Kucharzyk Dariusz I ED 8.05.2006

Sprawozdanie z ćwiczenia nr 2

Temat: Wyznaczanie prędkości lotu pocisku na podstawie badania drgań wahadła balistycznego.

1. Zagadnienia teoretyczne.

Drgania harmoniczne proste odbywają się pod wpływem działania siły zwracającej:

F = - k * x

x - wychylenie z położenia równowagi

k - współczynnik proporcjonalności

„ - ” - oznacza, że siła jest skierowana przeciwnie do wychylenia.

Zgodnie z II zasadą dynamiki drgania te opisuje równanie:

m - masa ciała wykonującego drgania

Wahadło fizyczne.

Przykładem oscylatora harmonicznego jest wahadło fizyczne, czyli bryła sztywna mogąca obracać się wokół osi nie przechodzącej przez środek masy.

m - masa wahadła

c - środek ciężkości

- kąt odchylenia wahadła od pionu

W wyniku odchylenia wahadła z położenia równowagi o kąt
powstaje moment obrotowy, która stara się zawrócić wahadło do położenia równowagi.

l - odległość od osi obrotu do środka ciężkości.

 Przez bryłę sztywną rozumiemy ciało, które pod działaniem dowolnie wielkich sił nie ulega ani odkształceniu postaci (zmiana kształtu), ani odkształceniu objętości. Odległość dwóch dowolnych punktów bryły sztywnej pozostaje niezmienna.
         Bryła sztywna może wykonywać dwa rodzaje ruchów prostych: ruch postępowy i ruch obrotowy. (Jeśli bryła odbywa równocześnie oba te rodzaje ruchów, to powstaje, ruch złożony, którym bliżej nie będziemy się zajmowali.) Ruch postępowy bryły sztywnej jest to taki ruch, przy którym dowolny odcinek łączący dwa punkty bryły, np. A i B, zachowuje stale położenie do siebie równoległe.

Wszystkie punkty bryły sztywnej, odbywającej ruch postępowy, zakreślają drogi równe oraz mają jednakowe prędkości i przyspieszenia. W związku z tym badanie ruchu postępowego bryły sztywnej sprowadza się do badania ruchu jakiegokolwiek dowolnie wybranego punktu bryły.
         Jeśli bryła sztywna wprawiona jest w ruch obrotowy, można w niej wyodrębnić szereg punktów nie poruszających się. Zbiór tych punktów leżących na jednej prostej stanowi tzw. oś obrotu. Oś obrotu jest stała, jeżeli z biegiem czasu nie zmienia swego położenia ani w ciele ani w przestrzeni. Pozostałe punkty bryły zataczają tory kołowe w płaszczyznach prostopadłych do osi. Promienie tych kół równe są odległościom rozpatrywanych punktów od osi obrotu. Zajmiemy się dalej ruchem obrotowym bryły sztywnej dokoła stałej osi.

         Niech płaszczyzna przedstawia płaszczyznę jednego z możliwych przekrojów bryły prostopadłych do osi obrotu, a punkt O niech będzie śladem osi obrotu.
Rozważmy położenie dowolnie wybranego w tej płaszczyźnie promienia wodzącego OM₀ w chwilach t = 0, t₁ i t₂ Punkty A₀, A'₀ i A''₀ po czasie t₁ zajmą położenia A₁ , A'₁ i A''₁, a po czasie t₂ - położenia A₂, A'₂ i A''₂ Każdy z tych punktów w odstępie czasu t₂ - t₁ zakreślił drogę równą odpowiednio łukowi A₁A₂, A'₁A'₂ i A''₁A''₂. Długości tych łuków są różne, a więc i prędkości liniowe poszczególnych punktów są niejednakowe, są zależne od ich odległości od osi obrotu.
         W związku z zależnością prędkości liniowej od odległości od osi obrotu wygodniej jest charakteryzować ruch obrotowy za pomocą innej wielkości, a mianowicie prędkości kątowejw. Niech A₀O oznacza położenie początkowe w chwili t = 0 dowolnego promienia wodzącego pomyślanego w bryle sztywnej. Po czasie t₁ ten promień wo dzący zajmuje nowe położenie A₁O przesunięte względem poprzedniego o kąt j₁, po czasie t₂ - położenie A₂O przesunięte względem początkowego o kąt j₁. A zatem w czasie Dt = t₂-t₁ promień wodzący zakreślił kąt A₁OA₂ = j₂ - j₁ = Dj. Średnio na jednostkę czasu przypada kąt obrotu

Powyższą wielkość nazywamy średnią prędkością kątową.
         Jeśli ruch obrotowy jest jednostajny, to znaleziona prędkość kątowa średnia jest zarazem prędkością kątową chwilową. Ogólnie jednak prędkość kątową (chwilową) wyznaczamy przez przejście do granicy, gdy Dt -> 0. A zatem

