#222, Pomiary maj˙ na celu wyznaczenie zaleznosci czasu zderzenia dwu matalowych kul t od predko˙ci kuli uderzajacej. Czas zderzenia t jest mierzony bezposrednio, natomiast pr˙dko˙˙ kuli uderzaj˙cej v wyznaczamy ze wzoru :


Temat :Czas zderzenia kul - sprawdzenie wzoru Hertza.

Imię i nazwisko:

Grzegorz Pietras

Lesław Wabia

Semestr II Rok 1995/96

Wydział Elektryczny.

Zespół

data

ocena

podpis

3

Rozpatrzmy zderzenie dwóch jednakowych, metalowych kul . Wpiszmy najpierw wielkości charakteryzujące każdą z kul, które będą istotne w procesie zderzenia. Rozmiary geometryczne kuli opisuje jej promień R, zaś jej bezwładność - masa M. Własności sprężyste materiału, z którego są zrobione kule określają dwa parametry : moduł Younga E i współczynnik Poissona δI. Przypomnijmy, że moduł Younga jest zdefiniowany przez prawo Hooka, które stwierdza proporcjonalność względnego wydłużenia (skrócenia) (Δl / l) do przyłożonego ciśnienia p., wywołującego to wydłużenie (skrócenie):

0x01 graphic

Współczynnik Poissona δ jest zdefiniowany jako stosunek względnego poprzecznego skrócenia do względnego podłużnego wydłużenia. Jest to zatem wielkość bezwymiarowa. Załóżmy, że jedna z dwóch takich samych kul - o masie M. Spoczywa, a druga zbliża się do niej z pewną prędkością. Najwygodniejszym do opisu układem odniesienia będzie układ środka masy tych kul . W tym układzie obie kule zbliżają się do siebie z tą samą prędkością vI .

Energia kinetyczna tych kul w układzie środka masy wynosi :

0x01 graphic
0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic
- masa zredukowana

0x01 graphic
- prędkość względna kul

W czasie zderzenia obie kule deformują się :

Niech parametr h określa względne zbliżenie środków kul w czasie zderzenia. Zmienia się on od wartości zero (początek zderzenia) do pewnej wartości maksymalnej h0 i z powrotem do zera (koniec zderzenia). Energia całkowita układu kul składa się teraz z dwóch części: energii kinetycznej i energii potencjalnej.

Można pokazać, że energia kinetyczna jest proporcjonalna do kwadratu szybkości zmian parametru h:

0x01 graphic
0x01 graphic

zaś energia potencjalna jest proporcjonalna do parametru h w potędze 5/2:

0x01 graphic
0x01 graphic

gdzie k jest pewną stałą, zależną od R,E i δ.

Stosując zasadę zachowania energii, otrzymujemy równanie:

0x01 graphic

Maksymalne zbliżenie środków kul jest wtedy, gdy (dh/dt)=0. Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania, otrzymujemy następujące wyrażenie dla h0:

0x01 graphic

a to możemy przekształcić łatwo do następującej postaci :

0x01 graphic

Dysponując tym równaniem nie trudno napisać równanie na czas zderzenia kul τ :

0x01 graphic

Obliczenie tej całki nie jest proste napiszmy więc jedynie końcowy rezultat:

0x01 graphic

Powyższe równanie nosi nazwę wzoru Hertza.

Tabela Pomiarowa

L.p.

φ [°]

v [m/s]

ln(v)

τ

[μs]

τ

[μs]

τ

[μs]

τ

[μs]

τ

[μs]

τ

[μs]

τ

[μs]

τ

[μs]

τsr

[μs]

ln(τ)

1

3

0,116

-2,155

180

176

177

165

172

164

155

167

169,5

-8,683

2

5

0,193

-1,644

148

139

135

150

150

145

157

153

147,1

-8,824

3

7

0,27

-1,308

144

142

139

137

143

128

142

135

138,7

-8,883

4

9

0,348

-1,057

136

130

126

133

119

125

132

128

128,6

-8,959

5

11

0,425

-0,857

127

112

127

126

134

117

109

125

122,1

-9,011

6

13

0,501

-0,69

118

114

126

116

122

115

124

111

117

-9,053

Wykres zależności logarytmu prędkości od logarytmu czasu.

Z wykresu odczytujemy odwrotność współczynnika kierunkowego prostej, który jest wykładnikiem wzoru Hertza (-1/5). Jest on równy 1/ - 3,987 co daje błąd procentowy w wysokości 25 %.

Błąd dla wykresu obliczono metodą średniego błędu kwadratowego wg wzoru:

Wnioski:

Na podstawie wyników doświadczenia można stwierdzić, że im mniejszy kąt odchylenia kulki, tym mniej dokładny pomiar, natomiast im większy kąt odchylenia kulki tym pomiar staje się bardziej dokładny.



Wyszukiwarka