RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

• ZBIORY W PRZESTRZENI Rⁿ

• Definicja przestrzeni n-wymiarowej:

Przestrzenią n-wymiarową Rⁿ nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych układów (x₁,x₂,...,x_n) n liczb rzeczywistych, dla n>1.

Układy (x₁,x₂,...,x_n) nazywamy punktami przestrzeni Rⁿ, liczby x₁,x₂,...,x_n - współrzędnymi prostokątnymi tych punktów.

• Definicja przestrzeni dwuwymiarowej:

Przestrzenią dwuwymiarową (płaszczyzną) nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (x,y), gdzie x,y
R, oznaczamy przez R². Elementy (x,y) nazywamy punktami płaszczyzny. Liczby x,y nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi punktów (x,y).

• Definicja przestrzeni trójwymiarowej:

Przestrzenią trójwymiarową (przestrzenią) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporządkowanych (x,y,z), gdzie x,y,z
R, oznaczamy przez R³. Elementy (x,y,z) nazywamy punktami przestrzeni. Liczby x,y,z nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi punktów (x,y,z).

• Definicja odległości punktów:

Odległością d_AB punktów A(a₁,a₂,...,a_n) i B(b₁,b₂,...,b_n) przestrzeni Rⁿ jest określona wzorem:

n=1

n=2

n=3

Niech r oznacza dowolną liczbę rzeczywistą dodatnią, tj. r
R₊.

• Definicja otoczenia:

Otoczeniem Q(P₀,r) punktu P₀(a₁,a₂,...,a_n) o promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów P(x₁,x₂,...,x_n), dla których
.

• Definicja sąsiedztwa:

Sąsiedztwem S(P₀,r) punktu P₀(a₁,a₂,...,a_n) o promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów P(x₁,x₂,...,x_n), dla których
.

Niech O oznacza punkt O(0,0,...,0)
Rⁿ.

• Definicja zbioru ograniczonego i nieograniczonego:

Zbiór Z
Rⁿ nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieje taka liczba r>0, że Z
Q(0,r), natomiast nieograniczonym, gdy taka liczba nie istnieje.

Niech n oznacza dowolną liczbę naturalną.

• Definicja zbioru skończonego i nieskończonego:

Zbiór nazywamy skończonym, jeżeli należy do niego dokładnie n punktów. Zbiór nazywamy nieskończonym, jeżeli nie jest ani pusty ani skończony.

• FAKT:

Zbiór ograniczony może być skończony lub nieskończony. Każdy zbiór skończony jest ograniczony.

Niech Z
Rⁿ.

• Definicja punktu wewnętrznego:

Punkt P
Z nazywamy punktem wewnętrznym zbioru Z, jeżeli ten zawiera pewne otoczenie punktu P.

• Definicja zbioru otwartego:

Zbiór, którego każdy punkt jest punktem wewnętrznym, nazywamy zbiorem otwartym.

Z={(x,y,z): x²+y²+x²<1}

• Definicja łuku zwykłego:

Łuk zwykły w przestrzeni Rⁿ jest to zbiór wszystkich punktów P(x₁,x₂,...,x_n) o współrzędnych:

x₁=x₁(t), x₂=x₂(t), ..., x_n=x_n(t) (1)

gdzie x_i(t), i=1,2,...,n są to funkcje ciągłe, określone w przedziale <α,β>, przy czym różnym wartościom parametru t
( α,β) odpowiadają różne punkty P.

Łuk zwykły nazywamy otwartym, jeżeli nie jest spełniona co najmniej jedna z równości x_i(α)=x_i(β), i=1,2,...,n, natomiast zamkniętym lub zwykłą krzywą zamkniętą, jeżeli każda z tych równości jest spełniona. Jeżeli funkcje (1) mają ciągłe pochodne w przedziale <α,β> oraz:

, dla t
<α,β> (2)

to łuk zwykły nazywamy gładkim (regularnym).

Jeżeli natomiast przedział <α,β> można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów tak, aby w każdym z nich oddzielnie funkcje (1) miały ciągłe pochodne (na końcach podprzedziałów pochodne jednostronne) oraz spełniony był warunek (2), to łuk nazywamy kawałkami gładkim.

Przykład łuku gładkiego: Przykład łuku kawałkami gładkiego:

Z 1

0<t<2π -1 1

-1

Y

X

• Definicja obszaru:

Obszar jest to taki zbiór otwarty, którego każde dwa punkty można połączyć łukiem zwykłym (łamaną) całkowicie w zawartą.

A i B są obszarami

A
B nie jest obszarem

UWAGA: Obszar może być zarówno ograniczony jak i nieograniczony.

