SPRAW5, Wydzia˙ :


Wydział :

Elektryczny

Dzień/godz.:

Data:

Nr zespołu:

17

Nazwisko i Imię

Ocena z przygotowania:

Ocena ze sprawozdania:

Ocena:

1. GORZKOWSKI Adam

2. RACZKOWSKI Krzysztof

Prowadzący:

Podpis prowadzącego:

1. PODSTAWY FIZYCZNE

Wahadło matematyczne

„Wahadłem matematycznym płaskim nazywamy punkt materialny poruszający się po okręgu koła w polu grawitacyjnym”. W praktyce najczęstszą realizacją takiego wahadła jest metalowa kulka o bardzo małych rozmiarach zawieszona na sprężystej nici. Będziemy teraz rozpatrywać przypadek oscylacyjnego ruchu wahadła w płaszczyźnie pionowej.

{ R Y S U N E K }

Długość łuku S zakreślanego przez wahadło wyraża się wzorem

S = lf

gdzie: l - odległość punktu materialnego od osi obrotu, φ - kąt wychylenia wahadła (wychylenie). Równanie ruchu takiego wahadła ma postać

m(d2S)/(dt2) = -mgsinφ

lub na podstawie wzoru na długość łuku

(d2φ)/(dt2) = -(gsinφ)/l

Rozwiązanie tego równania w przypadku ruchu oscylacyjnego φ φ0 prowadzi do następującej zależności okresu drgań wahadła T od maksymalnego kąta wychylenia φm

T = 2π(l/g)1/2 [(2n)!/(2nn!)2]2sin2n(φm/2)

Z analizy tego wzoru wynika, że okres drgań wahadła matematycznego rośnie wraz ze wzrostem maksymalnego wychylenia φm.

W celu uproszczenia dalszych rozważań przepiszmy ostatni wzór w postaci

T = 2π(l/g)1/2f(φm) ,gdzie f(φm) = [(2n)!/(2nn!)2]2sin2n(φm/2) jest tylko funkcją φm.

Dla kątów φm < π/2 wystarczy wziąć pierwsze cztery wyrazy sumy z wzoru na T (aby zapewnić dokładność przynajmniej do trzech cyfr znaczących trzeba skorzystać z tabeli poprawek). Wtedy wzór na T można zapisać w prostszej formie

T 2π(g/l)1/2[1 + (1/4)sin2(φm/2) + (9/64)sin4(φm/2) + (225/2304)sin6(φm/2)]

W przypadku zmniejszania wartości kąta φm możemy kolejno rezygnować z poprawek wyższych rzędów utrzymując nadal tę samą dokładność, by w końcu otrzymać:

T = 2π(l/g)1/2

φm0

Ostatnie przybliżenie (formalnie dla φm = 0) prowadzi do niezależności okresu wahań od amplitudy φm - jest to tzw. izochronizm wahań (przypadek drgań harmonicznych). W praktyce występowanie zjawiska izochronizmu dla wahadła matematycznego w skończonym przedziale wartości φm związane jest z oczywistą niedoskonałością przyrządów pomiarowych, tym większy przedział wartości φm, w którym występuje „niezależność” okresu T od wychylenia φm.

W ćwiczeniu można wyodrębnić dwa, po części niezależne, cele: jeden związany jest z badaniem zjawiska anharmoniczności drgań wahadła, tzn. z badaniem zależności okresu wahadła T od kąta maksymalnego wychylenia φm; drugi cel, bardziej „użytkowy” - dotyczy wahadła różnicowego i poświęcony jest jak najdokładniejszemu, w danych warunkach, wyznaczeniu wartości przyspieszenia ziemskiego g.

Wahadło różnicowe

Pierwszy z wymienianych wzorów na T daje możliwość określenia przyspieszenia ziemskiego z pomiaru okresu drgań T, długości wahadła l i wychylenia φm. Pomiar długości wahadła matematycznego l jest niewygodny (trudność w ustaleniu położenia środka masy soczewki wahadła) i zazwyczaj obarczony dość dużym błędem. W przypadku wahadła różnicowego pozbywamy się tej trudności dokonując, po prostu, pomiaru zmiany długości wahadła dl - stąd nazwa wahadła - (dl = l0 - li ; l0 - początkowa długość wahadła różnicowego, li - długość wahadła różnicowego w przypadku i-tej zmiany jego długości), który może być w warunkach przeprowadzanego eksperymentu, znacznie bardziej dokładny.

W tej sytuacji korzystając z drugiego ze wzorów na T, dla wahadła różnicowego można napisać

T0 = 2π(l0/g)1/2f(φm)

Ti = 2π(li/g)1/2 f(φm) (i=1,2...itd.)

przy czym: T0 i Ti - mierzone okresy drgań wahadła o długościach odpowiednio l0i li.

