ^dla P°^dPróby tylko mężczyzn 3<. dla podproby ty,_{ko kobie[} | JgJJ _bę^?_dą g

A,

i związanym z nią parametrem '

Wica. =■ fl ł P,*yw. * Pfimt. * A""'*< * A»''*.^! * A"». * *

"• ^: A*A są takie same dla mężczyzn, jak i dla

kobiet, ' ^: nr°fil są różne dla mężczyzn i kobiet Statystyka testująca opiera się na porównaniu sumy kwadratów reszt dla modelu próby połączonej, w której obserwowani są jednocześnie mężczyźni i kobiety z sumami kwadratów reszt z modeli estymowanych

e'e

oddzielnie dla każdej z tych dwóch podprób.

sumę kwadratów reszt dla próby połączonej, przez

e'e

¹ * - sumę kwadratów reszt dla modelu z podproby

e'e

mężczyzn; 2 2. _Sumę kwadratów reszt dla modelu z
_pi (e'e-e;e|-e'e_:)/5

podproby kobiet ""' («>,+e'₂e₂)/(_n-2x5) Test punktu zwrotnego Chowa ( Test stabilności parametrów dla szeregów czasowych). Gdy szacujemy modele na podstawie szeregów czasowych, to często interesuje nas, czy parametry równania nie uległy zmianie w czasie. Dla testowania takiej hipotezy dzielimy zbiór obserwacji z całego okresu próby na dwa lub więcej podokresów. T - elementowy przedział próby dzielimy na pierwszy podokres, zawierający 7"; obserwacji i drugi, zawierający 7; obserwacji, tak, że Ti + T_:= T. Liczba obserwacji w każdym z podokresów była większa od liczby szacowanych współczynników. Dalej procedura testowania przebiega analogicznie jak w przypadku testu stabilności. Statystyka testująca jest taka sama tylko, że wielkość próby oznaczamy w tej sytuacji przez 7", a liczbę szacowanych parametrów jak zwykle przez K.

_K (e'e-e'.e,-e'₂e₂)/K

"** (e;e, + e;e₂)/(7:-2x/0

31. PROSZĘ PRZEDSTAWIĆ TEST PUNKTU ZWROTNEGO CHOWA.

Test punktu zwrotnego Chowa (Test stabilności parametrów dla szeregów czasowych). Gdy szacujemy modele na podstawie szeregów czasowych, to często interesuje nas, czy parametry równania nie uległy zmianie w czasie. Testem wykorzystywanym w tej sytuacji jest test stabilności Chowa, zwany wówczas testem punktu zwrotnego. Dla testowania takiej hipotezy dzielimy zbiór obserwacji z całego okresu próby na dwa lub więcej podokresów. Przyjmijmy, że T - elementowy przedział próby dzielimy na pierwszy podokres, zawierający 77 obserwacji i drugi, zawierający Ti obserwacji, tak, że Ti + T; = T. Obowiązuje ten sam wymóg, aby liczba obserwacji w każdym z podokresów była większa od liczby szacowanych współczynników. Dalej procedura testowania przebiega analogicznie jak w przypadku testu stabilności.

Teoria ekonometrii nie dostarcza wyraźnych i szybkich reguł dzielenia próby o liczebności 7" na dwie podproby Ti i T_:. Niekiedy podziały takie są oczywiste, jak na przykład w przypadku szeregów czasowych z okresu przed transformacją i w jej trakcie, gdzie rok 1989 oddziela okres gospodarki centralnie planowanej od gospodarki o orientacji rynkowej. Niekiedy może to być data wprowadzenia nowych przepisów, jak na przykład importu używanych samochodów, łub zmiana stałego kursu walutowego na płynny itp. Gdy brak jest a priori wskazówek określających czas wprowadzenia zmiany strukturalnej, to praktyczną zasadą (regułą kciuka) jest użycie-85% do 90% obserwacji "dla estymacji i wykorzystanie dalszej części próby dla testowania stabilności parametrów. Dla testu punktu zwrotnego obowiązuje wzór:

(e'e-e;e,-e;e_;)/£

^M" (e;e, + e;e_:)/(r-2«A-) _?_

wielkość próby . K- liczba szacowanych parametrów..

