Wydział : Elektryczny |
Dzień/godz.:
|
Data:
|
Nr zespołu: 17 |
Nazwisko i Imię |
Ocena z przygotowania: |
Ocena ze sprawozdania: |
Ocena: |
1. GORZKOWSKI Adam |
|
|
|
2. RACZKOWSKI Krzysztof |
|
|
|
Prowadzący: |
|
Podpis prowadzącego: |
|
1. PODSTAWY FIZYCZNE
Wahadło matematyczne
„Wahadłem matematycznym płaskim nazywamy punkt materialny poruszający się po okręgu koła w polu grawitacyjnym”. W praktyce najczęstszą realizacją takiego wahadła jest metalowa kulka o bardzo małych rozmiarach zawieszona na sprężystej nici. Będziemy teraz rozpatrywać przypadek oscylacyjnego ruchu wahadła w płaszczyźnie pionowej.
{ R Y S U N E K }
Długość łuku S zakreślanego przez wahadło wyraża się wzorem
S = lf
gdzie: l - odległość punktu materialnego od osi obrotu, φ - kąt wychylenia wahadła (wychylenie). Równanie ruchu takiego wahadła ma postać
m(d2S)/(dt2) = -mgsinφ
lub na podstawie wzoru na długość łuku
(d2φ)/(dt2) = -(gsinφ)/l
Rozwiązanie tego równania w przypadku ruchu oscylacyjnego φ≤ φ0 prowadzi do następującej zależności okresu drgań wahadła T od maksymalnego kąta wychylenia φm
T = 2π(l/g)1/2 ∑[(2n)!/(2nn!)2]2sin2n(φm/2)
Z analizy tego wzoru wynika, że okres drgań wahadła matematycznego rośnie wraz ze wzrostem maksymalnego wychylenia φm.
W celu uproszczenia dalszych rozważań przepiszmy ostatni wzór w postaci
T = 2π(l/g)1/2f(φm) ,gdzie f(φm) = ∑[(2n)!/(2nn!)2]2sin2n(φm/2) jest tylko funkcją φm.
Dla kątów φm < π/2 wystarczy wziąć pierwsze cztery wyrazy sumy z wzoru na T (aby zapewnić dokładność przynajmniej do trzech cyfr znaczących trzeba skorzystać z tabeli poprawek). Wtedy wzór na T można zapisać w prostszej formie
T ≅ 2π(g/l)1/2[1 + (1/4)sin2(φm/2) + (9/64)sin4(φm/2) + (225/2304)sin6(φm/2)]
W przypadku zmniejszania wartości kąta φm możemy kolejno rezygnować z poprawek wyższych rzędów utrzymując nadal tę samą dokładność, by w końcu otrzymać:
T = 2π(l/g)1/2
φm⇒0
Ostatnie przybliżenie (formalnie dla φm = 0) prowadzi do niezależności okresu wahań od amplitudy φm - jest to tzw. izochronizm wahań (przypadek drgań harmonicznych). W praktyce występowanie zjawiska izochronizmu dla wahadła matematycznego w skończonym przedziale wartości φm związane jest z oczywistą niedoskonałością przyrządów pomiarowych, tym większy przedział wartości φm, w którym występuje „niezależność” okresu T od wychylenia φm.
W ćwiczeniu można wyodrębnić dwa, po części niezależne, cele: jeden związany jest z badaniem zjawiska anharmoniczności drgań wahadła, tzn. z badaniem zależności okresu wahadła T od kąta maksymalnego wychylenia φm; drugi cel, bardziej „użytkowy” - dotyczy wahadła różnicowego i poświęcony jest jak najdokładniejszemu, w danych warunkach, wyznaczeniu wartości przyspieszenia ziemskiego g.
Wahadło różnicowe
Pierwszy z wymienianych wzorów na T daje możliwość określenia przyspieszenia ziemskiego z pomiaru okresu drgań T, długości wahadła l i wychylenia φm. Pomiar długości wahadła matematycznego l jest niewygodny (trudność w ustaleniu położenia środka masy soczewki wahadła) i zazwyczaj obarczony dość dużym błędem. W przypadku wahadła różnicowego pozbywamy się tej trudności dokonując, po prostu, pomiaru zmiany długości wahadła dl - stąd nazwa wahadła - (dl = l0 - li ; l0 - początkowa długość wahadła różnicowego, li - długość wahadła różnicowego w przypadku i-tej zmiany jego długości), który może być w warunkach przeprowadzanego eksperymentu, znacznie bardziej dokładny.
