Wielomianem jednej zmiennej x∈R (funkcą wielomianową) nazywamy funkcję określoną wzorem:
W(x)= anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0
Równaniem algebraicznym stopnia n nazywamy równanie postaci:
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 = 0
Pierwiastkiem algebraicznym n-tego stopnia z liczby a nazywamy każde rozwiązanie rzeczywiste równania.
xn = a
Jeśli n jest liczbą naturalną parzystą i a ≥ 0, toto równanie xn = a ma dwa roawiązania:
x = lub x = -
Jeśli n jest liczbą naturalną nieparzystą i a < 0, to równanie xn = a ma jedno rozwiązanie:
x = -
Sposoby rozwiązywania niektórych równań wyższych stopni (n>2)
|
Postać równannia |
Metoda rozwiązywania |
Równanie daje się sprowadzić do równania kwadratowego |
ax2n+bxn+c=0 a≠0 |
Poprzez wprowadzenie zmiennej pomocniczej xn=t (t ≥0, gdy n jest liczbą parzystą) |
Równanie zwrotne czwartego stopnia |
x4+ax3+bx2+ax+1=0 |
Poprzez wprowadzenie zmiennej pomocniczej t=x+1/x |
Równanie algebraiczne stopnia n |
anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 = 0 a≠0 |
Jeśli wielomian W(x)= anxn+an-1xn-1 + ...+a1x+a0 rozkłada się na czynniki an(x-x1)(x-x2)*...*(x-xn), (an≠0), to równanie W(x)=0, jest równoważne alternatywie równań x-x1=0 ∨ x-x2=0 ∨...∨ x-xn=0
|