CAŁKA OZNACZONA = liczba, CAŁKA NIEOZNACZONA = funkcja

ŚREDNICA PRZEWDZIAŁU Pn: δ(Pn) = max {k=1..n} {X_k-X_k-1=ΔX_k}

(Pn)^∞_n=1 jest normalny ↔ δ(Pn)→0 podział na równe części to podział normalny, podział na nierówne - nie jest normalny

DEFINICJA WARUNKOWA CAŁKI: jeśli dla każdego ciągu normalnego podziału (przedziału) <a,b> i niezależnie od wyboru ciągów punktów pośrednich Xk ∃! granica ciągu Sn (sum całkowych) to tę granicę nazywamy całką oznaczoną na przedziale <a,b> i oznaczamy ∫_a^b f(x)dx

∫_G fdm⁽ⁿ⁾=lim_{{δn→0,b->∞}} ∑_k=1ⁿ f(X_k) |G_k|

∫_G 1dm⁽ⁿ⁾=lim_{δn→0}∑_k=1ⁿ1|G_k|=|G|

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ: Gdy f(x)>=0 ∀x∈<a,b> wartość całki ∫_a^b f(x)dx jest polem trapezu krzywoliniowego czyli polem figury zawartej między osią X a wykresem funkcji i płaszczyznami x=a i x=b

WARUNEK DOSTATECZNY CAŁKOWALNOŚCI: f∈C°(<a,b>)

WARUNEK KONIECZNY: f jest ograniczona na <a,b>

TW. NEWTONA LEIBNITZA: ∫_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

TW O WARTOŚCI ŚREDNIEJ: ∃x∈(a,b): f(x)=(∫_a^bf(x)dx)/(b-a)↔

∃x∈(a,b):∫_a^bf(x)dx=f(x)(b-a)

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE: Z: g:<a,b>→g(a)=α, g(b)=β, g∈C¹(<a,b>) i f∈C°(<α,β>),

T: ∫_a^bf(g(x))*g'(x)dx=g(x)=t, g'(x)dx=dt, x|a|b/t|α|β=∫_α^βf(t)dt

CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI: (f,g∈C¹(<a,b>)

T: ∫_a^bf '(x)*g(x)dx=[f(x)*g(x)]^b_a-∫_a^bf(x)g'(x)dx

ADDYTYWNOŚĆ WZGLĘDEM PRZEDZIAŁU CAŁKOWANIA: ∫_a^bf+∫_b^cf=∫_a^cf

∫_a^bf= ^--∫_b^af

∀x∈<a,b> f(x)>=<0→∫_a^bf(x)dx>=<0

f(x)<=g(x)→∫_a^bf(x)dx<=∫_a^bg(x)dx

TW WEISTRASSA: ∃m,M∈R ∀x∈<a,b> m<=f(x)<=M

T: m(b-a)<=∫_a^bf(x)dx<=M(b-a)

∫_-a^af. parzystej=2∫₀^af, ∫_-a^af. nieparzystej=0

∫₀^∞f(x)dx=lim_{β→∞}∫_a^βf(x)dx=lim_{β→∞}(f(β)-f(a))=F(∞)-F(a) F(∞)∈R(∃)→c. zbieżna, F(a)∉R(nie∃)→c. rozbieżna

∫_-∞^∞f(x)dx=∫_-∞^cf(x)dx+∫_c^∞f(x)dx=F(∞)-F(-∞) ←c. zbieżna gdy obie są zbieżne

∫_@^bf(x)dx=lim_{α→a+}∫_α^bf(x)dx=lim_{α→a+}(F(b)-F(α))=F(b)-F(a⁺)

∫_a^φf(x)dx=lim_{β→b-_}∫_a^βf(x)dx=F(b^-)-F(a)

∫_@^φf(x)dx=∫_@^cf(x)dx+∫_c^φf(x)dx=F(b^-)-F(a⁺)

∫_a©^bf(x)dx=∫_a^©f(x)dx+∫_©^bf(x)dx

DŁUGOŚĆ ŁUKU: |l_AB|=∫_α^β√(x'(t)²+y'(t)²)dt

|P|=∫_α^βy(t)x'(t)dt

CAŁKI WIELOKROTNE:

przedział jest NIEZDEGENEROWANY↔∀k∈I_n={1..n} a_k<b_k

ZDEGENEROWANY↔a_k<=b_k i ∃i: a_i=b_i

OBJĘTOŚĆ PRZEDZIAŁU n- WYMIAROWEGO: vol P⁽ⁿ⁾=(b₁-a₁)(b₂-a₂)..(b_n-a_n) dla zdegenerowanego vol P⁽ⁿ⁾=0, volΦ=0