• Definicja punktu skupienia:

Punkt P nazywamy punktem skupienia zbioru Z, jeżeli w każdym sąsiedztwie punktu P znajduje się punkt tego zbioru.

• Definicja zbioru domkniętego:

Zbiór domknięty jest to zbiór, do którego należą wszystkie jego punkty skupienia.

• Definicja punktu odosobnionego:

Punkt P
Z, który nie jest punktem skupienia zbioru Z, nazywamy punktem odosobnionym tego zbioru.

• Definicja punktu brzegowego:

Punkt P nazywamy punktem brzegowym zbioru Z, jeżeli w każdym otoczeniu tego punktu znajduje się zarówno punkt zbioru Z jak i punkt, który do tego zbioru nie należy.

Punkty brzegowe

• Definicja brzegu zbioru:

Brzeg zbioru jest to zbiór wszystkich punktów brzegowych tego obszaru.

• Definicja obszaru domkniętego:

Obszar D wraz z brzegiem nazywamy obszarem domkniętym i oznaczamy symbolem
.

• Definicja krzywej Jordana:

Krzywą Jordana nazywamy zwykłą krzywą zamkniętą w przestrzeni R².

UWAGA: Krzywa Jordana dzieli płaszczyznę na dwa obszary. Jeden z tych obszarów jest ograniczony i nazywamy go wnętrzem krzywej Jordana, drugi z tych obszarów jest nieograniczony.

• Definicja obszaru jednospójnego i wielospójnego:

Obszar w przestrzeni R² nazywamy jednospójnym, jeżeli należy do niego wnętrze każdej leżącej w nim krzywej Jordana. Obszar, który nie jest jednospójny, nazywamy obszarem wielospójnym.

pierścień kołowy

R

Obszar jednospójny Obszar wielospójny

• Definicja:

Jeżeli brzeg obszaru w przestrzeni R² składa się z rozłącznych krzywych Jordana, łuków zwykłych otwartych i punktów, to ich łączną liczbę n nazywamy rzędem spójności i obszar nazywamy n-spójnym.

• FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

• Definicja funkcji wielu zmiennych:

Funkcją n zmiennych x₁,x₂,...,x_n określoną Z
Rⁿ nazywamy przyporządkowanie każdemy punktowi P(x₁,x₂,...,x_n)
Z dokładnie jednej liczby z
R. Zbiór Z nazywamy dziedziną tej funkcji. Piszemy przy tym:

z=f(x₁,x₂,...,x_n), dla (x₁,x₂,...,x_n)
Z

lub krótko:

z=f(P), dla P
Z

Symbole:

x₁,x₂,...,x_n oznaczają zmienne niezależne

z oznacza zmienną zależną

f oznacza symbol przyporządkowania

UWAGA: Jeżeli funkcja f jest określona pewnym wzorem i jej dziedzina nie jest podana, to należy przyjąć, że jest ni zbiór wszystkich punktów P(x₁,x₂,...,x_n), dla których wzór ten ma sens liczbowy. Jest to tzw. dziedzina naturalna.

Przykład: Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji f(x,y)=
.

2

D_f={(x,y)
R²: x²+y²<4}

-2 2

-2

• Definicja funkcji ograniczonej:

Funkcję f(P) nazywamy ograniczoną w zbiorze Z, jeżeli istnieje taka liczba M, że dla każdego P
Z spełniona jest nierówność:

|f(P)| < M

Interpretacja geometryczna funkcji dwóch zmiennych:

Każdemu punktowi P(x,y)
Z
R² przyporządkowujemy dokładnie jeden punkt (x,y,z) w przestrzeni OXYZ, przy czym Z=f(x,y).

Zbiór wszystkich punktów (x,y,f(x,y)), gdy (x,y)
Z nazywamy wykresem funkcji dwóch zmiennych.

Z

z=f(x,y)

(x,y,f(x,y))

Y

(x,y) Z

X

Przykład: Z

z=2x²+3y²

x=0
z=3y²

y=0
z=2x²

Y

X

• GRANICE NIEWŁAŚCIWE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

• Definicja:

Mówimy, że ciąg punktów (P_k), k=1,2,..., w przestrzeni Rⁿ jest zbieżny do punktu P₀ i piszemy P_k→P₀ wtedy i tylko wtedy, gdy:

Jeżeli
oznacza k-ty wyraz ciągu punktów (P_k), a
punkt stały, to:

Przykład:

k→
k→
k→

P₀ (0, 2, 0)

Rozważmy zbiór Z
Rⁿ, w którym jest określona funkcja z=f(P). Niech P₀
Z będzie punktem skupienia tego zbioru.

