Rok studiów III	Przybyło Łukasz		2003/2004
Nr ćw. 18	Badanie zależności temperaturowych przewodnictwa w metalach.		Prowadzący. Prof. C. Kajtoch
Data rozpoczęcia: 28.11.2003	Uwagi:	Zaliczanie:

I. Wstęp teoretyczny.

Elektronowa teoria przewodnictwa metali, rozpatruje gaz elektronowy jako gaz znajdujący się w równowadze cieplnej z siecią kryształu. Zakłada się, że gaz elektronowy jest podobny do gazu doskonałego fizyki molekularnej: nie ma on własnej objętości i elektrony nie oddziałują na siebie. Jeżeli w metalu zostanie wytworzone pole elektryczne E, to elektrony będą przyspieszane przez to pole. Przyspieszenie, jakie nadaje pole elektronowi, jest równe

.

W czasie t elektron osiąga prędkość

skierowaną przeciwnie niż pole. Jeżeli początkowa prędkość elektronu jest v_T, to prędkość

w chwili t będzie równa

.

Kierunkowy ruch elektronów w polu elektrycznym nazywa się unoszeniem, a prędkość kierunkową prędkością unoszenia i oznacza v_d. W czasie t pod wpływem pola E elektron przemieszcza się na odległość l:

.

W klasycznej teorii elektronowej zakłada się, że oddziaływanie wzajemne elektronu z siecią podobne jest do zjawiska zderzenia w mechanice. Pomiędzy dwoma zderzeniami elektron porusza się tak jak cząstka swobodna, nie doznając wpływu pola sieci i pozostałych elektronów. Dla scharakteryzowania ruchu elektronu wprowadza się pojęcia czasu swobodnego przelotu τ i długości drogi swobodnej l; τ oznacza czas średni pomiędzy dwoma zderzeniami, a l-jest związane z τ zależnością

gdzie v_T- średnia arytmetyczna prędkość ruchu cieplnego elektronów.

Prędkość unoszenia będzie równa średniej prędkości ruchu kierunkowego:

.

Średnia prędkość kierunkowego ruchu jest proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E. Wielkość wiążącą prędkość unoszenia z natężeniem pola, nazywa się ruchliwością elektronów i oznacza μ:

,
.

Ruchliwość elektronów jest równa liczbowo prędkości unoszenia w polu elektrycznym

o natężeniu jednostkowym. Jeżeli koncentracja elektronów jest równa n, to w jednostce czasu przez przekrój jednostkowy przepływa ładunek, zawarty w objętości równoległościanu

o przekroju jednostkowym i długości 1*v_d. Ponieważ wielkość równa ładunkowi przepływającemu w jednostce czasu przez przekrój jednostkowy nazywa się gęstością prądu, więc dla gęstości prądu j możemy napisać

.

Zgodnie z teorią kwantową zachowanie się elektronów w metalu opisują prawa mechaniki kwantowej; elektrony podlegają kwantowej statystyce Fermiego-Diraca. Rozpatruje się jamę potencjału o płaskim dnie: na zewnątrz metalu energia potencjalna elektronów jest równa zeru, a wewnątrz metalu energie elektronów tworzą qasiciągłe widmo. Pędy i energie elektronów w metalu są skwantowane. Wypełnianie poziomów energetycznych zachodzi zgodnie z zasadą Pauliego. Górny poziom energetyczny, zajęty w temperaturze zera bezwzględnego, nosi nazwę poziomu Fermiego.

W przewodnikach (metalach) elektrony walencyjne tylko częściowo wypełniają pasmo, albo najwyższe całkowicie obsadzone przez elektrony walencyjne pasmo nachodzi częściowo na wyżej położone pasmo puste, dając w końcu też pasmo częściowo zapełnione. Elektrony walencyjne mogą przechodzić na wyższe, nie zajęte poziomy. Zatem w obecności zewnętrznego pola elektrycznego, elektrony najwyższego częściowo zapełnionego pasma (pasma przewodnictwa) mogą pobierać od pola energię, tworząc uporządkowany ruch ładunków, czyli prąd.

Znacznie trudniej jest skonstruować model wiązania metalicznego, niż modele wiązań jonowego i kowalencyjnego. Jednak całkiem prosta koncepcja wystarczy do wyjaśnienia wielu właściwości metali. Jeżeli w atomie jest mało elektronów walencyjnych(powłoka zewnętrzna),to mogą one się odłączyć względnie łatwo, zapewniając w ten sposób równowagę pozostałych elektronów mocno związanych z jądrem. Proces ten prowadzi do powstania struktury utworzonej z jonów dodatnich i elektronów „swobodnych”; elektrony te mają względna swobodę poruszania się wewnątrz struktury jonów metalu i tworzą tak zwany „gaz elektronowy”. Siły przyciągania, które wiążą metal w całość, spowodowane są oddziaływaniem dodatnich jonów i ujemnego gazu elektronowego. Fakt istnienia elektronów swobodnych zapewnia proste wyjaśnienie dobrego przewodnictwa elektrycznego i cieplnego metali.

O zależności temperaturowej przewodnictwa w metalach decyduje zmniejszanie się ruchliwości wraz ze wzrostem temperatury ( koncentracja nośników - elektronów - jest bardzo duża i nie zależy od

temperatury) . Zależność temperaturowa wyraża się poprzez opór (R1/ )

, gdzie R - opór w temperaturze T , - średni współczynnik temperaturowy .

