Nr ćwiczenia	Temat ćwiczenia	Ocena z teorii
12	Wyznaczanie przerwy energetycznej
Nr zespołu	Nazwisko i imię	Ocena zaliczenia ćwiczenia
8	Szymański Rafał
Data	Wydział, rok, grupa	Uwagi
30 marca 2004	EAIiE, Ib, gr. 7

Cel ćwiczenia

Wyznaczenie wartości przerwy energetycznej i charakteru przejść optycznych dla wybranych półprzewodników na podstawie analizy spektralnej zależności współczynnika absorpcji uzyskanej w pomiarze współczynnika transmisji światła w funkcji długości fali.

Teoria

Przerwa energetyczna - zakres energii elektronów w ciele stałym, w którym elektrony są silnie rozpraszane na atomach. W efekcie nie ma w układzie elektronów o energii z tego zakresu. Istnienie i szerokość przerwy energetycznej oraz ewentualne położenie w niej energii Fermiego ma podstawowe znaczenie dla własności przewodzących układu. Jeżeli energia Fermiego mieści się w przerwie energetycznej, to układ w odpowiednio niskiej temperaturze jest izolatorem. Własności układu w wyższych temperaturach zależą od szerokości przerwy i od szczegółowego położenia energii Fermiego.

Statystyka Fermiego-Diraca, statystyka kwantowa dla cząstek o spinie połówkowym (Fermiony) i wynikającej stąd antysymetrycznej funkcji falowej. W danym stanie kwantowym może znajdować się co najwyżej jedna taka cząstka (wynika to z zakazu Pauliego). Własność ta jest odpowiedzialna za zjawiska niskotemperaturowe zachodzące w układach zbudowanych z fermionów (np. ³He w temperaturze <0,1 K).

Typową cechą termodynamiczną układu cząstek podlegającemu statystyce Fermiego-Diraca jest liniowa zależność ciepła właściwego od temperatury (np. dla gazu elektronów w metalu).

Schematyczna ilustracja: (a) przewodnika, (b) czystego półprzewodnika, (c) izolatora. W (b) przerwa energetyczna jest względnie mała, a w (c) względnie duża. Przewodnictwo elektryczne w czystych półprzewodnikach można często znacznie powiększyć dodając małe ilości innych pierwiastków takich jak arsen albo bor. Sam proces zachodzi w wyniku dyfuzji termicznej albo implantacji.

Dielektryk, izolator elektryczny, substancja materialna praktycznie nie posiadająca swobodnych nośników prądu elektrycznego. W dielektryku o własnościach elektrycznych ciała decydują ładunki związane.

W dielektryku zewnętrzne pole elektryczne E powoduje polaryzację, tj. nieznaczne przesunięcie ładunków ujemnych względem dodatnich, co prowadzi do powstania momentu dipolowego każdego elementu objętości dielektryka.

Wypadkowe pole elektryczne wewnątrz dielektryka (pole indukcji elektrycznej, pole przesunięcia dielektrycznego) oznacza się D, oraz

D = E + 4πP,

gdzie P jest wektorem polaryzacji i równa się gęstości momentu dipolowego.

Wektory D, E, P są równoległe w dialektrycie izotropowych, wtedy

P = X_eE, D = εE, (ε-1)/4π = X_e,

gdzie: ε - przenikalność dielektryczna danego materiału, X_e - jego podatność dielektryczna (skalary).

W ogólności, dla dielektryków anizotropowych X_e, ε są reprezentowane przez tensory X_e, ε, wówczas

P = X_eE, D = εE.

Półprzewodniki to substancje krystaliczne, których konduktywność (zwana też konduktancją właściwą) jest rzędu 10^-8 do 10⁵ S/m (simensa na metr), co plasuje je pomiędzy przewodnikami a izolatorami. Wartość rezystancji półprzewodnika maleje wraz ze wzrostem temperatury.

W przemyśle elektronicznym najczęściej stosowanymi materiałami półprzewodnikowymi są pierwiastki grupy IV, np. krzem, german oraz związki pierwiastków: grup III i V (np. arsenek galu, antymonek indu) lub II i VI. Materiały półprzewodnikowe są wytwarzane w postaci monokryształu, w którym ich powłoki walencyjne zachodzą na siebie.

Półprzewodniki samoistne (czterowartościowe) nie posiadają zbyt wielu elektronów swobodnych (duży opór właściwy, albo mała konduktywność), dlatego też stosuje się domieszkowanie. Materiały uzyskane przez domieszkowanie nazywają się półprzewodnikami niesamoistnymi.

Domieszkowanie polega na wprowadzeniu do struktury kryształu pierwiastków dwu-, trój-, pięcio-, lub sześciowartościowych. Ponieważ w wiązaniach kowalencyjnych biorą udział cztery elektrony, więc w przypadku domieszki trójwartościowej pozostaje niezapełnione miejsce w powłoce walencyjnej czyli tzw. dziura, zaś w przypadku domieszki pięciowartościowej jeden nadmiarowy elektron.