• Definicja Heinego granicy funkcji:

Liczbę g nazywamy granicą funkcji f(P) w punkcie P₀, jeżeli dla każdego ciągu punktów (P_k), P_k
Z, P_k
P₀, zbieżnego do P₀, ciąg (f(P_k­)) jest zbieżny do g. Piszemy przy tym:

Przykład: Obliczyć

D={(x,y)
R²: x
y}

Weźmy ciąg punktów P_k(x_k,y_k)
(0,0)

• Definicja Cauchy'ego granicy funkcji:

• FAKT:

Definicje Heinego i Cauchy'ego granicy funkcji n-zmiennych są równoważne.

UWAGA: Z definicji Heinego korzystamy często w przypadkach, których celem jest wykazanie, że pewna granica nie istnieje. Wystarczy wówczas udowodnić, że istnieją dwa ciągi (P_k') i (P_k”) punktów dziedziny rozważanej funkcji zbieżnej do punktu P₀, P_k'
P₀, P_k”
P₀, dla których odpowiednie ciągi wartości funkcji (f(P_k')) i (f(P_k”)) nie są zbieżne do tej samej granicy g.

Przykład: Wykazać, że granica podwójna
nie istnieje.

Niech:

• GRANICE ITEROWANE

Niech funkcja f będzie funkcją dwóch zmiennych.

• Definicja:

Jeżeli istnieje liczba:

(1)

to nazywamy ją granicą iterowaną funkcji f(x,y), gdy najpierw y→y₀, a następnie x→x₀.

• Definicja:

Jeżeli istnieje liczba:

(2)

to nazywamy ją granicą iterowaną funkcji f(x,y), gdy najpierw x→x₀, a następnie y→y₀.

UWAGA: Istnienie granicy funkcji w punkcie P₀(x₀,y₀) jest niezależne od istnienia granic iterowanych (1) i (2). Granica (podwójna) funkcji f(x,y) może więc nie istnieć, natomiast granice (1) i (2) mogą istnieć i na odwrót. Ponadto, jeżeli granice iterowane istnieją, to mogą być różne.

Przykład: Obliczyć granice iterowane funkcji f(x,y)=
w punkcie (0,0).

• CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI n - ZMIENNYCH

• Definicja ciągłości funkcji w punkcie:

Funkcja f jest ciągła w punkcie P₀ wtedy i tylko wtedy, gdy
.

UWAGA: Jeżeli funkcja n - zmiennych f(x₁,x₂,...,x_n) jest w tym punkcie ciągła, to dla każdego k=1,2,...,n funkcja
jednej zmiennej x_k jest ciągła w punkcie x_k⁽⁰⁾. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

• Definicja:

Funkcję f(P) nazywamy ciągłą w pewnym zbiorze, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Przykład: Określić wartość funkcji w punkcie (0,3) tak, aby funkcja
była ciągła w

tym punkcie.

• Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku:

Jeżeli funkcja f(P), określona w pewnym otoczeniu punktu P₀, jest w tym punkcie ciągła i f(P₀)>0 [albo f(P₀)<0], to istnieje takie sąsiedztwo S punktu P₀, że dla każdego punktu P
S jest spełniona nierówność f(P)>0 [albo odpowiednio f(P)<0].

• Twierdzenie o ograniczoności funkcji:

Jeżeli funkcja f(P) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym
, to jest w tym obszarze ograniczona.

• Twierdzenie Weiestrassa o osiąganiu kresów:

Jeżeli funkcja f(P) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym
, to istnieje taki punkt P₁

, że

oraz istnieje taki punkt P₂

, że

• Twierdzenie Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich:

Jeżeli funkcja f(P) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym
oraz:

to istnieje taki punkt P₀

, że f(P₀)=μ.

• Twierdzenie Cantora o ciągłości jednostajnej:

Jeżeli funkcja f(P) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym
, to dla każdej liczby ε>0 istnieje taka liczba δ>0, że dla każdych dwóch punktów P₁

i P₂

, których odległość
spełnia warunek
< δ spełniona jest nierówność:

|f(P₁)-f(P₂)|<ε

Podana właściwość funkcji ciągłej w zbiorze domkniętym i ograniczonym
nazywa się jednostajną ciągłością.

• POCHODNE CZĄSTKOWE

Niech f oznacza funkcję n - zmiennych określoną w otoczeniu Q punktu
. Oznaczmy symbolem Δx_i przyrost zmiennej x_i, 1<i<n, różny od zera i taki, żeby punkt
należał do otoczenia Q.

