Nr ćwiczenia: 4a |
|
Nr zespołu: 1 |
Data wykonania: 25.02.1998r. |
WIE Gr. 12A |
Tytuł ćwiczenia: Wyznaczenie przyśpieszemia ziemskiego przy użyciu wahadła matematycznego. |
Ocena:
|
Podpis: |
I .Wprowadzenie.
Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m, zawieszony na nierozciągliwej, pozbawionej masy nici o długości l. Kiedy ciało wytrącimy z poziomu równowagi (wychylając go o mały kąt), zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie pionowej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch drgający prosty. Okres drgań takiego wahadła jest określony zależnością:
gdzie:
l - długość wahadła,
g- przyśpieszenie ziemskie.
Z powyższego wzoru wynika, że okres wahadła matematycznego zależy od:
długości wahadła, jest mianowicie proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego z l,
od wartości przyśpieszenia ziemskiego, które ma różną wartość w różnych punktach kuli ziemskiej.
Wyznaczając dokładnie okres wahań oraz mierząc jego długość l (długość nici + promień zawieszonej kuli), można wyznaczyć przyśpieszenie w danym punkcie Ziemi. W celu zmierzenia okresu należy zmierzyć kilkakrotnie czas kilkunastu (np.10) okresów, a następnie wyliczyć średnią.
Zadanie 1. Udowodnić wzór na okres wahadła:
.
Poniższy rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m, odchylone od pionu o kąt
.
Na masę m działa siła przyciągania grawitacyjnego mg i naprężenia nici T. Siłę ciężkości rozkładamy na składowe mg
i mg
.
Jeżeli kąt
jest bardzo mały to:
więc:
;
Jest więc to przykład ruchu harmonicznego, gdzie stała
określa stałą k w równaniu F= -kx
Równanie ruchu:
gdzie
;
pisząc
otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego:
.
bo
a więc ostatecznie otrzymujemy:
co należało udowodnić.
Zadanie 2. Pokazać, że
, wiedząc że:
.
a więc
co należało udowodnić.
Zadanie 3. Pokazać, że jeżeli funkcja ma postać
to:
, gdzie
, A -stała.
co należało udowodnić.
Zadanie 4. Opisać na czym polega metoda regresji liniowej.
Metoda regresji liniowej polega na tym aby, wykreślić prostą na podstawie punktów pomiarowych w najbardziej optymalny sposób. Należy założyć zależność liniową między wielkościami x i y:
y=ax+b
parametry a,b należy dobrać tak aby suma kwadratów odchyleń od prostej była najmniejsza (obliczone parametry oznaczamy przez
):
Będzie on spełniony gdy pochodne cząstkowe sumy względem a i b będą równe zero:
,
,
z których obliczamy
:
Błędy pomiarowe:
Dla oceny dokładności pomiarów zdefiniowano następujące błedy:
błąd średni kwadratowy pojedyńczego pomiaru:
,
błąd średni średniej arytmetycznej:
błąd względny i procentowy:
błąd maksymalny (dla pomiarów pośrednich):
Wartość szacowaną obliczamy w następujący sposób:
II. Tabele pomiarowe i obliczenia.
pomiar okresu T
Lp |
10Ti [s] |
Ti [s] |
[s] |
[s2] |
1. |
19,00 |
1,9 |
0,0362 |
0,00131044 |
2. |
19,40 |
1,94 |
-0,0038 |
0,00001444 |
3. |
19,10 |
1,91 |
0,0262 |
0,00068644 |
4. |
19,44 |
1,944 |
-0,0078 |
0,00006084 |
5. |
19,44 |
1,944 |
-0,0078 |
0,00006084 |
6. |
19,50 |
1,95 |
-0,0138 |
0,00019044 |
7. |
19,40 |
1,94 |
-0,0038 |
0,00001444 |
8. |
19,80 |
1,98 |
-0,0438 |
0,00191844 |
9. |
19,44 |
1,944 |
-0,0078 |
0,00006084 |
10. |
19,10 |
1,91 |
0,0262 |
0,00068644 |
pomiar promienia kuli r.
Lp |
2ri [mm] |
ri [mm] |
[mm] |
[mm2] |
1. |
30 |
15 |
0,004 |
0,000016 |
2. |
30 |
15 |
0,004 |
0,000016 |
3. |
30,02 |
15,01 |
-0,006 |
0,000036 |
4. |
30,01 |
15,005 |
-0,001 |
0,000001 |
5. |
30,01 |
15,005 |
-0,001 |
0,000001 |
,
pomiar długości nici s.
lp |
si [cm] |
[cm] |
[cm2] |
1. |
91,5 |
0,125 |
0,015625 |
2. |
91,7 |
-0,075 |
0,005625 |
3. |
91,6 |
0,025 |
0,000625 |
4. |
91,7 |
-0,075 |
0,005625 |
,
Błąd względny i procentowy:
III. Wnioski.
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................