TWORZYMY figurę utworzoną ze skończonej liczby przedziałów n- wymiarowych o wnętrzach parami rozłącznych. Objętość tej figury to suma objętości figur przedziałów. Figura jest WPISANA w G↔ zawiera się w tym zbiorze (OPISANA gdy zawiera zbiór G). Każda figura ma miarę wewnętrzną i zewnętrzną: zewnętrzna - kres dolny objętości wszystkich możliwych figur opisanych, wewnętrzna - kres górny wpisanych.

MIARA JORDANA: (zbiór ograniczony i niepusty) jeśli miara zewnętrzna = wewnętrznej →ta wartość to miara Jordana |G| lub m(G) →zbiór jest MIERZALNY

ZBIÓR NIEMIERZALNY w sensie Jordana → zewnętrzna> wewnętrznej

jeśli G jest mierzalny to intG też i |G|=|intG| i |δG|=0 (|δG| - miara brzegu)

DEFINICJA ∫ n- WYMIAROWEJ: G- zbiór ograniczony, domknięty, mierzalny, f -ograniczona na G: Jeśli ∃ granica I∈R (skończona) dla wszystkich normalnych ciągów sum całkowych i przy dowolnym wyborze ciągów punktów pośrednich w elementach podziału to ta granica to ∫_G fdm⁽ⁿ⁾

|∫_Gf|<=∫_G|f|

Jeśli f jest ograniczona i ciągła (prawie wszędzie) na G to f jest CAŁKOWALNA na G

Jeśli obszar jest normalny w kierunku x i y to wynik całkowania nie zależy od przyjęcia wypukłości a do obliczania stosujemy dowolną iterację.

Uogólnieniem całkowania po obszarze normalnym jest całka po obszarze regularnym który jest sumą obszarów wypukłych w kierunku jakiejś osi o wnętrzach parami rozłącznych.

ZAMIANA WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH NA BIEGUNOWE: x=r*cosϕ, y=r*sinϕ, J=|dx/dr,dx/dϕ↵dy/dr,dy/dϕ| ∫∫_Df(x,y)dxdy=∫∫_Δf(r*cosϕ,r*sinϕ)r*dϕdr (D- obszar regularny i domknięty)

ZAMIANA WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH NA SFERYCZNE: ϕ- kąt poziomy, Θ- kąt od cienia do promienia: x=r*cosϕcosΘ, y=r*sinϕcosΘ, z=r*sinΘ, J=r²*cosΘ

MASA: m_D=∫g_mdm, MOMENT STATYCZNY: M_F=∫_Dεϕd(x,F)dm, MOMENT BEZWŁADNOŚCI: B_F=∫_Dϕd(x,F)dm, PARCIE CIECZY F=γ∫∫_Dd((x,y),l)dxdy, PRACA NA WYPOMPOWANIE CIECZY: L=γ∫∫∫_Dd((x,y,z),H), ŚRODEK CIĘŻKOŚCI: (Xs,Ys,Zs):

Xs=(∫_Dgxdm)/(∫_Dgdm)

DEF ŁUKU REGULARNEGO: łuk regularny o początkach A i B K=AB to HONOGRAF (obraz) funkcji wektorowej r: t∈<αβ>→r(t)=[x(t),y(t),z(t)]∈R³⁽²⁾ dla z(t)=0→łuk płaski

F wektorowa r określa jednoznacznie uporządkowanie punktów (orientację) na honografie

KRZYWA jest ZAMNIĘTA jeśli r(α)=r(β) i r jest różnowartościowa w przedziałach <α,β) lub (α,β>

KRZYWA KAWAŁKAMI REGULARNA: skończona suma łuków regularnych (łamana): koniec jednego = początek drugiego

DEF CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ: Jeśli ∃! rzeczywista liczba taka, że jest granicą dowolnego ciągu sum całkowych Sn I=lim _{{n→∞, δn→0}} Sn przy normalnym ciągu podziału łuku i niezależnie od wyboru punktów pośrednich Ak to nazywamy ją wartością całki krzywoliniowej