• Definicja pochodnej cząstkowej rzędu pierwszego:

Granicę właściwą:

nazywamy pochodną cząstkową rzędy pierwszego funkcji f(P) względem zmiennej x_i w punkcie P₀ i oznaczamy symbolem
.

• Definicja pochodnej cząstkowej rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych:

, h₁ oznacza przyrost zmiennej x

, h₂ oznacza przyrost zmiennej y

Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe:

1. f(x,y)=x^y

2. f(x,y,z)=x²yx³-xcox(yz)+
   

• Definicja:

Jeżeli funkcja f(P) ma pochodną cząstkową rzędu pierwszego względem zmiennej x, w każdym punkcie pewnego zbioru Ω
Rⁿ, to mówimy, że funkcja ta ma pochodną cząstkową pierwszego rzędu względem zmiennej x_i, w tym zbiorze.

W zbiorze Ω definiujemy funkcję, która każdemu punktowi P
Ω przyporządkowuje
. Funkcję tą nazywamy pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej x_i i oznaczamy symbolem
,
,
.

Przykład: Obliczyć wartości pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego funkcji
w punkcie

P₀(2,-3).

• Definicja pochodnej cząstkowej rzędu drugiego:

Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego pochodnych cząstkowych
, 1<i<n, nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego funkcji z=f(x₁,x₂,...,x_n).

Oznaczamy:
, 1<i, j<n

Inne oznaczenie:

Jeżeli i=j to zamiast
, piszemy
lub

UWAGA: Funkcja n zmiennych może mieć n² różnych pochodnych cząstkowych rzędu drugiego.

Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego z funkcji z=sin(x²+y³).

z_x=cos(x²+y³)2x

z_y=cos(x²+y³)3y²

• Definicja:

Pochodną
w przypadku, gdy i
j nazywamy pochodną cząstkową mieszaną rzędu drugiego.

• Twierdzenie Schwarza:

Jeżeli funkcja f(x₁,x₂,...,x_n) ma w pewnym obszarze Ω
Rⁿ ciągłe pochodne cząstkowe mieszane rzędu drugiego
oraz
, to w każdym punkcie tego obszaru:
=
.

• Definicja pochodnej cząstkowej rzędu trzeciego:

Pochodną cząstkową rzędu pierwszego pochodnej cząstkowej rzędu drugiego nazywamy pochodną cząstkową rzędu trzeciego.

• Definicja:

Pochodną cząstkową rzędu n, określoną za pomocą różniczkowań względem co najmniej dwóch różnych zmiennych nazywamy pochodną cząstkową mieszaną rzędu n.

UWAGA: Zachodzi tu również twierdzenie Schwarza, tzn.:

Jeżeli funkcja f(x₁,x₂,...,x_n) ma pochodne cząstkowe mieszane różniące się tylko kolejnością różniczkowania względem zmiennych x₁,x₂,...,x_n, przy tej samej liczbie różniczkowań względem każdej z tych zmiennych i jeżeli pochodne są ciągłe w obszarze Ω
Rⁿ, to są w tym obszarze równe.

Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu trzeciego funkcji z=x³y+2xy²+5

z_x=3x²y+2y² z_xx=6xy z_xxx=6x z_y=x³+4xy z_yy=4x z_yyy=0

z_xy=3x²+4y z_yx=3x²+4y

z_xxy=6x z_yxx=6x z_xyx=6x z_yyx=4 z_xyy=4 z_yxy=4

Niech Z oznacza pewien zbiór w przestrzeni Rⁿ.

• Definicja:

Klasą Cⁿ(Z) nazywamy zbiór wszystkich funkcji f(P), mających w zbiorze Z ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie.

• EKSTREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

Niech f(P) będzie funkcją n zmiennych określoną w pewnym otoczeniu punktu P₀
Rⁿ.

• Definicja ekstremum lokalnego:

Mówimy, że funkcja f(P) ma w punkcie P₀ maksimum lokalne [minimum lokalne], jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S punktu P₀, że dla każdego P
S spełniona jest nierówność:

f(P) < f(P₀) [f(P) > f(P₀)]

Maksima i minima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi. Jeżeli zamiast nierówności słabych jest spełniona odpowiednia nierówność mocna:

f(P) < f(P₀) lub f(P) > f(P₀)

to ekstremum nazywamy właściwym, tj. odpowiednio lokalnym maksimum właściwym lub lokalnym minimum właściwym. maksimum: minimum:

f(P₀)

f(P)

f(P)

z=f(x,y)

z=f(x,y) f(P₀)

P P₀ P₀ P

Weźmy funkcję f(x,y) określoną w pewnym otoczeniu punktu P₀
R².