Podnosząc ostatnie dwa wzory do kwadratu i odejmując stronami otrzymujemy ostatecznie

T02 - Ti2 = 4(π2/g)(l0 - li)f(φm) = 4(π2/g)dif(φm)

Właśnie badanie ostatniej zależności przy warunku i >>1 jest punktem wyjścia do wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego g metodą wahadła różnicowego.

2. WYNIKI POMIARÓW.

a)

długość wahadła : lw = 0,512 +- 0,0005 cm

lewa

prawa

α

[°]

Dα

[°]

Dαwz

[%]

t1

[s]

t2

[s]

t3

[s]

t4

[s]

<t>

[s]

D<t>

[s]

D<t>wz

[%]

2<t>

[s]

5,0

2,5

50,00

0,7464

0,7458

0,7394

0,7398

0,7429

0,00005

0,007

1,4857

10,0

2,5

25,00

0,7468

0,7460

0,7425

0,7432

0,7446

0,00005

0,007

1,4893

15,0

2,5

16,67

0,7470

0,7476

0,7447

0,7453

0,7462

0,00005

0,007

1,4923

20,0

2,5

12,50

0,7491

0,7494

0,7476

0,7479

0,7485

0,00005

0,007

1,4970

25,0

2,5

10,00

0,7511

0,7519

0,7509

0,7514

0,7513

0,00005

0,007

1,5027

30,0

2,5

8,33

0,7561

0,7563

0,7549

0,7553

0,7557

0,00005

0,007

1,5113

35,0

2,5

7,14

0,7609

0,7609

0,7603

0,7604

0,7606

0,00005

0,007

1,5213

40,0

2,5

6,25

0,7664

0,7652

0,7655

0,7663

0,7659

0,00005

0,007

1,5317

45,0

2,5

5,56

0,7713

0,7725

0,7727

0,7732

0,7724

0,00005

0,006

1,5449

50,0

2,5

5,00

0,7787

0,7789

0,7804

0,7796

0,7794

0,00005

0,006

1,5588

55,0

2,5

4,55

0,7879

0,7867

0,7886

0,7887

0,7880

0,00005

0,006

1,5760

60,0

2,5

4,17

0,7970

0,7948

0,7981

0,7980

0,7970

0,00005

0,006

1,5940

b)

długość wahadła : lw = 0,612 ± 0,0005 cm

lewa

prawa

α

[°]

Dα

[°]

Dαwz

[%]

t1

[s]

t2

[s]

t3

[s]

t4

[s]

<t>

[s]

D<t>

[s]

D<t>wz

[%]

2<t>

[s]

5,0

2,5

50,00

0,7787

0,7798

0,7925

0,7922

0,7858

0,00005

0,00006

1,5716

10,0

2,5

25,00

0,7852

0,7844

0,7909

0,7903

0,7877

0,00005

0,00006

1,5754

15,0

2,5

16,67

0,7874

0,7884

0,7971

0,7919

0,7912

0,00005

0,00006

1,5824

20,0

2,5

12,50

0,7912

0,7911

0,7950

0,7951

0,7931

0,00005

0,00006

1,5862

25,0

2,5

10,00

0,7952

0,7942

0,7977

0,7985

0,7964

0,00005

0,00006

1,5928

30,0

2,5

8,33

0,7986

0,7986

0,8021

0,8021

0,8004

0,00005

0,00006

1,6007

35,0

2,5

7,14

0,8032

0,8041

0,8059

0,8061

0,8048

0,00005

0,00006

1,6097

40,0

2,5

6,25

0,8089

0,8094

0,8123

0,8128

0,8109

0,00005

0,00006

1,6217

45,0

2,5

5,56

0,8168

0,8169

0,8210

0,8213

0,8190

0,00005

0,00006

1,6380

50,0

2,5

5,00

0,8265

0,8244

0,8270

0,8291

0,8268

0,00005

0,00006

1,6535

55,0

2,5

4,55

0,8337

0,8347

0,8367

0,8360

0,8353

0,00005

0,00006

1,6706

60,0

2,5

4,17

0,8441

0,8434

0,8481

0,8492

0,8462

0,00005

0,00006

1,6924

c)

długość wahadła : lw = 71,2 +- ,05 cm

lewa

prawa

α

[°]

Dα

[°]

Dαwz

[%]

t1

[s]

t2

[s]

t3

[s]

t4

[s]

<t>

[s]

D<t>

[s]

D<t>wz

[%]

2<t>

[s]