W tej sytuacji korzystając z drugiego ze wzorów na T, dla wahadła różnicowego można napisać
T0 = 2π(l0/g)1/2f(φm)
Ti = 2π(li/g)1/2 f(φm) (i=1,2...itd.)
przy czym: T0 i Ti - mierzone okresy drgań wahadła o długościach odpowiednio l0i li.
Podnosząc ostatnie dwa wzory do kwadratu i odejmując stronami otrzymujemy ostatecznie
T02 - Ti2 = 4(π2/g)(l0 - li)f(φm) = 4(π2/g)dif(φm)
Właśnie badanie ostatniej zależności przy warunku i >>1 jest punktem wyjścia do wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego g metodą wahadła różnicowego.
2. WYNIKI POMIARÓW.
a)
|
|
|
długość wahadła : lw = 0,512 +- 0,0005 cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lewa |
|
prawa |
|
|
|
|
|
α [°] |
Dα [°] |
Dαwz [%] |
t1 [s] |
t2 [s] |
t3 [s] |
t4 [s] |
<t> [s] |
D<t> [s] |
D<t>wz [%] |
2<t> [s] |
5,0 |
2,5 |
50,00 |
0,7464 |
0,7458 |
0,7394 |
0,7398 |
0,7429 |
0,00005 |
0,007 |
1,4857 |
10,0 |
2,5 |
25,00 |
0,7468 |
0,7460 |
0,7425 |
0,7432 |
0,7446 |
0,00005 |
0,007 |
1,4893 |
15,0 |
2,5 |
16,67 |
0,7470 |
0,7476 |
0,7447 |
0,7453 |
0,7462 |
0,00005 |
0,007 |
1,4923 |
20,0 |
2,5 |
12,50 |
0,7491 |
0,7494 |
0,7476 |
0,7479 |
0,7485 |
0,00005 |
0,007 |
1,4970 |
25,0 |
2,5 |
10,00 |
0,7511 |
0,7519 |
0,7509 |
0,7514 |
0,7513 |
0,00005 |
0,007 |
1,5027 |
30,0 |
2,5 |
8,33 |
0,7561 |
0,7563 |
0,7549 |
0,7553 |
0,7557 |
0,00005 |
0,007 |
1,5113 |
35,0 |
2,5 |
7,14 |
0,7609 |
0,7609 |
0,7603 |
0,7604 |
0,7606 |
0,00005 |
0,007 |
1,5213 |
40,0 |
2,5 |
6,25 |
0,7664 |
0,7652 |
0,7655 |
0,7663 |
0,7659 |
0,00005 |
0,007 |
1,5317 |
45,0 |
2,5 |
5,56 |
0,7713 |
0,7725 |
0,7727 |
0,7732 |
0,7724 |
0,00005 |
0,006 |
1,5449 |
50,0 |
2,5 |
5,00 |
0,7787 |
0,7789 |
0,7804 |
0,7796 |
0,7794 |
0,00005 |
0,006 |
1,5588 |
55,0 |
2,5 |
4,55 |
0,7879 |
0,7867 |
0,7886 |
0,7887 |
0,7880 |
0,00005 |
0,006 |
1,5760 |
60,0 |
2,5 |
4,17 |
0,7970 |
0,7948 |
0,7981 |
0,7980 |
0,7970 |
0,00005 |
0,006 |
1,5940 |
b)
|
|
|
długość wahadła : lw = 0,612 ± 0,0005 cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lewa |
|
prawa |
|
|
|
|
|
α [°] |
Dα [°] |
Dαwz [%] |
t1 [s] |
t2 [s] |
t3 [s] |
t4 [s] |
<t> [s] |
D<t> [s] |
D<t>wz [%] |
2<t> [s] |
5,0 |
2,5 |
50,00 |
0,7787 |
0,7798 |
0,7925 |
0,7922 |
0,7858 |
0,00005 |
0,00006 |
1,5716 |
10,0 |
2,5 |
25,00 |
0,7852 |
0,7844 |
0,7909 |
0,7903 |
0,7877 |
0,00005 |
0,00006 |
1,5754 |
15,0 |
2,5 |
16,67 |
0,7874 |
0,7884 |
0,7971 |
0,7919 |
0,7912 |
0,00005 |
0,00006 |
1,5824 |
20,0 |
2,5 |
12,50 |
0,7912 |
0,7911 |
0,7950 |
0,7951 |
0,7931 |
0,00005 |
0,00006 |
1,5862 |
25,0 |
2,5 |
10,00 |
0,7952 |