• Twierdzenie: warunek konieczny istnienia ekstremum:

Jeżeli funkcja f(x,y) ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w punkcie P₀(x₀,y₀) i ma w tym punkcie ekstremum, to:

f_x(P₀)=0 i f_y(P₀)=0 (1)

• Definicja:

Punkt P₀(x₀,y₀), w którym spełniony jest warunek (1) nazywamy punktem stacjonarnym.

• FAKT: o lokalizacji ekstremów funkcji:

Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których wszystkie jej pochodne pierwszego rzędu są równe zero, albo w punktach, w których choć jedna z tych pochodnych nie istnieje.

• Twierdzenie: warunek wystarczający istnienia ekstremów:

Jeżeli funkcja f(x,y) jest klasy C² w pewnym otoczeniu punktu P₀(x₀,y₀), a ponadto:

1. f_x(P₀)=0 i f_y(P₀)=0

2. 
   

to funkcja f(x,y) ma w punkcie P₀ maksimum właściwe, gdy: f_xx(P₀)<0

natomiast minimum właściwe, gdy: f_xx(P₀)>0

UWAGA: Jeżeli spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum oraz W(P₀)<0 to funkcja f(x,y) nie ma ekstremum w punkcie P₀, natomiast jeśli W(P₀)=0, to w punkcie P₀ może być ekstremum jak i nie.

Przykład: Zbadać istnienie ekstremum funkcji

a)
, D:(x,y)
R².

1. warunek konieczny

2. warunek wystarczający

b) f(x,y)=x∙y, D: R²

1. warunek konieczny

2. warunek wystarczający

f_xx=0

f_yy=0 brak ekstremum

f_xy=0

Przykład: Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y)=3x²y-x³-y⁴, D: R²

1. warunek konieczny

2. warunek wystarczający

f_xx=6y-6x

f_yy=-12y²

f_xy=6x

Zauważmy, że jeśli
w P₀(0,0) nie istnieje ekstremum (nie jest

spełniona definicja).

• WARTOŚĆ NAJWIĘKSZA I NAJMNIEJSZA FUNKCJI

• Definicja wartości największej i najmniejszej funkcji na zbiorze:

Liczbę m nazywamy wartością najmniejszą na zbiorze A
D_f, jeżeli w tym zbiorze istnieje punkt, w którym ta funkcja przyjmuje wartość m oraz dla dowolnego punktu (x,y)
A zachodzi nierówność:

f(x,y) > m

Liczbę M nazywamy wartością największą na zbiorze A
D_f, jeżeli w tym zbiorze istnieje punkt, w którym ta funkcja przyjmuje wartość M oraz dla dowolnego punktu (x,y)
A zachodzi nierówność:

f(x,y) < M

Liczby m i M nazywamy także odpowiednio minimum i maksimum globalnym funkcji f na zbiorze A.

UWAGA: Funkcja f określona na obszarze domkniętym
może przyjmować wartość największa i najmniejszą nie tylko w punktach, w których ma ekstremum lokalne, ale też na brzegu obszaru
.

• FAKT: Poszukując wartości największej i najmniejszej należy:

1. zbadać istnienie ekstremów funkcji w obszarze
   

2. zbadać zmienność funkcji na brzegu
   , co sprowadza się do poszukiwania ekstremów funkcji jednej zmiennej

Przykład: Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji z=(x-y)²+xy-x na obszarze

D={(x,y)
R²: 0<x<1 _^ 0<y<13}.

1. z_x=2(x-y)+y-1=2x-y-1

z_y=2(x-y)∙(-1)+x=-x+2y

z_xx=2

z_yy=2

z_xy=-1

1. x=0 0<y<1 f₁(y)=y²

2. y=1 0<x<1 f₂(x)=(x-1)²

3. x=1 0<y<1 f₃(y)=y²-y

4. y=0 0<x<1 f₄(x)=x²-x

• POCHODNA KIERUNKOWA

Niech f(x,y) będzie funkcją klasy C¹ w pewnym otoczeniu Q punktu P₀(x₀,y₀) i niech P₀s oznacza półoś o początku w punkcie P₀.

Oznaczamy przez P dowolny punkt osi P₀s, różny od P₀, należący do otoczenia Q punktu P₀.

• Definicja pochodnej kierunkowej:

Granicę właściwą
nazywamy pochodną funkcji f kierunku półosi P₀s, krótko pochodną kierunkową, w punkcie P₀ i oznaczamy symbolem
, tj.:

• GRADIENT FUNKCJI

Niech f(x₁,x₂,...,x_n) będzie funkcją klasy C¹ w pewnym otoczeniu punktu P₀
Rⁿ.

nazywamy gradientem funkcji f w punkcie P₀ i oznaczamy symbolem grad f(P₀).

