Temat :Czas zderzenia kul - sprawdzenie wzoru Hertza.
Imię i nazwisko: Grzegorz Pietras Lesław Wabia Semestr II Rok 1995/96 Wydział Elektryczny. |
|||
Zespół |
data |
ocena |
podpis |
3 |
|
|
|
Rozpatrzmy zderzenie dwóch jednakowych, metalowych kul . Wpiszmy najpierw wielkości charakteryzujące każdą z kul, które będą istotne w procesie zderzenia. Rozmiary geometryczne kuli opisuje jej promień R, zaś jej bezwładność - masa M. Własności sprężyste materiału, z którego są zrobione kule określają dwa parametry : moduł Younga E i współczynnik Poissona δI. Przypomnijmy, że moduł Younga jest zdefiniowany przez prawo Hooka, które stwierdza proporcjonalność względnego wydłużenia (skrócenia) (Δl / l) do przyłożonego ciśnienia p., wywołującego to wydłużenie (skrócenie):
Współczynnik Poissona δ jest zdefiniowany jako stosunek względnego poprzecznego skrócenia do względnego podłużnego wydłużenia. Jest to zatem wielkość bezwymiarowa. Załóżmy, że jedna z dwóch takich samych kul - o masie M. Spoczywa, a druga zbliża się do niej z pewną prędkością. Najwygodniejszym do opisu układem odniesienia będzie układ środka masy tych kul . W tym układzie obie kule zbliżają się do siebie z tą samą prędkością vI .
Energia kinetyczna tych kul w układzie środka masy wynosi :
gdzie:
- masa zredukowana
- prędkość względna kul
W czasie zderzenia obie kule deformują się :
Niech parametr h określa względne zbliżenie środków kul w czasie zderzenia. Zmienia się on od wartości zero (początek zderzenia) do pewnej wartości maksymalnej h0 i z powrotem do zera (koniec zderzenia). Energia całkowita układu kul składa się teraz z dwóch części: energii kinetycznej i energii potencjalnej.
Można pokazać, że energia kinetyczna jest proporcjonalna do kwadratu szybkości zmian parametru h:
zaś energia potencjalna jest proporcjonalna do parametru h w potędze 5/2:
gdzie k jest pewną stałą, zależną od R,E i δ.
Stosując zasadę zachowania energii, otrzymujemy równanie:
Maksymalne zbliżenie środków kul jest wtedy, gdy (dh/dt)=0. Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania, otrzymujemy następujące wyrażenie dla h0:
a to możemy przekształcić łatwo do następującej postaci :
Dysponując tym równaniem nie trudno napisać równanie na czas zderzenia kul τ :
Obliczenie tej całki nie jest proste napiszmy więc jedynie końcowy rezultat:
Powyższe równanie nosi nazwę wzoru Hertza.
Tabela Pomiarowa
L.p. |
φ [°] |
v [m/s] |
ln(v) |
τ [μs] |
τ [μs] |
τ [μs] |
τ [μs] |
τ [μs] |
τ [μs] |
τ [μs] |
τ [μs] |
τsr [μs] |
ln(τ) |
1 |
3 |
0,116 |
-2,155 |
180 |
176 |
177 |
165 |
172 |
164 |
155 |
167 |
169,5 |
-8,683 |
2 |
5 |
0,193 |
-1,644 |
148 |
139 |
135 |
150 |
150 |
145 |
157 |
153 |
147,1 |
-8,824 |
3 |
7 |
0,27 |
-1,308 |
144 |
142 |
139 |
137 |
143 |
128 |
142 |
135 |
138,7 |
-8,883 |
4 |
9 |
0,348 |
-1,057 |
136 |
130 |
126 |
133 |
119 |
125 |
132 |
128 |
128,6 |
-8,959 |
5 |
11 |
0,425 |
-0,857 |
127 |
112 |
127 |
126 |
134 |
117 |
109 |
125 |
122,1 |
-9,011 |
6 |
13 |
0,501 |
-0,69 |
118 |
114 |
126 |
116 |
122 |
115 |
124 |
111 |
117 |
-9,053 |
Wykres zależności logarytmu prędkości od logarytmu czasu.
Z wykresu odczytujemy odwrotność współczynnika kierunkowego prostej, który jest wykładnikiem wzoru Hertza (-1/5). Jest on równy 1/ - 3,987 co daje błąd procentowy w wysokości 25 %.
Błąd dla wykresu obliczono metodą średniego błędu kwadratowego wg wzoru:
Wnioski:
Na podstawie wyników doświadczenia można stwierdzić, że im mniejszy kąt odchylenia kulki, tym mniej dokładny pomiar, natomiast im większy kąt odchylenia kulki tym pomiar staje się bardziej dokładny.