∫_K=AB W^odl INTERPRETACJA: praca potrzebna na przeniesienie jednostkowej masy wzdłuż łuku K przy działaniu siły W. Gdy K jest zamknięta to ∫ ta to cyrkulacja pola W wzdłuż krzywej K

∫_K=ABf(x,y,z)dl=∫_α^βf|_K=AB |r'(t)|dt=∫_α^βf|_K=AB√(x'(t)²+y'(t)²+z'(t)²)dt

∫_K=ABW^odl=∫_α^βW|_K^or(t)dt=∫_α^β[p(x(t),y(t),z(t))*x'(t) +Q( )*y'(t)+R( )z'(t)]dt

DŁUGOŚĆ ŁUKU: l_K=∫_Kdl, MASA ŁUKU: m_l=∫_Kg_ndl, MOMENT BEZWŁADNOŚCI: B_F=∫_Kg_nd²(x,F)dl, ŚRODEK CIĘŻKOŚCI: Xs=(∫_Kg_nxdl)/( ∫g_ndl)

TW GREENA: D- normalny względem osi X i Y (wypukły względem obu osi) ∂D- krzywa zamknięta - kawałkami regularna (x,y)∈D→W(x,y)=[P(x,y),Q(x,y)]∈C¹(D), ∫^{^}W^odl=∫∫_D[Q'_x(x,y)-P'_y(x,y)]dxdy

ZAGADNIENIE CAUSHIEGO (gwarantowane przez ciągłość): znalezienie rozwiązania spełniającego: y(x₀)=y₀, y'(x₀)=y₁, y''(x₀)=y₂

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH: y'=p(x)*g(y), ∫dy/(y)=∫dx/(x)

RÓWNANIE JEDNORODNE: y'=p(y/x)→y/x=u(x)

OPERATOR RÓŻNICZKOWANIA CAŁKOWEGO: Ln=dⁿ/dxn+P_(n-1)*d^n-1/dx^n-1+...+p₁*d/dx+p₀(x)

TWIERDZENIE o STRUKTURZE (o RORJ): y₁..y_n∈C^n-1(Xp): wszystkie są rozwiązaniem RJ, WROŃSKIAN: W(x)=det[y₁(x),y₂(x)..y_n(x)↵y'₁(x), y'₂(x)..y'_n(x)↵...↵y^n-1₁(x)..y^n-1_n(x)]_nxn≠0, y₁..y_n są LN w C°(Xp)

∀C₁..C_n∈R, C₁y₁+C₂y₂+..+C_ny_n=0→C₁=C₂=..=C_n=0

RL₁: y'+p₀(x)*y=g(x) → y=C₁y₀(x)+y_s(x) → y=C₁y₁(x)+y₁(x)*∫[f(x)/y₁(x)]dx, y₁(x)=exp[-∫p₁(x)dx]

r² + pr + q = 0:

Δ>0: y₁=exp(r₁x), y₂=exp(r₂x) W(x)≠0, y₀=C₁*exp(r₁x)+C₂*exp(r₂x)

Δ=0: y₁=exp(r₀x), y₂=x*exp(r₀x)W(x)>0

Δ<0: r₁=(-p-i√(-Δ))/2, r₂=(-p+i√(-Δ))/2=α±iβ, α=p/2, β=√(-Δ)/2, y₁=exp(αx)*cosβx, y₂=exp(αx)*sinβx

f(x)= e^αx[W_l1⁽¹⁾(x)cosβx+W_l2⁽²⁾(x)sinβx]

brak kolizji→ (α+iβ nie jest √ równania charakterystycznego),

y_s= e^αx[(A_mx^m+ A₁x+A₀)cosβx+(B_nxⁿ+..B₀)sinβx],

jeśli α+iβ jest √ k- krotnym →y_s=x^k

ZAGADNIENIE CAUSHIEGO DLA UKŁADÓW RÓWNAŃ: WP: x₁(t)=x₁, x²(t)=x₂, t∈(t₀, t_k)

∫x^αdx=1/(α+1)*x^α-1+C

In=∫cosⁿxdx=1/2*3/4*5/6*...*(n-1)/n* π/2 dla n parzystego lub 2/3*4/5*6/7*(n-1)/n dla n nieparzystego

∫W_n(x)/√(ax²+bx+c)dx=W_n-1(x)√(...)+P∫dx/√(..)

---