• FAKT: Interpretacja geometryczna gradientu:

Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.

Przykład: Wyznaczyć gradient funkcji f(x,y)=x³y²+3x-y w punkcie P₀(-2,1).

grad f=[3x²y²+3, 2yx³-1]

grad f(P₀)=[15,-17]

• FAKT: Związek gradientu z pochodną kierunkową:

gdzie
oznacza wersor półosi P₀s.

• RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI ZŁOŻONEJ

• Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej:

Jeżeli funkcja z=f(x₁,x₂,...,x_n), n>0 jest klasy C¹ w obszarze D
Rⁿ, a ponadto funkcje x_i=x_i(t), i=1,2,...,n mają pochodne w przedziale (α,β), oraz (x₁,x₂,...,x_n)
D, gdy t
(α,β), to funkcja złożona zmiennej t:

z=f(x₁(t), x₂(t),...,x_n(t))

ma pochodną w każdym punkcie przedziału (α,β), przy czym:

z=f(x(t), y(t))

Przykład: Obliczyć
funkcji z=x²+ysinx w punkcie t₀=0, jeśli x=2t+e^t, y=e^t-sint.

Zauważmy, że pochodne cząstkowe
oraz
funkcji złożonej z=f(x(t), y(t)) są także funkcjami złożonymi zmiennej t, tj.:

Przy założeniu istnienia i ciągłości pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji f(x,y) w rozważanym obszarze, istnienia drugich pochodnych funkcji x(t) i y(t) w przedziale (α,β) otrzymujemy wzór na pochodną rzędu drugiego funkcji złożonej w postaci:

i dalej: pochodna pochodna

Analogicznie otrzymujemy wzory na pochodne cząstkowe wyższych rzędów.

• Twierdzenie o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej:

Jeżeli funkcja z=f(x₁,x₂,...,x_n), n>2 jest klasy C¹ w obszarze D
Rⁿ, a ponadto funkcje x_i=x_i(u₁,u₂,...,u_m)
D₁, to funkcja złożona m zmiennych:

z=f(x₁(u₁,u₂,...,u_m), x₂(u₁,u₂,...,u_m),..., x_n(u₁,u₂,...,u_m))

ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w każdym punkcie obszaru D₁, przy czym:

Analogicznie wyprowadzamy wzory na pochodne cząstkowe wyższych rzędów funkcji złożonej.

• POCHODNE CZĄSTKOWE FUNKCJI ZŁOŻONEJ DWÓCH ZMIENNYCH

Załóżmy, że f(x,y)
C² w D₁
R², a x=x(u,v) i y=y(u,v)
C² w obszarze D₁
R². Niech (x,y)
D, gdy (u,v)
D₁.

Na podstawie twierdzenia o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej, otrzymujemy pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:

Stąd dalej pochodne cząstkowe rzędu drugiego wyrażają się zależnościami:

• 
  

• 
  

• 
  

• RÓŻNICZKA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

Niech z=f(x,y) będzie funkcją dwóch zmiennych określoną w pewnym otoczeniu punktu P₀(x₀,y₀).

• Twierdzenie o przedstawieniu przyrostu funkcji:

Jeżeli funkcja f(x,y) ma w pewnym otoczeniu Q punktu P₀(x₀,y₀) pochodne cząstkowe f_x(x,y) i f_y(x,y), które są ciągłe w punkcie P₀, oraz (x₀+Δx, y₀+Δy)
Q, to przyrost Δf taj funkcji, tj.:

Δf=f(x₀+Δx, y₀+Δy) - f(x₀,y₀)

można przedstawić w postaci:

Δf=f_x(x₀,y₀)Δx + f_y(x₀,y₀)Δy + ερ

gdzie:
, przy czym ε→0, gdy ρ→0.

WNIOSEK: Jeżeli funkcja f(x,y) ma w pewnym otoczeniu punktu P₀(x₀,y₀) pochodne cząstkowe

rzędy pierwszego, które są ciągłe w tym punkcie, to jest ciągła w punkcie P₀.

WNIOSEK: Jeżeli funkcja f(x,y) ma w pewnym otoczeniu punktu P₀(x₀,y₀) ograniczone pochodne

cząstkowe rzędu pierwszego, to jest w tym punkcie ciągła.

Niech Δf i ρ będą określone tak, jak w twierdzeniu o przedstawieniu przyrostu funkcji oraz niech o(ρ) oznacza nieskończenie małą rzędu wyższego, niż ρ, gdy ρ→0.

