Moment bezwładności
Zestawmy zależności obowiązujące przy ruchu postępowym i obrotowym. Siła wypadkowa F wywołująca przyspieszenie a spełnia równanie F = ma. Moment wypadkowy siły, wywołujący przyspieszenie kątowe a w ruchu obrotowym, spełnia zależność
Porównując te dwa wzory stwierdzimy, że wyrażenie
odgrywa w ruchu obrotowym podobną rolę jak masa w ruchu postępowym. Suma iloczynów mas poszczególnych cząstek bryły i kwadratów ich odległości od osi obrotu jest
miarą bezwładności bryły w ruchu obrotowym i nosi nazwę momentu bezwładności I względem danej osi obrotu
W przypadku ciała sztywnego o ciągłym rozkładzie masy dzielimy je w myśli na nieskończenie małe-elementy masy dm i sumowanie we wzorze zastępujemy ca kowaniem. Wtedy moment bezwładności wyraża się wzorem
I = ∫ r2 dm
przy czym całkowanie rozciągnięte jest na całą objętość ciała.
Ze wzoru widać, że o bezwładności bryły obracającej się nie decyduje suma mas poszczególnych cząstek bryły. Zasadnicze znaczenie ma rozmieszczenie mas względem osi obrotu.
Mw = αI
Jest to podstawowe prawo ruchu obrotowego. Zgodnie z tym prawem wypadkowy moment siły działający na ciało obracające się równa się iloczynowi momentu bezwładności względem aktualnej osi obrotu przez przyspieszenie kątowe obrotu bryły. (Prawo w tej prostej postaci obowiązuje, gdy moment bezwładności ciała jest niezmienny w czasie.)
Można moment bezwładności przedstawić jako:
I = m k2
Czynnik k nosi nazwę ramienia bezwładności. Jest to wielkość, która po podniesieniu do kwadratu i pomnożeniu przez całkowitą masę bryły daje moment bezwładności.
Dla podkreślenia zależności momentu bezwładności od wyboru osi podajemy twierdzenie Steinera. Zgodnie z tym twierdzeniem, moment bezwładności I względem dowolnej osi jest związany z momentem bezwładności I0 względem osi przechodzącej przez środek masy i równoległej do osi danej następującą zależnością:
I = I0 + md2,
gdzie:
m − oznacza całkowitą masę bryły,
d − odległość wzajemną obu osi.
Moduł sztywności
Jeżeli weźmiemy prostopadłościan o bokach a,b,c i unieruchomimy jego górną podstawę, a do dolnej przyłożymy siłę to przekształci się w równoległościan. Zakładając że nastąpi tylko odkształcenie sprężyste prostopadłościan nie zmieni swojej objętości lecz tylko swój kształt.
Za miarę odkształcenia przyjmujemy kąt 
. Kąt ten jest z reguły bardzo mały, gdyż jest to odkształcenie sprężyste. Naprężenia styczne możemy wyznaczyć ze wzoru:
gdzie:
G - moduł sztywności
- kąt odkształcenia postaciowego
Moduł sztywności G liczbowo jest równy naprężeniu stycznemu, gdy ciało zostanie odkształcone o taki kąt 
, którego tangens jest równy jedności.
Jednostką modułu sztywności jest 1N/m2 = 1Pa. Moduł ten odczytujemy z tablic.
Obliczanie momentu bezwładności metodą dynamiczną:
Zestawienie pomiarów:
Lp. |
L [m] |
t1 [s] |
t2 [s] |
t3 [s] |
tśr [s] |
I [kg*m2] |
ΔI |
1 |
0,028 |
6 |
6,12 |
5,97 |
6,03 |
0,002982 |
6E-05 |
2 |
0,038 |
6,8 |
6,97 |
6,78 |
6,85 |
0,003506 |
6,7E-05 |
3 |
0,048 |
7,4 |
7,5 |
7,11 |
7,336667 |
0,003905 |
7,5E-05 |
4 |
0,058 |
8,12 |
8,05 |
8,23 |
8,133333 |
0,004476 |
6,8E-05 |
5 |
0,068 |
8,8 |
8,75 |
8,52 |
8,69 |
0,005025 |
7,7E-05 |
6 |
0,078 |
9,15 |
9,25 |
9,07 |
9,156667 |
0,006412 |
8,7E-05 |
7 |
0,088 |
9,8 |
9,75 |
9,97 |
9,84 |
0,007195 |
1,1E-04 |
8 |
0,098 |
11,26 |
11,32 |
11,16 |
11,24667 |
0,007628 |
1,2E-04 |
9 |
0,108 |
10,8 |
10,12 |
10,23 |
10,38333 |
0,008334 |
1,3E-04 |
10 |
0,118 |
11,4 |
11,71 |
11,56 |
11,55667 |
0,009567 |
1,4E-04 |
11 |
0,128 |
12,4 |
12,25 |
12,41 |
12,35333 |
0,010752 |
1,6E-04 |
12 |
0,138 |
14,11 |
14,25 |
14,16 |
14,17333 |
0,01158 |
1,7E-04 |
13 |
0,148 |
15,22 |
15,14 |
14,98 |
15,11333 |
0,002982 |
6E-05 |
14 |
0,158 |
16,2 |
16,35 |
16,18 |
16,24333 |
0,003506 |
6,6E-05 |
15 |
0,168 |
16,6 |
16,56 |
16,73 |
16,63 |
0,003905 |
7,5E-05 |
Dane do obliczeni modułu bezwładności
r = L [m]
h = 512mm = 0,512m
m = 200g = 0,2kg
Momenty bezwładności obliczaliśmy ze wzorów:
RACHUNEK BŁĘDU:
Błąd 
obliczamy ze wzoru:
Wyniki obliczeń w tabelce po wyżej.
Wyznaczanie modułu sztywności metodą dynamiczną.
Zestawienie pomiarów:
|
10T [s] |
10T [s] |
10T [s] |
T średnie [s] |
G [N/m2] |
ΔG |
Bez sześcianu T0 |
18,20 |
18,49 |
18,30 |
1,83 |
|
|
I1=296,1*10-6 [kg*m2] |
23,20 |
23,26 |
23,26 |
2,32 |
637,02·108 |
9086 |
I2=301,1*10-6[kg*m2] |
23,20 |
23,28 |
23,28 |
2,33 |
645,8·108 |
10014 |
I3=287*10-6 [kg*m2] |
23 |
23,33 |
23,34 |
2,32 |
619,79·108 |
9621 |
Dane:
r = 0,25mm = 0,00025m
l1 = 137mm = 0,137m ± 0,004m
l2 = 136mm = 0,136m ± 0,004m
Moduł sztywności wyznaczamy ze wzoru:
G - moduł sztywności (sprężystości postaciowej)
T - czas 10 okresów
T0 - czas jednego okresu
RACHUNEK BŁĘDU:
4
Wyszukiwarka