5,0

2,5

50,00

0,86610

0,86660

0,86460

0,86430

0,86540

0,00005

0,006%

1,73080

10,0

2,5

25,00

0,86780

0,86810

0,86760

0,86640

0,86748

0,00005

0,006%

1,73495

15,0

2,5

16,67

0,87040

0,87020

0,86990

0,87000

0,87013

0,00005

0,006%

1,74025

20,0

2,5

12,50

0,87290

0,87270

0,87290

0,87250

0,87275

0,00005

0,006%

1,74550

25,0

2,5

10,00

0,87730

0,87680

0,87560

0,87570

0,87635

0,00005

0,006%

1,75270

30,0

2,5

8,33

0,88140

0,88070

0,88230

0,88230

0,88168

0,00005

0,006%

1,76335

35,0

2,5

7,14

0,88550

0,88720

0,88870

0,88700

0,88710

0,00005

0,006%

1,77420

40,0

2,5

6,25

0,89400

0,89430

0,89510

0,89510

0,89463

0,00005

0,006%

1,78925

45,0

2,5

5,56

0,90110

0,90270

0,90200

0,90200

0,90195

0,00005

0,006%

1,80390

50,0

2,5

5,00

0,91030

0,91070

0,91100

0,91040

0,91060

0,00005

0,005%

1,82120

55,0

2,5

4,55

0,91860

0,92000

0,91940

0,91930

0,91933

0,00005

0,005%

1,83865

60,0

2,5

4,17

0,92970

0,93120

0,93040

0,93040

0,93043

0,00005

0,005%

1,86085

d)

α = 5

lewa

prawa

lw

[m]

Dlw

[m]

Dlwwz

t1

[s]

t2

[s]

t3

[s]

t4

[s]

<t>

[s]

D<t>

[s]

D<t>wz

[%]

2<t>

[s]

0,41

0,05

12,14%

0,6630

0,6663

0,6769

0,6761

0,6706

0,00005

0,007%

1,3412

0,44

0,05

11,31%

0,6915

0,6977

0,6957

0,6989

0,6960

0,00005

0,007%

1,3919

0,47

0,05

10,59%

0,7069

0,7087

0,7216

0,7174

0,7137

0,00005

0,007%

1,4273

0,50

0,05

9,96%

0,7338

0,7349

0,7375

0,7357

0,7355

0,00005

0,007%

1,4710

0,53

0,05

9,40%

0,7476

0,7478

0,7611

0,7610

0,7544

0,00005

0,007%

1,5088

0,56

0,05

8,90%

0,7643

0,7664

0,7830

0,7836

0,7743

0,00005

0,006%

1,5487

0,59

0,05

8,45%

0,7892

0,7909

0,7975

0,7983

0,7940

0,00005

0,006%

1,5880

0,62

0,05

8,04%

0,8037

0,7035

0,8206

0,8204

0,7871

0,00005

0,006%

1,5741

0,65

0,05

7,67%

0,8200

0,8203

0,8408

0,8415

0,8307

0,00005

0,006%

1,6613

0,68

0,05

7,33%

0,8500

0,8504

0,8506

0,8507

0,8504

0,00005

0,006%

1,7009

0,71

0,05

7,02%

0,8619

0,8623

0,8693

0,8693

0,8657

0,00005

0,006%

1,7314

0,74

0,05

6,74%

0,8827

0,8825

0,8873

0,8876

0,8850

0,00005

0,006%

1,7701

e)

α = 10

lewa

prawa

lw

[m]

Dlw

[m]

Dlwwz

t1

[s]

t2

[s]

t3

[s]

t4

[s]

<t>

[s]

D<t>

[s]

D<t>wz

[%]

2<t>

[s]

0,41

0,05

12,14%

0,6704

0,6720

0,6766

0,6750

0,6735

0,00005

0,00007

1,3470

0,44

0,05

11,31%

0,6988

0,6986

0,6964

0,6971

0,6977

0,00005

0,00007

1,3955

0,47

0,05

10,59%

0,7126

0,7154

0,7173

0,7181

0,7159

0,00005

0,00007

1,4317

0,50

0,05

9,96%

0,7354

0,7363

0,7364

0,7367

0,7362

0,00005

0,00007

1,4724

0,53

0,05

9,40%

0,7526

0,7526

0,7592

0,7593

0,7559

0,00005

0,00007

1,5119

0,56

0,05

8,90%

0,7722

0,7717

0,7800

0,7800

0,7760

0,00005

0,00006

1,5520

0,59

0,05

8,45%

0,7940

0,7933

0,7980

0,7975

0,7957

0,00005

0,00006

1,5914

0,62

0,05

8,04%

0,8107

0,8111

0,8191

0,8188

0,8149

0,00005

0,00006

1,6299

0,65

0,05

7,67%

0,8275

0,8274

0,8380

0,8383

0,8328

0,00005

0,00006

1,6656

0,68

0,05

7,33%

0,8536

0,8532

0,8520

0,8520

0,8527

0,00005

0,00006

1,7054

0,71

0,05

7,02%

0,8672

0,8670

0,8699

0,8696

0,8684

0,00005

0,00006

1,7369

0,74

0,05

6,74%

0,8864

0,8873

0,8872

0,8878

0,8872

0,00005

0,00006

1,7744

f)