• Definicja

Funkcję f(x,y) nazywamy różniczkowalną w punkcie P₀(x₀,y₀), jeżeli istnieją takie liczby A i B, że dla każdego dostatecznie małego ρ zachodzi:

Δf = AΔx + BΔy + o(ρ)

WNIOSEK: Funkcja f(x,y) jest różniczkowalna w punkcie P₀(x₀,y₀) wtedy i tylko wtedy, gdy:

Δf = f_x(x₀,y₀)Δx + f_y(x₀,y₀)Δy + o(ρ)

• Definicja różniczki zupełnej:

Składnik liniowy ze względu na Δx i Δy, tj.:

f_x(x₀,y₀)Δx + f_y(x₀,y₀)Δy

przyrostu Δf funkcji f(x,y), różniczkowalnej w punkcie P₀(x₀,y₀), nazywamy różniczką zupełną funkcji f(x,y) w tym punkcie.

Różniczkę zupełną funkcji z=f(x,y) w punkcie P₀(x₀,y₀), oznaczamy symbolem df(x₀,y₀), lub krótko df lub też dz.

Przyrosty Δx, Δy nazywamy różniczkami zmiennych niezależnych i oznaczamy odpowiednio symbolami dx i dy. Stąd:

df(x₀,y₀)
f_x(x₀,y₀)dx + f_y(x₀,y₀)dy

dla każdego punktu P₀(x₀,_­y₀), w którym funkcja f(x,y) jest różniczkowalna. Piszemy krótko:

Iloczyny:

i

nazywamy różniczkami cząstkowymi funkcji f(x,y) i oznaczamy odpowiednio d_xf i d_yf.

• FAKT: Zastosowanie różniczki zupełnej:

Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x₀,y₀). Wtedy:

f(x₀+dx, y₀+dy)
f(x₀,y₀)+df(x₀,y₀)

przy czym błąd tego przybliżenia, tj.: df - Δf, w stosunku do ρ dąży do zera, gdy ρ→0, tj.:

Przykład: Obliczyć przybliżoną wartość funkcji
.

f(x,y)=

x₀=2 dx=0,1

y₀=8 dy=0,05

Interpretacja geometryczna funkcji różniczkowalnej w punkcie:

Różniczkowalność funkcji z=f(x,y) w punkcie (x₀,y₀) oznacza, że istnieje płaszczyzna styczna (niepionowa) do wykresu tej funkcji w punkcie (x₀,y₀,f(x₀,y₀)).

• FAKT: Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji:

Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe
,
w punkcie (x­₀,y₀). Wówczas płaszczyzna styczna wykresu funkcji f w punkcie o współrzędnych (x₀,y₀,f(x₀,y₀)) ma postać:

Z

(x₀,y₀,f(x₀,y₀))

z=f(x,y)

y₀ Y

x₀ (x₀,y₀)

X

Przykład: Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji
w

punkcie
. Z

z²=9-x²-y²

x²+y²+z²=9

Y

X

• RÓŻNICZKI ZUPEŁNE DRUGIEGO I WYŻSZYCH RZĘDÓW

Niech z=f(x,y) jest klasy C² w pewnym obszarze. Przy ustalonych wartościach różniczek dx i dy różniczek df jest pewną funkcją zmiennych x i y klasy C^-1, w więc różniczkowalną w rozpatrywanym obszarze.

• Definicja:

Różniczką zupełną rzędu drugiego funkcji f(x,y) nazywamy różniczkę zupełną funkcji df i oznaczamy d²f(x,y) bądź krótko d²f lub d²z.

Mamy zatem:

Korzystając z twierdzenia Schwarza o równości pochodnych cząstkowych otrzymujemy:

• Definicja:

Różniczką zupełną rzędu n nazywamy różniczkę zupełną funkcji d^n-1f i oznaczamy dⁿf(x,y), bądź krótko dⁿf lub dⁿz.

Stąd:

dⁿf=d(d^n-1f), n=2,3,...

• FAKT:

Jeżeli funkcja z=f(x,y) jest klasy Cⁿ w pewnym obszarze, to różniczka dⁿf istnieje i:

lub:

• Twierdzenie Taylora:

Jeżeli funkcja f(P) n zmiennych, dla n>2 jest klasy Cⁿ w pewnym otoczeniu Q punktu P₀(x₁⁽⁰⁾,x₂⁽⁰⁾,...,x_n⁽⁰⁾) oraz punkt P(x₁⁽⁰⁾+h₁,x₂⁽⁰⁾+h₂,...,x_n⁽⁰⁾+h_n)
Q i P₀
P, to istnieje taka liczba θ
(0,1), że:

(1)

gdzie
(x₁⁽⁰⁾+θh₁,x₂⁽⁰⁾+ θh₂,...,x_n⁽⁰⁾+ θh_n), a różniczki dⁱf, i=1,2,...,n są liczone dla przyrostów h₁,h₂,...,h_n.