0,7942 |
0,7977 |
0,7985 |
0,7964 |
0,00005 |
0,00006 |
1,5928 |
30,0 |
2,5 |
8,33 |
0,7986 |
0,7986 |
0,8021 |
0,8021 |
0,8004 |
0,00005 |
0,00006 |
1,6007 |
35,0 |
2,5 |
7,14 |
0,8032 |
0,8041 |
0,8059 |
0,8061 |
0,8048 |
0,00005 |
0,00006 |
1,6097 |
40,0 |
2,5 |
6,25 |
0,8089 |
0,8094 |
0,8123 |
0,8128 |
0,8109 |
0,00005 |
0,00006 |
1,6217 |
45,0 |
2,5 |
5,56 |
0,8168 |
0,8169 |
0,8210 |
0,8213 |
0,8190 |
0,00005 |
0,00006 |
1,6380 |
50,0 |
2,5 |
5,00 |
0,8265 |
0,8244 |
0,8270 |
0,8291 |
0,8268 |
0,00005 |
0,00006 |
1,6535 |
55,0 |
2,5 |
4,55 |
0,8337 |
0,8347 |
0,8367 |
0,8360 |
0,8353 |
0,00005 |
0,00006 |
1,6706 |
60,0 |
2,5 |
4,17 |
0,8441 |
0,8434 |
0,8481 |
0,8492 |
0,8462 |
0,00005 |
0,00006 |
1,6924 |
c)
|
|
|
długość wahadła : lw = 71,2 +- ,05 cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lewa |
|
prawa |
|
|
|
|
|
α [°] |
Dα [°] |
Dαwz [%] |
t1 [s] |
t2 [s] |
t3 [s] |
t4 [s] |
<t> [s] |
D<t> [s] |
D<t>wz [%] |
2<t> [s] |
5,0 |
2,5 |
50,00 |
0,86610 |
0,86660 |
0,86460 |
0,86430 |
0,86540 |
0,00005 |
0,006% |
1,73080 |
10,0 |
2,5 |
25,00 |
0,86780 |
0,86810 |
0,86760 |
0,86640 |
0,86748 |
0,00005 |
0,006% |
1,73495 |
15,0 |
2,5 |
16,67 |
0,87040 |
0,87020 |
0,86990 |
0,87000 |
0,87013 |
0,00005 |
0,006% |
1,74025 |
20,0 |
2,5 |
12,50 |
0,87290 |
0,87270 |
0,87290 |
0,87250 |
0,87275 |
0,00005 |
0,006% |
1,74550 |
25,0 |
2,5 |
10,00 |
0,87730 |
0,87680 |
0,87560 |
0,87570 |
0,87635 |
0,00005 |
0,006% |
1,75270 |
30,0 |
2,5 |
8,33 |
0,88140 |
0,88070 |
0,88230 |
0,88230 |
0,88168 |
0,00005 |
0,006% |
1,76335 |
35,0 |
2,5 |
7,14 |
0,88550 |
0,88720 |
0,88870 |
0,88700 |
0,88710 |
0,00005 |
0,006% |
1,77420 |
40,0 |
2,5 |
6,25 |
0,89400 |
0,89430 |
0,89510 |
0,89510 |
0,89463 |
0,00005 |
0,006% |
1,78925 |
45,0 |
2,5 |
5,56 |
0,90110 |
0,90270 |
0,90200 |
0,90200 |
0,90195 |
0,00005 |
0,006% |
1,80390 |
50,0 |
2,5 |
5,00 |
0,91030 |
0,91070 |
0,91100 |
0,91040 |
0,91060 |
0,00005 |
0,005% |
1,82120 |
55,0 |
2,5 |
4,55 |
0,91860 |
0,92000 |
0,91940 |
0,91930 |
0,91933 |
0,00005 |
0,005% |
1,83865 |
60,0 |
2,5 |
4,17 |
0,92970 |
0,93120 |
0,93040 |
0,93040 |
0,93043 |
0,00005 |
0,005% |
1,86085 |
d)
α = 5 |
||||||||||
|
|
|
lewa |
prawa |
|
|||||
lw [m] |
Dlw [m] |
Dlwwz |
t1 [s] |
t2 [s] |
t3 [s] |
t4 [s] |
<t> [s] |
D<t> [s] |
D<t>wz [%] |
2<t> [s] |
0,41 |
0,05 |
12,14% |
0,6630 |
0,6663 |
0,6769 |
0,6761 |
0,6706 |
0,00005 |
0,007% |
1,3412 |
0,44 |
0,05 |
11,31% |
0,6915 |
0,6977 |
0,6957 |
0,6989 |
0,6960 |
0,00005 |
0,007% |
1,3919 |
0,47 |
0,05 |
10,59% |
0,7069 |
0,7087 |
0,7216 |
0,7174 |
