Prawo Gaussa
Obliczmy strumień wektora natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię zamkniętą otaczającą ładunek elektryczny
. (Strumień definiujemy jako iloczyn skalarny wektora natężenia pola przez element powierzchni.)
|
(8.4.1) |
|
gdzie wartość wektora natężenia pola elektrycznego określiliśmy w punkcie odległym o odcinek |
Rys.8.4.1. Strumień pola elektrycznego przez powierzchnię dS. |
|
Wzór (8.4.1) możemy więc zapisać w postaci
|
(8.4.2) |
Strumień przez powierzchnie zamknięta otrzymamy całkując to wyrażenie po pełnym kącie bryłowym
|
(8.4.3) |
Widzimy, że strumień natężenia pola elektrycznego przez powierzchnię zamkniętą obejmującą ładunek punktowy
równy jest wartości tego ładunku podzielonej przez
. Kiedy ten ładunek równy jest zeru, lub kiedy zamknięta powierzchnia nie obejmuje ładunku, to wówczas strumień równy jest zeru.
Kiedy wewnątrz danej powierzchni zamkniętej znajduje się wiele ładunków punktowych, to zgodnie z zasadą superpozycji pól mamy dla
ładunków
|
(8.4.4) |
Przez
oznaczyliśmy pole pochodzące od ładunku o numerze
. Mając na uwadze, że każda z całek po prawej stronie wzoru (8.4.4) równa jest
otrzymujemy
Wzór (8.4.5) zawiera w sobie treść prawa Gaussa dla natężenia pola elektrycznego. Mimo, że użyliśmy tutaj powierzchni sferycznej, koncentrycznie otaczającej ładunek q, to zależność pomiędzy strumieniem natężenia pola elektrycznego i ładunkiem określona wzorem (8.4.5) odnosi się do dowolnej powierzchni zamkniętej otaczającej ładunki.
Strumień wektora natężenia pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą równy jest algebraicznej sumie ładunków obejmowanych przez tę powierzchnię, podzielonej przez |
(8.4.5) |
Kiedy mamy do czynienia z ciągłym rozkładem ładunków w danej objętości
, to zgodnie ze wzorem (2.8.4) definiujemy gęstość ładunku
|
(8.4.6) |
gdzie
jest ładunkiem zawartym w elemencie objętości
. Całkowity ładunek wyznaczymy całkując gęstość ładunku po objętości
|
(8.4.7) |
Zależność (8.4.5) można dla przypadku ładunków o rozkładzie ciągłym zapisać więc w postaci
|
(8.4.8) |
Wykorzystajmy prawo Gaussa do obliczenia natężenia pola w punktach znajdujących się na zewnątrz i wewnątrz powierzchni kulistej (sfery) o promieniu R naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową
. Niech r będzie odległością punktu od środka naładowanej powierzchni kulistej. Ze względu na symetrię sferyczną wektor natężenia pola jest w każdym punkcie skierowany wzdłuż promienia, a wartość natężenie pola jest jednakowa dla równoodległych od środka sfery punktów. Prawo Gaussa możemy w tym przypadku zapisać dla punktu na zewnątrz naładowanej powierzchni w postaci skalarnej
|
(8.4.9) |
We wzorze (8.4.9) najpierw skorzystaliśmy z faktu, że kierunek wektora natężenia pola pokrywa się z kierunkiem normalnej do powierzchni sferycznej (zamieniając iloczyn skalarny wektorów iloczynem ich wartości), następnie wiedząc, że natężenie pola jest stałe dla stałej odległości od środka powierzchni kulistej, wyłączyliśmy E przed znak całki, potem wykonaliśmy całkowanie po powierzchni o promieniu r , co dało po prostu powierzchnię sfery
. Wreszcie ostatnia równość jest zapisem prawa Gaussa, gdzie gęstość powierzchniowa
pomnożona przez pole sfery o promieniu R jest całkowitym ładunkiem zgromadzonym na powierzchni tej sfery. Natężenie pola na zewnątrz sfery wyraża się więc wzorem
|
(8.4.10) |
Dla punktów znajdujących się w odległości mniejszej niż R od środka naładowanej powierzchni kulistej natężenie pola musi być równe zeru, bowiem wewnątrz sfery o promieniu mniejszym niż R nie ma po prostu żadnego ładunku.
Kiedy ładunek rozłożony jest jednorodnie w całej objętości kuli, nie tylko na powierzchni z gęstością objętościową
to stosując bezpośrednio wzór (8.4.8) otrzymujemy
|
(8.4.11) |
skąd otrzymujemy natychmiast wyrażenie na natężenie pola wewnątrz kuli w punkcie odległym o r od jej środka
|
(8.4.12) |
Natężenie pola na zewnątrz kuli otrzymamy identycznie jak dla powierzchni sferycznej zastępując tylko powierzchniową gęstość ładunku, gęstością objętościową. Całkowity ładunek kuli jest wtedy równy
.
Uzyskaliśmy szereg ważnych rezultatów mówiących, że natężenie pola elektrycznego:
wewnątrz naładowanej powierzchni kulistej równe jest zeru, zaś na zewnątrz jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od jej środka ,
wewnątrz jednorodnie naładowanej kuli jest proporcjonalne do odległości od jej środka,
na zewnątrz kuli jest jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od jej środka , co odpowiada sytuacji, jakby cały ładunek był skupiony w środku kuli.
pola na zewnątrz kuli i powierzchni kulistej są identyczne, jeśli ten sam ładunek zgromadzony jest w obu przypadkach.
|
Zależności te zilustrowane są na rysunku 8.4.2. gdzie pokazana jest zależność natężenia pola elektrycznego od odległości punktu w którym wyznaczamy pole od środka kuli. Kolorem czerwonym pokazana jest ta zależność dla naładowanej powierzchni kulistej i kolorem niebieskim dla jednorodnie naładowanej kuli. Rys. 8.4.2. Natężenie pola elektrycznego od naładowanej powierzchni kulistej i jednorodnie naładowanej kuli |