Wzór (1) nazywamy wzorem Taylora. Ostatni składnik we wzorze Taylora nazywamy n-tą resztą wzoru Taylora i oznaczamy przez R_n.

• FUNKCJA UWIKŁANA

Niech F(x,y) oznacza funkcję określoną w pewnym obszarze.

• Definicja funkcji uwikłanej:

Jeżeli istnieje funkcja y=f(x), spełniająca w każdym punkcie x pewnego zbioru X warunek

F(x,f(x))=0

to nazywamy ją funkcją uwikłaną określoną w zbiorze X równaniem: F(x,y)=0

Mówimy też, że funkcja y=f(x), jest określona w sposób uwikłany równaniem F(x,y)=0.

Przykład: Funkcja
jest funkcją uwikłaną określoną równaniem x²+y²-1=0

F(x,y) y=?

• Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności funkcji uwikłanej:

Jeżeli funkcja F(x,y) jest klasy C¹ w pewnym otoczeniu punktu P₀(x₀,y₀), a ponadto F(x₀,y₀)=0 i F_y(x₀,y₀)
0 to istnieje dokładnie jedna ciągła funkcja uwikłana y=f(x) określona w pewnym przedziale (x₀ - δ, x₀ + δ) za pomocą równania F(x,y) i spełniająca warunek: f(x₀)=y₀.

• Twierdzenie o różniczkowalności funkcji uwikłanej:

Jeżeli funkcja F(x,y) jest klasy C¹ w pewnym otoczeniu punktu P₀(x₀,y₀), a ponadto F(x₀,y_0­)=0 i F_y(x₀,y₀)
0, to funkcja uwikłana y=f(x) posiada w pewnym otoczeniu punktu x₀ pochodną f'(x), przy czym:

Przykład: Obliczyć pierwszą pochodną funkcji uwikłanej y=y(x) danej równaniem: y²-arctgy-e^x=0.

I sposób:

F(x,y)=y²-arctgy-e^x

UWAGA: Jeżeli funkcja F(x,y) jest klasy C² w pewnym otoczeniu punktu P₀(x₀,y₀) oraz F(x₀,y₀)=0

i F_y(x₀,y₀)
0, to funkcja ciągła y=f(x), określona w pewnym przedziale (x₀ - δ, x₀ + δ)

równaniem F(x,y)=0 i spełniająca warunek f(x₀)=y₀, posiada w pewnym otoczeniu

punktu x₀ drugą pochodną.

II sposób:

y²-arctgy-e^x=0

y=y(x)

Przykład: Równanie x²+4y²-4=0 określa w pewnym otoczeniu punktu x₀=0 dokładnie jedną ciągłą

funkcję uwikłaną y=f(x) spełniającą warunek f(0)=1. Obliczyć y”(0).

• EKSTREMA FUNKCJI UWIKŁANEJ

• Twierdzenie o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej:

Niech funkcja F(x,y) jest klasy C² w pewnym otoczeniu punktu P₀(x₀,y₀), a ponadto spełnione są warunki:

1. F(x₀,y₀)=0

2. 
   

3. I(x₀,y₀)=
   

Wówczas funkcja uwikłana y=f(x) określona równaniem F(x,y)=0 przyjmuje w punkcie x₀ ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to minimum właściwe, jeśli I(x₀,y₀)>0, natomiast maksimum właściwe jeśli I(x₀,y₀)<0.

UWAGA: Równość
jest warunkiem koniecznym, a nierówność

warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum funkcji uwikłanej.

UWAGA: Algorytm znajdowania ekstremów lokalnych funkcji uwikłanej:

1. Punkty, w których funkcja uwikłana może mieć ekstrema lokalne, znajdujemy korzystając z warunku koniecznego istnienia ekstremum, tj. rozwiązujemy układ równań:

i wyznaczamy jego rozwiązanie postaci (x₀,y₀). Sprawdzamy dla otrzymanych punktów, czy spełniony jest warunek
.

2. W otrzymanych punktach (x₀,y₀) sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum, tj. badamy, czy zachodzi warunek:

Na podstawie znaku ostatniego wyrażenia ustalamy rodzaj ekstremum.

III

II

IV 1

I

P₀

1

---