POLITECHNIKA WARSZAWSKA

Laboratorium z przedmiotu: PODSTAWY TECHNIKI POMIAROWEJ Ćwiczenie nr 4. Temat : Wyznaczanie charakterystyk zmiennych losowych na podstawie danych eksperymentalnych uzyskanych w automatycznych stanowiskach kontroli. Grupa LTK sem VI Zespół nr 1 : 1. Halina Kobylińska 2. Krzysztof Filipiak 3. Lech Kielech 4. Grzegorz Krawczyk 5. Lech Olszewski Data wykonania ćwiczenia : 25.03.2001r.

1. CEL ĆWICZENIA

Zapoznanie się z podstawowymi metodami statystycznej oceny wyników pomiarów otrzymanych na stanowisku kontroli produkcji.

2. OPIS TEORETYCZNY

Uzyskany w wyniku pomiarów ciąg n - elementowy wartości pewnej wielkości x, utożsamiamy ze zmienną losową. Wartości (x₁, x₂, ..., x_n) zmiennej losowej x nazywamy próbą n - elementową. Zadaniem opracowującego wyniki pomiarów eksperymentalnych jest znalezienie ocen (wartości przybliżonych) dla charakterystyk liczbowych danej zmiennej losowej.

Charakterystykami tymi są :

• wartość średnia (oczekiwana) E(x),

• odchylenie standardowe
  ,

• wariancja D²(x),

• momenty wyższych rzędów
  ,
  ,

• współczynnik asymetrii i spłaszczenia
  ,
  .

Oceny tych charakterystyk, uzyskane na podstawie wyników badań

Eksperymentalnych, oznaczamy tymi samymi literami, co szukane charakterystyki, lecz z „wężykiem” u góry
,
, itp. Przy nieograniczonym wzroście liczebności próby n ocena powinna być zbieżna wg prawdopodobieństwa do ocenianego parametru.

Ocenę nazywamy nieobciążoną, jeśli przy dowolnej liczebności próby jej wartość oczekiwana pokrywa się z szukanym parametrem.

Średnia arytmetyczna z wyników n doświadczeń :

gdzie :

c - dowolna liczba (pozorne zero) jest oceną nieobciążonej wartości oczekiwanej.

Oceną nieobciążoną odchylenia standardowego jest :

,

gdzie :

- współczynnik będący funkcją n.

Mając liczną próbę, elementy próby łączymy, grupujemy w klasach, tworząc tzw. uporządkowany szereg rozdzielczy (x⁰, x¹)(x¹, x²), ...,(x^k-1,x^k). Oceny wartości oczekiwanej, wariancji i momentów wyższych rzędów dokonuje się wtedy w sposób przybliżony, korzystając ze wzorów :

,

gdzie :

- wartość średnia w j-tej klasie,

- częstość (prawdopodobieństwo) zdarzenia w j-tej klasie.

Korzystając z danych uzyskanych przy tworzeniu uporządkowanego szeregu rozdzielczego, wykonujemy histogram, czyli zależność
, oraz dystrybuantę empiryczną
.

3. OPIS STANOWISKA POMIAROWEGO
   

Za pomocą czujnika indukcyjno - analogowego Vistronik A, dla wskazanego przez prowadzącego ćwiczenie, zbioru detali dokonaliśmy pomiaru odchyłek wymiaru podlegającego kontroli.

Wyniki pomiarów odchyłki przedstawia poniższa tabela:

Lp.	odchyłka	wymiar detalu [mm]	Lp.	Odchyłka [μm]	wymiar detalu [mm]
						[μm]
1	-140	14,860	31	+50	15,050
2	+140	15,140	32	+190	15,190
3	+140	15,140	33	+170	15,170
4	-120	14,880	34	+450	15,450
5	-120	14,880	35	-140	14,860
6	+90	15,090	36	-200	14,800
7	+290	15,290	37	+20	15,020
8	+240	15,240	38	-10	14,990
9	+110	15,110	39	-140	14,860
10	+440	15,440	40	+190	15,190
11	+110	15,110	41	+410	15,410
12	+100	15,100	42	+380	15,380
13	+120	15,120	43	+360	15,360
14	+250	15,250	44	+410	15,410
15	+110	15,110	45	+470	15,470
16	-100	14,900	46	+90	15,090
17	+300	15,300	47	+440	15,440
18	+30	15,030	48	+360	15,360
19	+80	15,080	49	+490	15,490
20	+210	15,210	50	+500	15,500
21	+170	15,170	51	+380	15,380
22	+210	15,210	52	+330	15,330
23	+180	15,180	53	-120	14,880
24	+80	15,080	54	+30	15,030
25	+310	15,310	55	+70	15,070
26	+90	15,090	56	-220	14,780
27	+220	15,220	57	-130	14,870
28	+180	15,180	58	+140	15,140
29	+420	15,420	59	-20	14,930
30	+90	15,090	60	+70	15,070

Wartość nominalna wymiaru 15 mm.