α = 15

lewa

prawa

lw

[m]

Dlw

[m]

Dlwwz

t1

[s]

t2

[s]

t3

[s]

t4

[s]

<t>

[s]

D<t>

[s]

D<t>wz

[%]

2<t>

[s]

0,41

0,05

12,14%

0,6738

0,6736

0,6764

0,6772

0,6753

0,00005

0,007%

1,3505

0,44

0,05

11,31%

0,6987

0,6999

0,6970

0,6987

0,6986

0,00005

0,007%

1,3971

0,47

0,05

10,59%

0,7179

0,7180

0,7188

0,7194

0,7185

0,00005

0,007%

1,4370

0,50

0,05

9,96%

0,7389

0,7377

0,7385

0,7385

0,7384

0,00005

0,007%

1,4768

0,53

0,05

9,40%

0,7559

0,7560

0,7610

0,7606

0,7584

0,00005

0,007%

1,5167

0,56

0,05

8,90%

0,7752

0,7748

0,7812

0,7812

0,7781

0,00005

0,006%

1,5562

0,59

0,05

8,45%

0,7963

0,7973

0,7993

0,7988

0,7979

0,00005

0,006%

1,5958

0,62

0,05

8,04%

0,8141

0,8136

0,8192

0,8199

0,8167

0,00005

0,006%

1,6334

0,65

0,05

7,67%

0,8327

0,8319

0,8386

0,8387

0,8355

0,00005

0,006%

1,6709

0,68

0,05

7,33%

0,8554

0,8556

0,8542

0,8541

0,8548

0,00005

0,006%

1,7096

0,71

0,05

7,02%

0,8696

0,8699

0,8716

0,8715

0,8707

0,00005

0,006%

1,7413

0,74

0,05

6,74%

0,8890

0,8890

0,8895

0,8891

0,8892

0,00005

0,006%

1,7783

LEGENDA

α - wychylenie wahadła,

tn - półokres,

prawa, lewa - półokres mierzony z prawej i lewej strony,

<t> - średnia artmetyczna półokresu,

2<t> - okres wahadła,

Δ - błędy względne i bezwzględne pomiarów.

3. OBLICZENIA.

a) anharmoniczność wahadła:

Jak widać na załączonych wykresach prosta teoretyczna nie odbiega znacznie od wartości uzyskanych podczas pomiarów. Różnica ta jest najmniejsza dla długości wahadła równej lw = 0,612 [m].

b) wahadło różnicowe:

W tej metodzie wartość przyspieszenia ziemskiego obliczyliśmy posługując się wzorem:

,

gdzie mi - współczynniki nachylenia odpowiednich prostych na dołączonych do sprawozdania wydrukach obliczne metodą najmniejszych kwadratów, f(α) - funkcja której wartości obliczyliśmy z tabelki zamieszczonej w instrukcji do ćwiczenia.

kąt 5

kąt 10

kat 15

Ti2 - T02

Ti2 - T02

Ti2 - To2

li-l0

0,00

0,00

0,00

0,00

0,14

0,13

0,13

0,03

0,24

0,24

0,24

0,06

0,37

0,35

0,36

0,09

0,48

0,47

0,48

0,12

0,60

0,59

0,60

0,15

0,72

0,72

0,72

0,18

0,68

0,84

0,84

0,21

0,96

0,96

0,97

0,24

1,09

1,09

1,10

0,27

1,20

1,20

1,21

0,30

1,33

1,33

1,34

0,33

mi

3,94

4,01

4,03

Δmi

0,14

0,02

0,02

gi

9,980

9,860

9,84

Δgi

0,007

0,007

0,007

Przyspieszenie ziemskie wyznaczone za pomocą tej metody wynos:

g= 9,89 ± 0,007 [m/s2].

Podsumowywując stwierdzamy, że dość dobrze wyznaczyliśmy przyspieszenie ziemskie. Wartość obliczona przez nas niewiele odbiega od wartości tablicowej.



Wyszukiwarka