Z rozważań dotyczących ruchu po okręgu wiemy już, że w w układzie SI wyraża się w rad/s.
         Ze względu na sztywność obracającej się bryły zachowanie się każdego dowolnie wybranego promienia wodzącego w każdym przekroju bryły prostopadłym do osi obrotu będzie charakteryzowała ta sama prędkość kątowa w. Można zatem tę wielkość traktować jako podstawową wielkość kinematyczną charakteryzującą ruch obrotowy. Ruch obrotowy bryły sztywnej jest jednostajny, gdy w = const.
         Prędkość kątową umówiono się traktować jako wektor skierowany wzdłuż osi ob rotu bryły, o punkcie przyłożenia wybranym dowolnie na tej osi. Zwrot tego wektora jest określony regułą korkociągu. Ustawiamy korkociąg wzdłuż osi obrotu i rączkę korkociągu obracamy w kierunku obrotu bryły. Kierunek przesuwania się korkociągu wyznacza zwrot wektora prędkości kątowej.
         W ruchu obrotowym niejednostajnym prędkość kątowa nie jest stała. Możemy więc posługiwać się pojęciem przyspieszenia kątowego a, zdefiniowanego jak poprzednio:

Przyspieszenie kątowe wyraża się w rad/s².
         Znów ze względu na sztywność bryły przyspieszenie kątowe a charkteryzuje zachowanie się każdego z jej punktów (oczywiście nie leżacych na osi obrotu).
         Przyspieszenie kątowe jest również wektorem. W przypadku ruchuobrotowego dokoła stałej osi jest ono skierowane wzdłuż osi obrotu. Zwrot wektora przyspieszenia kątowego jest zgodny ze zwrptem wektpra prędkości kątowej w ruchu przyspieszonym, przeciwny - w ruchu opóźnionym
         Dla każdego z punktów bryły (nie leżących na osi obrotu) są ponadto spełnione zależności:

gdyż każdy z tych punktów odbywa ruch po okręgu o promieniu r.

2. Przebieg ćwiczenia.

• maksymalne zsunięcie ciężarki (R₂ = min)

• wyzerować wahadło tzn. ustawić wahadło w takiej pozycji by kreska na miseczce wskazywała kąt wychylenia
  = 0

• wystrzelić pocisk z urządzenia strzelającego

• zmierzyć maksymalny kąt wychylenia
  

• włączyć i wyzerować miernik czasu ( W₁ i W₂ )

• odchylić wahadło o kąt
  , zwolnić miernik czasu ( W₂ ) i puścić wahadło

• zmierzyć czas dla np. 10 wahnięć i obliczyć T₂

• pomiary powtórzyć kilka razy i wyliczyć wartość średnią < T₂ >

Uwaga: Gdy miernik pokaże liczbę 9 wahnięć wówczas nacisnąć wyłącznik W₃.

• rozsunąć ciężarki R₁ > R₂ i powtórzyć czynność wg pkt 2, 5, 6

• zmierzyć czas dla 10 wahnięć i obliczyć T₁

• zważyć pocisk na wadze analitycznej

• pomiary wykonać dla różnych R₁

• wyniki umieścić w tabeli.

3. Tabela:
   
   

Lp.	r		R2	<T1>	R1	<T2>	m	M	D	I0	Vp
	[cm]	[^o]	[cm]	[s]	[cm]	[s]	[g]	[g]	[Nm]	[kg m^2]	[m/s]
1.	12	16	2	12,76	5		2,75	194	0,01	0,003	18,6	0,28
2.	12	16	2	12,80	5		2,75	194
3.	12	16	2	12,83	5		2,75	194
4.	12	16	2	12,78	5		2,75	194
5.	12	16	2	12,78	5		2,75	194
6.	12	16	2	12,83	5		2,75	194
7.	12	16	2	12,80	5		2,75	194
R1>R2
1.	12	16	2		2	11,66	2,75	194	0,01	0,003	16,9	0,30
2.	12	16	2		2	11,61	2,75	194
3.	12	16	2		2	11,63	2,75	194
4.	12	16	2		2	11,6	2,75	194
5.	12	16	2		2	11,59	2,75	194

R1=R2

3. Obliczenia

α=16˚ = 0,27rad T₁=1,27 s R₁=0,05 m

M=0,194 kg T₂=1,16 s R₂=0,02 m

D=



I₀=



Vp=



Vp=

=18,6m/s

Δm=0,00001kg ,Δα=0,0087rad ,Δr=0,001m ,ΔT_1(max.)=0,001s ,ΔT_2(max.)=0,024s

ΔD=


ΔD =


+


ΔD=



0,032

ΔVp=


ΔVp=


ΔVp=


3. Wnioski

Wraz ze zwiększeniem wychylenia wahadła zwiększa się prędkość pocisku. Prędkość ta nie zależy od momentu kierującego wahadła, kąta wychylenia, ani okresu drgań, zależy natomiast od jego masy.

Błędy pomiarowe wynikają głównie z niedokładności odczytu kata wychylenia, a także zależą od dokładności pomiaru masy. Wahadło wykonuje ruch drgający, a wartość prędkości kątowej zmienia się okresowo.

6

---