0,7137 |
0,00005 |
0,007% |
1,4273 |
0,50 |
0,05 |
9,96% |
0,7338 |
0,7349 |
0,7375 |
0,7357 |
0,7355 |
0,00005 |
0,007% |
1,4710 |
0,53 |
0,05 |
9,40% |
0,7476 |
0,7478 |
0,7611 |
0,7610 |
0,7544 |
0,00005 |
0,007% |
1,5088 |
0,56 |
0,05 |
8,90% |
0,7643 |
0,7664 |
0,7830 |
0,7836 |
0,7743 |
0,00005 |
0,006% |
1,5487 |
0,59 |
0,05 |
8,45% |
0,7892 |
0,7909 |
0,7975 |
0,7983 |
0,7940 |
0,00005 |
0,006% |
1,5880 |
0,62 |
0,05 |
8,04% |
0,8037 |
0,7035 |
0,8206 |
0,8204 |
0,7871 |
0,00005 |
0,006% |
1,5741 |
0,65 |
0,05 |
7,67% |
0,8200 |
0,8203 |
0,8408 |
0,8415 |
0,8307 |
0,00005 |
0,006% |
1,6613 |
0,68 |
0,05 |
7,33% |
0,8500 |
0,8504 |
0,8506 |
0,8507 |
0,8504 |
0,00005 |
0,006% |
1,7009 |
0,71 |
0,05 |
7,02% |
0,8619 |
0,8623 |
0,8693 |
0,8693 |
0,8657 |
0,00005 |
0,006% |
1,7314 |
0,74 |
0,05 |
6,74% |
0,8827 |
0,8825 |
0,8873 |
0,8876 |
0,8850 |
0,00005 |
0,006% |
1,7701 |
e)
α = 10 |
||||||||||
|
|
|
lewa |
prawa |
|
|
|
|
||
lw [m] |
Dlw [m] |
Dlwwz |
t1 [s] |
t2 [s] |
t3 [s] |
t4 [s] |
<t> [s] |
D<t> [s] |
D<t>wz [%] |
2<t> [s] |
0,41 |
0,05 |
12,14% |
0,6704 |
0,6720 |
0,6766 |
0,6750 |
0,6735 |
0,00005 |
0,00007 |
1,3470 |
0,44 |
0,05 |
11,31% |
0,6988 |
0,6986 |
0,6964 |
0,6971 |
0,6977 |
0,00005 |
0,00007 |
1,3955 |
0,47 |
0,05 |
10,59% |
0,7126 |
0,7154 |
0,7173 |
0,7181 |
0,7159 |
0,00005 |
0,00007 |
1,4317 |
0,50 |
0,05 |
9,96% |
0,7354 |
0,7363 |
0,7364 |
0,7367 |
0,7362 |
0,00005 |
0,00007 |
1,4724 |
0,53 |
0,05 |
9,40% |
0,7526 |
0,7526 |
0,7592 |
0,7593 |
0,7559 |
0,00005 |
0,00007 |
1,5119 |
0,56 |
0,05 |
8,90% |
0,7722 |
0,7717 |
0,7800 |
0,7800 |
0,7760 |
0,00005 |
0,00006 |
1,5520 |
0,59 |
0,05 |
8,45% |
0,7940 |
0,7933 |
0,7980 |
0,7975 |
0,7957 |
0,00005 |
0,00006 |
1,5914 |
0,62 |
0,05 |
8,04% |
0,8107 |
0,8111 |
0,8191 |
0,8188 |
0,8149 |
0,00005 |
0,00006 |
1,6299 |
0,65 |
0,05 |
7,67% |
0,8275 |
0,8274 |
0,8380 |
0,8383 |
0,8328 |
0,00005 |
0,00006 |
1,6656 |
0,68 |
0,05 |
7,33% |
0,8536 |
0,8532 |
0,8520 |
0,8520 |
0,8527 |
0,00005 |
0,00006 |
1,7054 |
0,71 |
0,05 |
7,02% |
0,8672 |
0,8670 |
0,8699 |
0,8696 |
0,8684 |
0,00005 |
0,00006 |
1,7369 |
0,74 |
0,05 |
6,74% |
0,8864 |
0,8873 |
0,8872 |
0,8878 |
0,8872 |
0,00005 |
0,00006 |
1,7744 |
f)
α = 15 |
||||||||||
|
|
|
lewa |
prawa |
|
|
|
|
||
lw [m] |
Dlw [m] |
Dlwwz |
t1 [s] |
t2 [s] |
t3 [s] |
t4 [s] |
<t> [s] |
D<t> [s] |
D<t>wz [%] |
2<t> [s] |
0,41 |
0,05 |
12,14% |
0,6738 |
0,6736 |
0,6764 |
0,6772 |
0,6753 |
0,00005 |
0,007% |
1,3505 |
0,44 |
0,05 |
11,31% |
0,6987 |
0,6999 |
0,6970 |
0,6987 |
0,6986 |
0,00005 |
0,007% |