II . Opracowanie wyników:

Tabele pomiarów:

T[^0C]	R[]	T[^0C]	R []
22	110,6	94	150,5
24	111,4	92	149,4
26	112,5	90	148,7
28	113,6	88	147,2
30	114,9	86	146,2
32	116	84	145,4
34	117,1	82	144,1
36	118,1	80	143,2
38	119,6	78	141,9
40	120,1	76	140,8
42	121,1	74	139,5
44	122,5	72	138,3
46	123,6	70	137,3
48	124,5	68	136,5
50	125,7	66	135,4
52	126,8	64	133,8
54	127,9	62	133,4
56	128,7	60	131,4
58	130,7	58	130,7
60	131	56	129,9
62	132,5	54	128,8
64	133,5	52	127,6
66	134,7	50	126,7
68	135,8	48	125,8
70	137,1	46	124,8
72	137,8	44	124
74	139	42	122,8
76	140,3	40	121,5
78	141	38	120,6
80	142,2	36	119
82	143,4
84	144,6
86	145
88	146,5
90	147,6
92	148,5
94	150,2
96	151,4

Otrzymane wykresy:

1.Zależność R(T) podczas odgrzewania metalu

2. Zależność R(T) podczas ochładzania metalu

Obliczenia:

Obliczamy wartość współczynnika temperaturowego α korzystając z wzoru:

oraz z regresji liniowej otrzymanych wykresów:

y = ax+b

Więc otrzymujemy:

R =R_o+R_o α(T-T₀)

Zatem:

y = R

b = R_o

a = R_o α ⇒ α=a / R_o ⇒ α=a/b

Podstawiam otrzymane dane do powyższego wzoru:

α₁=a₁ / b_{1 ,} gdzie α₁ - wartość temperaturowego współczynnika

oporu podczas ogrzewania metalu

a₁ - wspólczynnik a obliczony z regresji liniowej

b₁ - współczynnik b obliczony z regresji liniowej

Przy ogrzewaniu metalu otrzymaliśmy funkcje

y = 0,5428x + 98,604

α₁ = a₁ / b₁ = 0,005428

Przy chłodzeniu metalu korzystam ze wzoru:

α₂=a₂ / b₂

y = 0,5406x + 98,876

α₂ = a₂ / b₂ = 0,005406

Obliczenie i analiza błędów:

Błąd pomiaru oporu : R=0.1[ ]

Błąd pomiaru temperatury : T=0.5[C]

Δα=(∂α/∂ a)*Δ a +  (∂α/∂ b)* Δ b- niepewność obliczona za pomocą różniczki

zupełnej

Niepewność współczynnika α podczas ogrzewania metalu.

a₁=0,00550

Δ a₁=0,247014 (niepewność obliczona za pomocą programu komputerowego)

b₁=98,604

Δ b₁= 0,234898 (niepewność obliczona za pomocą programu komputerowego)

Δα₁₌(∂α₁/∂ a₁)*Δ a₁ +  (∂α₁/∂ b₁)* Δ b₁

(∂α₁/∂ a₁)=1/ b₁

(∂α₁/∂ b₁) =(- a₁/ b₁²)

Δα₁=  1/ b₁* Δ a₁+(- a₁/ b₁²)* Δ b₁

Δα₁= 0,001*0,247014+-0,000000566* 0,234898

Δα₁= 0,000247 +- 0,000000133

Δα₁=0,000247+0,000000133

Δα₁=0,000247

Niepewność współczynnika α podczas ochładzania metalu.

Δα₂₌(∂α₂/∂ a₂)*Δ a₂ +  (∂α₂/∂ b₂)* Δ b₂

(∂α₂/∂ a₂)=1/ b₂

(∂α₂/∂ b₂) =(- a₂/ b₂²)

a₂=0,00546

Δ a₂=0,247014 (niepewność obliczona za pomocą programu komputerowego)

b₂=98,876

Δ b₂= 0,234898 (niepewność obliczona za pomocą programu komputerowego)

Δα₂=  1/ b₂* Δ a₂+(- a₂/ b₂²)* Δ b₂

Δα₂= 0,001*0,247014+-0,000000558* 0,234898

Δα₂=0,000247+0,000000132

Δα₂=0,000247

Otrzymane wartości współczynika temperaturowego α:

α₁ ± Δα₁ = 5,428*10^-3 ± 0,24*10^-3 [⁰C]

α₂ ± Δα₂=5,406*10^-3 ± 0,24*10^-3 [⁰ C]

WNIOSKI

Myślę że ćwiczenie zostało wykonane prawidłowo, o czym mogą na przykład świadczyć bardzo podobne wykresy dla ochładzania i podgrzewania metalu.

Celem doświadczenia było sprawdzenie eksperymentalnych zależności oporności właściwej od temperatury metali.

Oporność właściwa metali rośnie proporcjonalnie do temperatury - wynika to z zastosowania klasycznej teorii elektronowej przewodnictwa (nadającej się dobrze do opisu metali), w myśl, której rosnąca temperatura powoduje wzrost drgań sieci krystalicznej, a tym samym wzrost prawdopodobieństwa zderzenia się nośnika prądu (elektronu) z atomem sieci, czyli skrócenie drogi swobodnej elektronów.

Otrzymany współczynnik temperaturowy badanego metalu wynosi:

α₁ ± Δα₁ = 5,428*10^-3 ± 0,24*10^-3 [⁰C]

α₂ ± Δα₂=5,406*10^-3 ± 0,24*10^-3 [⁰ C]

Porównując otrzymany współczynnik z danymi z tabel fizycznych, możemy stwierdzić, że badanym metalem była platyna.

---