Funkcje trygonometryczne: sin2α+cos2α=1 ctgα=cosα/sinα tgα=sinα/cosα tgα*ctgα=1 }{ gdb cosa≠0 i sina≠0} sin2a=2sinαcosα tg2α=(2tgα)/(1-tg2α) {gdb cosa≠0 i cos2a≠0 } ctg2α=(2ctg2α-1) / (2ctgα) { gdb sina≠0 i sin2a≠0 } cos2α = cos2α-sin2α = 1-2sin2α = 2cos2α-1 sin3a=sina(3cos2a-sin2a)=sina(3-4sin2a) tg3a=(tga(3-tg2a))/(1-3tg2a) { gdb cosa≠0 i cos3a≠0 } cos3a=cosa(cos2a-3sin2a)=cosa(4cos2a-3) ctg3a=(ctg(ctg2a-3))/(3ctg2a-1) { gdb sina≠0 i sin3a≠0 } sin(a/2)=+-√ ((1-cosa)/2) cos(a/2)=+-√((1+cosa)/2) }{+- zal od ćwiart} tg(a/2)=(1-cosa)/(sina) tg(a/2)=(1+cosa)/(sina) }{ gdb sina≠0 } sin(α+b)=sinαcosb+cosαsinb sin(α-b)=sinαcosb-cosαsinb cos(α+b)=cosαcosb-sinαsinb cos(α-b)=cosαcosb+sinαsinb tg(α+b)=(tgα+tgb)/(1-tgαtgb) {gdb cosa*cosb≠0 i cos(a+b)≠0} tg(α-b)=(tgα-tgb)/(1+tgαtgb) { gdb sina*sinb≠0 i sin(a+b)≠0} ctg(α+b)=(ctgαctgb-1)/(ctgα+ctgb) { gdb cosa*cosb≠0 i cos(a-b)≠0} ctg(α-b)=(ctgαctgb+1)/(ctgb-ctgα) { gdb sina*sinb≠0 i cos(a-b)≠0} sina+sinb=2sin(a+b)/2*cos(a-b)/2 sina-sinb=2sin(a-b)/2*cos(a+b)/2 cosa+cosb=2cos(a+b)/2*cos(a-b)/2 cosa-cosb=-2sin(a+b)/2*sin(a-b)/2 tga+tgb=(sin(a+b))/(cosa*cosb) { gdb cosa*cosb≠0 } tga-tgb=(sin(a-b))/(cosa*cosb) { gdb sina*sinb≠0 } ctga+ctgb=(sin(a+b))/(sina*sinb) { gdb cosa*cosb≠0 } ctga-ctgb=(sin(b-a))/(sina*sinb) { gdb sina*sinb≠0 } a2=b2+c2-2bc cosa b2=a2+c2-2ac cosb c2=a2+b2-2ab cosγ cos(- α)=cos sin(-α)=-sinα tg(-α)=-tgα ctg(-α)=-ctgα
|
|
Prawdopodoieństwo: - Permutacje : wszystkie elementy zioru n- elementowego można ustawić w ciąg na Pn = n! sposobów. - Kombinacje : ze zb. n-elem moż wybrać podzb. k-elem na Ckn = (nk) = - Wariacja z powtórzeniami : z elem z n-elem mażna utworzyć k-wyrazowy ciąg na Rkn = nk sposob - Wariacja bez powtórzeń : z elem zb n-element można utworzyć k-wyraz ciąg o różnych wyraz Vkn = - Prawdopodoieństwo : A- liczba zdarz elem sprzyja zdarz A P(A) = Ω- licza wszyst możliw zdarz eleme A = moc zbioru A, Ω -moc zbioru Ω - Prawdopodobieństwo zdarzeia przeciwn. Do A: P(A')=1-P(A) - Prawdopod warunkowe : P(A\B) = - Prawdop iloczynu zdażeń: P(A∩B) =P(A/B)*P(B) - Zdarzenia nizależne: P(A∩B) =P(A)*P(B) - Prawdopod całkowite : P(A) =P(A/B1)*P(B1)+P(A/B2)*P(B2)+..+P(A/Bn)*P(Bn) P(Bi /A) = - Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: P(A∪B) = P(A)+P(B) - P(A∩B)
|
|
Ciągi : ciąg arytmetyczny: an+1=an+r an+1-an=r an=a1+(n-1)r Sn=a1+a2+...+an-1+an an== { 0 < k < n , n ≥ 2 } Sn= = Monotoniczność : r >0 -c.rośnie r<0 -c.mal r=0 -stały
ciąg geometryczny: an+1=an*q an=a1*qn-1 Sn =n*a1 { dla q=1 } Sn = a1+a2+...+an-1+an Sn= { dla q≠1} an=√(an+1*an-1)=√(an+k*an-k) {dla 0 < k < n , n ≥ 2 } - ciąg geom. nazywamy naprzemiennym, gdy q < 0 i a1 ≠ 0 - monotoniczność: c.rosnący q>1 i a1>0 lub q∈(0;1) i a1<0 c.malejący q>1 i a1<0 lub q∈(0;1) i a1>0 c.stały q=1 lub a1=0 Sn = a1+a2+a3+... = { dla c. nieskończone zbieżneg } /q/ < 1 lub a1= 0 |
Funkcja kwadratowa : f(x) = ax2 + bx +c Δ= b2 - 4ac a≠0 - Miejsca zerowe: Δ< 0 - brak rozwiązań Δ= 0 jedno m.zerowe x0 = -b / 2a Δ> 0 dwa m.zerowe x1=(-b-√Δ)/2a x2=(-b+√Δ)/2a - Postać ogólna: y=ax2+bx+c - Postać kanoniczna: y=a(x+ - Postać iloczynowa: Δ< 0 φ Δ= 0 y = a( x-x0)2 Δ> 0 y = a( x-x1)(x-x2) - Wzory Viete'a: x1+ x2 = -b / a x1 * x2 = c / a x1 i x2 : - tego samego znaku gdy x1 * x2 > 0 - różnych znaków gdy x1 * x2 < 0 - oba dodatnie gdy x1 + x2 > 0 i x1 * x2 > 0 - oba ujemne gdy x1 + x2 < 0 i x1 * x2 > 0 + = x21 + x22 = (x1 + x2)2-2x1x2 + = = - Punkty wierzchołka paraboli: xw = -
|
|
|
|
|