32. PROSZĘ PRZEDSTAWIĆ TEST RESET I
OMÓWIĆ NA CZYM POLEGA NIEPOPRAWNA
SPECYFIKACJA FUNKCJI REGRESJI.

Niepoprawna specyfikacja to odchylenie od założeń
przyjętych w KMRL. Heteroscedastyczność,

"autokorelacja i nienormalność zaburzeń losowych naruszają założenie, że zaburzenia mają rozkład normalny, że są niezależne i że mają jednakowe wariancje). Test RESET jest ogólnym testem wychwytującym następujące błędy specyfikacji: 1) Pominięcie istotnych zmiennych objaśniających 2 (Niewłaściwa postać funkcyjna równania regresji. Oznacza to, że wszystkie zmienne y lub x winny być transformowane, a więc przedstawione jako funkcje logarytmiczne, potęgowe, odwrotności lub inne funkcje wyjściowych zmiennych.

3)Korelacja między X i ° wywołana błędem pomiaru niektórych zmiennych objaśniających z macierzy X lub kombinacją opóźnionych wartości zmiennej objaśnianej y lub autokorelacją zaburzenia losowego. W tej sytuacji estymatory MNK są obciążone i niezgodne Test RESET jest oparty na regresji rozszerzonej, w której obok zmiennych objaśniających X występuje drugi zbiór zmiennych Z, zawierający potęgi wartości wyliczonych zmiennej objaśnianej y, (najczęściej drugie i trzecie, niekiedy również wyższe), a więc:

z = (y²,y³).

Procedura testowania:

1 (Rozwiązujemy wyjściowe równanie regresji, które

oznaczmy przez

y = Xp₊e

Z rozwiązania wyznaczamy wartości wyliczone

v - - Y~

zmiennej objaśnianej ^J , a następnie ich kwadraty *

■ f

i trzecie potęgi ^J oraz współczynnik determinacji

d2

tego równania .który oznaczymy przez * . 2)Szacujemy równanie regresji rozszerzonej, które oznaczmy przez

y=X/?+Z)' + u

dodane są regresory Z i wyznaczamy współczynnik determinacji tego równania, który oznaczymy przez

3)Stawiamy "O*'(równanie regresji jest

poprawnie wyspecyfikowane), » ' (równanie

regresji jest niepoprawnie wyspecyfikowane). 4) Wyznaczamy statystykę:

przy

"^Ki (l-*₂²)/("-K-2),_gtóeliczbyi statystyce F są liczbami stopni swobody licznika i

mianownika statystyki, która ma rozkład ** Fishera-

Snedecora.

5)Weryfikujemy hipotezę zerową: jeśli F jest większa

od wartości krytycznej wziętej z tablic, to odrzucamy

hipotezę zerową o poprawności wyspecyfikowania

równania wyjściowego.

Z'

s =

eV

33. PROSZĘ PRZEDSTAWIĆ TEST
NORMALNOŚI ZABURZEŃ JARQUE - BERA.
Normalność zaburzeń jest zwykle sprawdzana za
pomocą miary skośności S i maiary kurtozy dla reszt K
wyznaczonych MNK. Miarę skośności definiuje się
jako iloraz trzeciego momentu przez odchylenie
standardowe reszt podniesione do trzeciej potęgi

O" o" . Jeśli S jest dodatnie, to mówimy

o prawostronnej skośności (prawy ogon rozkładu jest dłuższy od lewego) i odwrotnie. Dla rozkładu normalnego S = 0 . co oznacza symetrię rozkładu, a więc brak skośności.

reszt

Miarę kunozy (K) definiuje sic. jako iloraz czwartego momenąi przez odchylenie standardowe podniesione do czwartej potęgi, a więc:

<r a-⁴

Dla rozkładu normalnego kurtoza wynosi 3. Gdy <K>3 rozkład staje się platokurtyczny (j_est spłaszczony) zaś rozkład, w którym K < 3 nazywamy rozkładem leptokurtycznym (mówimy, że rozkład ma grube ogony i jest smuklejszy' od rozkładu normalnego). Test Jarque-Bera normalności zaburzeń ma postać :

JB = n

S> ₊(K-iy

6 24

■ł, gdzie S oznacza skośność, zaś K - kunozę. Test ten ma rozkład chi-kwadrat o

dwóch stopniach swobody: ~ ■*². Jeśli

Zlhforat _[0 odrzucamy hipotezę o normalności zaburzeń.

5B5H98W57;.- ~V?^xrx-rrw?~