Taylora szereg, jeden z potęgowych szeregów funkcyjnych, uogólnienie szeregu Maclaurina na przypadki rozwinięcia funkcji w dowolnym punkcie.

Gdy pewna funkcja f(x) jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w otoczeniu pewnego punktu x = a, to może być przedstawiona dla każdego punktu x należącego do tego otoczenia w postaci rozwinięcia:

f(x) = f(a) + Σ{f⁽ⁿ⁾(a)(x - a)ⁿ}/n!,

gdzie f⁽ⁿ⁾(a) - wartość n-tej pochodnej funkcji f w punkcie a (twórcą szeregu Taylora jest B. Taylor). Rozwinięcie na szereg Taylora pozwala obliczyć przybliżoną wartość funkcji

f(x) = f(a) + Σ{f⁽ⁿ⁾(a)(x - a)ⁿ}/n! + R_n,

gdzie R_n - tzw. reszta, która, jeśli jest dostatecznie mała, może być zaniedbana (tzw. wzór Taylora).

Równanie różniczkowe Eulera - to równanie różniczkowe postaci:

ax²y'' + bxy' + cy = f(x) dla
,

gdzie a, b, c są stałymi, a równanie jest liniowe względem zmiennych.

Jeżeli f(x) = 0 to równanie przyjmuje postać:

ax²y'' + bxy' + cy = 0 dla

i nazywamy je równaniem jednorodnym.

---