Wprowadzenie domieszki pięciowartościowej do kryształu np. krzemu ("Si" - 4 wartościowy) powoduje powstanie półprzewodnika typu n, zaś domieszka nazywana jest domieszką donorową. W takim półprzewodniku powstaje, w przerwie energii wzbronionej, dodatkowy poziom, poziom donorowy, oddalony od dna pasma przewodnictwa o około 0,01 eV. Z poziomu donorowego mogą "przeskoczyć" elektrony. Swobodnymi ładunkami w takim półprzewodniku są elektrony (ładunki ujemne), dlatego w tym przypadku mówi się o przewodnictwie elektronowym lub przewodnictwie typu n (z ang. negative - ujemny).

Wprowadzenie domieszki trójwartościowej powoduje powstanie półprzewodnika typu p, zaś domieszka nazywana jest domieszką akceptorową. W tym przypadku brak jest swobodnych elektronów, ale za to dziury (czyli przemieszczające się w krysztale niezapełnione miejsca w powłoce walencyjnej) zachowują się jak swobodne ładunki dodatnie. W tak domieszkowanym półprzewodniku mówi się o przewodnictwie dziurowym lub typu p (z ang. positive - dodatni). W takim półprzewodniku powstaje, w przerwie energii wzbronionej, dodatkowy poziom, poziom akceptorowy oddalony od pasma wzbronionego o około 0,01 eV, na który to poziom z pasma walencyjnego mogą "przeskoczyć" elektrony pozostawiając za sobą dziurę, której ładunek co do wartości jest równy ładunkowi elektronu ale ma znak przeciwny. Dziury, ze względu na swoja masę > od masy elektronów, mają mniejszą ruchliwość ("u").

Foton, kwant pola promieniowania elektromagnetycznego. Masa spoczynkowa fotonu równa jest zero (oszacowanie eksperymentalne daje wielkość < 10^-48g), porusza się z prędkością światła c, ma energię
E = hv, (h - stała Plancka, ν - częstotliwość odpowiadającej fali elektromagnetycznej), jest bozonem, nie posiada momentu magnetycznego ani ładunku elektrycznego.

Fotony powstają w wyniku przejścia układu, np. atomu lub jądra atomowego ze stanu wzbudzonego do stanu o niższej energii, podczas zmiany pędu cząstki naładowanej, a także w wyniku anihilacji par elektron-pozyton.

Hipotezę istnienia fotonu wysunął w 1905 A. Einstein. Foton oddziałuje elektromagnetycznie ze wszystkimi cząstkami elementarnymi. Teorię fotonu i jego oddziaływań jest przedmiotem badań elektrodynamiki kwantowej.

Bozon, obiekt kwantowy o symetrycznej funkcji falowej, podlega statystyce (rozkładowi) Bosego-Einsteina, ma spin całkowity. Bozonami są pewne cząstki elementarne, takie jak: kwant promieniowania elektromagnetycznego (foton), bozony pośredniczące W⁺ W^- Z⁰ i gluony, ale również pewne quasi-cząstki pojawiające się w kryształach (np. fonon) oraz mezony. Bozon jest też układem parzystej liczby fermionów.

Charakterystyczną cechą bozonów jest to, że wiele ich może znajdować się w tym samym stanie kwantowym.

Absorpcja - pochłanianie (całkowite lub częściowe) energii promieniowania elektromagnetycznego (np. światła), korpuskularnego (np. neutronów) lub energii fal sprężystych (np. dźwięku) przez ośrodek, w którym rozchodzi się to promieniowanie. Fizyczny mechanizm absorpcji zależy od rodzaju promieniowania i właściwości ośrodka. Absorpcja promieniowania zwiększa energię ośrodka - powoduje np. wzbudzenie jąder atomowych, atomów, cząsteczek i w konsekwencji może doprowadzić np. do reakcji jądrowych, zjawiska fotoelektrycznego, reakcji fotochemicznej, zwiększenia energii kinetycznej cząsteczek, powtórnej emisji promieniowania elektromagnetycznego, (np. luminescencja) lub - w przypadku absorpcji fal sprężystych - zmiany struktury molekularnej (np. dysocjacja asocjatów). Miarą zdolności absorpcyjnej ośrodka jest współczynnik absorpcji; zależy on od rodzaju ośrodka i długości fali (częstości drgań) promieniowania, np. metale pochłaniają bardzo silnie światło w całym zakresie widma, woda pochłania silnie podczerwień, a dla światła widzialnego i bliskiego nadfioletu jest prawie przezroczysta. Natężenie promieniowania przechodzącego przez ośrodek ulega osłabieniu wykładniczo.

Prawo Bouguera-Lamberta

Natężenie I światła (lub innego promieniowania elektromagnetycznego) maleje wykładniczo z odległością d, na jaką wchodzi ono do ośrodka pochłaniającego, czyli:

I = I₀ · exp(-µd),

gdzie I₀ oznacza natężenie promieniowania wchodzącego do ośrodka, a µ współczynnik absorpcji. Nazwa pochodzi od nazwisk Pierre'a Bouguera (1698-1758) oraz Johanna Heinricha Lamberta (1728-77).