1,3971 |
0,47 |
0,05 |
10,59% |
0,7179 |
0,7180 |
0,7188 |
0,7194 |
0,7185 |
0,00005 |
0,007% |
1,4370 |
0,50 |
0,05 |
9,96% |
0,7389 |
0,7377 |
0,7385 |
0,7385 |
0,7384 |
0,00005 |
0,007% |
1,4768 |
0,53 |
0,05 |
9,40% |
0,7559 |
0,7560 |
0,7610 |
0,7606 |
0,7584 |
0,00005 |
0,007% |
1,5167 |
0,56 |
0,05 |
8,90% |
0,7752 |
0,7748 |
0,7812 |
0,7812 |
0,7781 |
0,00005 |
0,006% |
1,5562 |
0,59 |
0,05 |
8,45% |
0,7963 |
0,7973 |
0,7993 |
0,7988 |
0,7979 |
0,00005 |
0,006% |
1,5958 |
0,62 |
0,05 |
8,04% |
0,8141 |
0,8136 |
0,8192 |
0,8199 |
0,8167 |
0,00005 |
0,006% |
1,6334 |
0,65 |
0,05 |
7,67% |
0,8327 |
0,8319 |
0,8386 |
0,8387 |
0,8355 |
0,00005 |
0,006% |
1,6709 |
0,68 |
0,05 |
7,33% |
0,8554 |
0,8556 |
0,8542 |
0,8541 |
0,8548 |
0,00005 |
0,006% |
1,7096 |
0,71 |
0,05 |
7,02% |
0,8696 |
0,8699 |
0,8716 |
0,8715 |
0,8707 |
0,00005 |
0,006% |
1,7413 |
0,74 |
0,05 |
6,74% |
0,8890 |
0,8890 |
0,8895 |
0,8891 |
0,8892 |
0,00005 |
0,006% |
1,7783 |
LEGENDA
α - wychylenie wahadła,
tn - półokres,
prawa, lewa - półokres mierzony z prawej i lewej strony,
<t> - średnia artmetyczna półokresu,
2<t> - okres wahadła,
Δ - błędy względne i bezwzględne pomiarów.
3. OBLICZENIA.
a) anharmoniczność wahadła:
Jak widać na załączonych wykresach prosta teoretyczna nie odbiega znacznie od wartości uzyskanych podczas pomiarów. Różnica ta jest najmniejsza dla długości wahadła równej lw = 0,612 [m].
b) wahadło różnicowe:
W tej metodzie wartość przyspieszenia ziemskiego obliczyliśmy posługując się wzorem:
,
gdzie mi - współczynniki nachylenia odpowiednich prostych na dołączonych do sprawozdania wydrukach obliczne metodą najmniejszych kwadratów, f(α) - funkcja której wartości obliczyliśmy z tabelki zamieszczonej w instrukcji do ćwiczenia.
|
kąt 5 |
kąt 10 |
kat 15 |
|
|
Ti2 - T02 |
Ti2 - T02 |
Ti2 - To2 |
li-l0 |
|
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
0,14 |
0,13 |
0,13 |
0,03 |
|
0,24 |
0,24 |
0,24 |
0,06 |
|
0,37 |
0,35 |
0,36 |
0,09 |
|
0,48 |
0,47 |
0,48 |
0,12 |
|
0,60 |
0,59 |
0,60 |
0,15 |
|
0,72 |
0,72 |
0,72 |
0,18 |
|
0,68 |
0,84 |
0,84 |
0,21 |
|
0,96 |
0,96 |
0,97 |
0,24 |
|
1,09 |
1,09 |
1,10 |
0,27 |
|
1,20 |
1,20 |
1,21 |
0,30 |
|
1,33 |
1,33 |
1,34 |
0,33 |
mi |
3,94 |
4,01 |
4,03 |
|
Δmi |
0,14 |
0,02 |
0,02 |
|
gi |
9,980 |
9,860 |
9,84 |
|
Δgi |
0,007 |
0,007 |
0,007 |
|
Przyspieszenie ziemskie wyznaczone za pomocą tej metody wynos:
g= 9,89 ± 0,007 [m/s2].
Podsumowywując stwierdzamy, że dość dobrze wyznaczyliśmy przyspieszenie ziemskie. Wartość obliczona przez nas niewiele odbiega od wartości tablicowej.