Ustaliliśmy wartości minimalną i maksymalną pomiarów, które wynoszą:

• min. -220 µm

• max. +500 µm

4. PRZYKŁADOWE WYLICZENIA
   

Tworzenie uporządkowanego szeregu rozdzielczego.

Otrzymane wyniki pomiarów pogrupowaliśmy w 8 klas i dokonaliśmy obliczeń częstości klasy, oraz dystrybuanty empirycznej

Nr klasy (grupy)	1	2	3	4	5	6	7	8
Granica klasy	14,780	14,860	14,990	15,080	15,180	15,290	15,380	15,450
		14,860	14,990	15,080	15,180	15,290	15,380	15,450	15,500
Wartość średnia klasy	14,820	14,925	15,035	15,130	15,235	15,335	15,415	15,475
Liczba elementów w klasie mj	5	7	8	15	9	7	6	3
Częstość klasy Pj	0,08	0,12	0,13	0,25	0,15	0,12	0,10	0,05
Dystrybuanta Wj	0,05	0,17	0,30	0,55	0,70	0,82	0,92	0,97

Wartości oczekiwaną i wariancję oceniliśmy korzystając ze wzorów :

Częstość klasy obliczyliśmy ze wzoru:

Dystrybuantę obliczyliśmy ze wzoru:

5. WYKRESY
   

Histogram częstości.

Wykres dystrybuanty.

Dobór rozkładu teoretycznego oraz weryfikacja hipotezy o zgodności.

Dokonaliśmy tego za pomocą programu LSP4, który realizuje następujące zadania :

• wczytanie wyników kontroli wymiarów detali,

• obliczenia wstępne i wydruk charakterystyk empirycznych,

• dobór rozkładu empirycznego i testowanie hipotezy o zgodności z rozkładami teoretycznymi,

• wydruk wyników końcowych.

Rys. Ogólny schemat blokowy ćwiczenia.

6. WNIOSKI
   

W celu wyeliminowania błędów grubych posłużyliśmy się testem Romanowskiego, który w zależności od przyjętego poziomu istotności alfa decyduje o ilości danych eksperymentalnych dopuszczonych do dalszej analizy.

Przy założonym poziomie istotności α=0,02 i w momencie gdy wynik testowania hipotezy o zgodności dwóch rozkładów dli i-tej klasy jest większy od poziomu istotności - hipoteza zostaje przyjęta. Aby rozkład został przyjęty musi spełniać ten warunek we wszystkich (w naszym przypadku 12) klasach.

W naszym przypadku badany rozkład empiryczny okazał się niezgodny z teoretycznym rozkładem normalnym. Przy teście Romanowskiego dla poziomu istotności α=0,02 rozkład normalny nie został przyjęty we wszystkich klasach. Pozostałe rozkłady, jak również rozkład normalny zostały odrzucone. Wyniki przeprowadzonych przez nas testów zawarte są w dołączonym przez nas wydruku komputerowym.

W żadnej z przeprowadzonej przez nas prób badany rozkład empiryczny nie okazał się zgodny z rozkładem normalnym. Można przypuszczać, że gdy jest za mało danych liczbowych zachodzi duże prawdopodobieństwo, że próbka stanie się mało reprezentatywna, czyli nie będziemy w stanie dobrać do niej żadnego rozkładu teoretycznego.

Jak widać istotnym elementem testów jest dobór odpowiedniego poziomu istotności w teście Romanowskiego. Wiąże się on z liczbą danych przeznaczonych do dalszego testowania.

W masowej produkcji jest niemożliwe sprawdzenie każdego detalu w zakresie dokładności jego wykonania, dlatego też sprawdza się dokładnie tylko pewną próbkę n - elementową wybraną w sposób losowy z całej produkcji. Ten sposób postępowania nazywa się statystyczną kontrolą jakości i stąd też wynika potrzeba nabycia umiejętności wyznaczania charakterystyk zmiennych losowych. Umiejętność ta może być wykorzystana do oceny wyników pomiarów uzyskanych metodami doświadczalnymi dowolnej wielkości fizycznej.

2

Stanowisko

przygotowane

zgodnie z rys.

Uzyskanie danych

z kontroli

wymiarów

Program

na IBM PC

---