Współczynnik absorpcji

Definiujemy ogólnie współczynnik X_v absorpcji (nieprzezroczystości) w taki sposób, że element materii o przekroju dA i długości ds pobiera z wiązki dω prostopadłej do dA ilość energii równą:

dE = X_v I_v dA ds dω dv dt

Wymiar współczynnika [X_v] = cm^-1. W ośrodku statycznym X_v jest izotropowe, w ośrodku ruchomym występuje zależność od kąta spowodowana zależnością kątową efektu Dopplera. Warto rozróżniać absorpcję κ_v i rozpraszanie σ_v jako składowe całkowitej nieprzezroczystości: X_v = κ_{v +} σ_v. W skład absorpcji κ_v wchodzą przejścia:

- związano-związane,

- związano-swobodne,

- swobodno-swobodne,

- dwuelektrodowe.

W skład rozpraszania σ_v wchodzą procesy:

- związano-związane,

- rozpraszanie na swobodnym elektronie (przy małych energiach - rozpraszanie Thomsona, przy hv >> mc² -rozpraszanie Comptona),

- rozpraszanie na atomie, molekule (rozpraszanie Rayleigha),

Najczęściej emisję wymuszoną dołącza się do X_v jako negatywną absorpcję.

Współczynnik odbicia, stosunek wielkości strumienia danego rodzaju promieniowania odbitego od ciała do analogicznego strumienia padającego. Definiuje się również amplitudowy współczynnik odbicia równy stosunkowi amplitud fal padającej i odbitej.

Elektron może zwiększyć swoją energię jedynie kosztem absorpcji promieniowania elektromagnetycznego. Jeżeli na półprzewodnik padają fotony o energii wystarczającej na przeniesienie elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa to są one silnie absorbowane. Zatem w widmie absorpcyjnym półprzewodnika można wyróżnić gwałtowny wzrost współczynnika absorpcji w pobliżu energii hn równej szerokości przerwy energetycznej E_g. Efekty tego oddziaływania można prześledzić stosując tzw. materiałowe równania Maxwell'a. Rozwiązaniem tych równań jest równanie fali rozchodzącej się w ośrodku absorbującym:

,

gdzie n jest rzeczywistym współczynnikiem załamania, a wielkość ℵ jest to współczynnik ekstyncji, który opisuje absorpcję światła. Drugi czynnik ekspotencjalny opisuje tłumienie fali wraz z odległością. Natężenie fali jest wprost proporcjonalne do średniej czasowej z kwadratu pola elektrycznego ( I ~ E² ). Zatem stosunek natężenia promieniowania padającego do promieniowania, które przebyło pewną drogę wyraża się:

,

gdzie α to współczynnik absorpcji.

Definicją jego jest:

dl = - α l dx,

gdzie dl to zmiana natężenia fali na odległości dx.

Wyrażenie na energetyczną zależność współczynnika absorpcji dla przejść optycznych w obszarze krawędzi absorpcji dane jest:

gdzie c_m - stała zależna od rodzaju przejścia.

Chcąc określić wartość przerwy energetycznej E_g z pomiarów optycznych należy wyznaczyć wartość współczynnika absorpcji α, który z kolei można wyznaczyć z pomiarów współczynnika transmisji T, który jest stosunkiem natężenia fali elektromagnetycznej przechodzącej przez próbkę do natężenia fali padającej na próbkę. Transmisję światła można przedstawić jako:

,

gdzie
jest współczynnikiem odbicia światła na granicy powietrze-warstwa, a
jest współczynnikiem odbicia światła na granicy warstwa-podłoże, n_s jest współczynnikiem załamania podłoża, d grubość warstwy.

Złożoność wyrażenia na transmisje wynika z faktu, iż światło przechodzące przez cienką warstwę ulega nie tylko absorpcji, ale także wielokrotnym odbiciom na powierzchniach rozdzielających różne ośrodki optyczne. Ponad to w widmie transmisji występują maksima i minima interferencyjne. Zjawisko interferencji zachodzi, ponieważ grubość warstwy półprzewodnika jest porównywalna z długością fali promieniowania elektromagnetycznego padającego na badaną próbkę.

Współczynnik załamania n można wyznaczyć korzystając z minimów i maksimów interferencyjnych transmisji podstawiając za cos odpowiednio jego wartość maksymalną i minimalną. Z powstałych równań otrzymujemy:

gdzie:

Mając wyznaczone R₁₂ i R₂₃ (niezależne od energii) oraz zmierzoną wartość transmisji T = T(hv), można wyliczyć dla każdej energii (długości fali) wartość współczynnika absorpcji korzystając ze wzoru:

Wzór ten jest słuszny w obszarze dużej absorpcji.

---