Nr ćwiczenia: 1	Temat ćwiczenia: Drgania harmoniczne sprężyny				Ocena teoretyczna
Nr zespołu: 12	Imię i nazwisko: Artur Tekieli				Ocena
Data ćwiczenia: 2005-03-10	wydział EAIiE	kierunek EiT	rok I	grupa 6	Uwagi:

Cel ćwiczenia:

Wyznaczanie współczynnika sprężystości i modułu sztywności drutu, z którego są zrobione.

Wprowadzenie:

Ruch harmoniczny zachodzi pod wpływem proporcjonalnej lecz przeciwnie skierowanej do wychylenia układu od stanu równowagi x siły F:

F=-kx

gdzie stała k to współczynnik sprężystości. Zależność wychylenia układu od czasu dla ruchu harmonicznego jest przedstawiona w następujący sposób:

x=Asin

gdzie A to maksymalna wartość wychylenia x - amplituda drgań, a wyrażenie w nawiasie - faza. T jest okresem drgań:

Stała k zależna jest od charakteru sił, pod wpływem których porusza się drgająca masa. Związana jest z ona z własnościami sprężystymi materiału np. modułem sztywności G, zależy również od wymiarów geometrycznych układu ( promień zwoju sprężyny R, promień r drutu, z którego została wykonana sprężyna i liczby zwojów n):

Wyprowadzając wzór
przyjęliśmy dwa założenia upraszczające. Nie uwzględniliśmy sił grawitacji jak również: masy sprężyny (ona również uczestniczy w drganiach). Rozpatrzmy kolejno wpływ obydwu czynników:

1) w przypadku nieważkiej sprężyny, na której zawieszono masę M , oprócz siły sprężystości działa siła ciężkości, tak że całkowita siła wynosi:

F= -kx + Mg

Zgodnie z II zasadą dynamiki otrzymujemy:

Ma= -kx + Mg

Ponieważ
, stąd:

M
+ -kx -Mg=0

Rozwiązanie tego równania różniczkowego ma postać:

gdzie:

zaś

Porównując z równaniem x=Asin
widać , że jest to ruch harmoniczny , zachodzący względem położenia
jakie przybierze masa M statycznie zawieszona na sprężynie.

2) w przypadku realnej sprężyny której masy m nie można zaniedbać wobec masy obciążnika M odpowiednie wyrażenie na T dane jest wzorem:

Zależność tę można otrzymać porównując energię kinetyczną ciężarka M: E=
i energię sprężyny m , której koniec ruchomy porusza się z tą samą prędkością v (punkt zaczepienia spoczywa). Rozpatrując element sprężyny o długości dx o masie dm=m
. Jego prędkość wynosi v(x)=v(
) . Zatem energia kinetyczna sprężyny dm wynosi:

Całkowita energia kinetyczna sprężyny wynosi:

Całkowitą energię kinetyczną układu ciężarka i sprężyny wyraża zatem wzór:

.

Prawo Hooke'a

W najprostszym przypadku:

Odkształcenie jest wprost proporcjonalne do wywołującej je siły.

Określenie to można uznać za najprostszą postać prawa Hooke'a. Oznacza ono mniej więcej tyle, że jeżeli siła odkształcająca wzrasta dwukrotnie, to i wydłużenie (skrócenie) też będzie dwukrotnie większe; analogicznie przy trzykrotnie większej sile, uzyskamy trzykrotnie większe wydłużenie (skrócenie). 

Często jako prawo Hooke'a rozumie się dokładniejsze określenie od czego zależy wydłużenie ciała. Rozpatrzmy przykład pręta, który ma: 

	długość początkową l0,
	pole przekroju poprzecznego S
	i jest rozciągany (lub ściskany siłą F).

 

 Wtedy wydłużenie   Δl można obliczyć z następującego wzoru:

 

Znaczenie symboli:

	l0 - początkowa (bez działania siły) długość pręta (w układzie SI w metrach: m)
	l - wydłużenie (ogólnie odkształcenie), czyli zmiana długości pręta (w układzie SI w metrach: N)
	F   - siła powodująca odkształcenie (w układzie SI w niutonach: N = kg·m/s^2)
	S  - pole przekroju poprzecznego (w układzie SI w metrach kwadratowych: m^2)
	K  - współczynnik charakteryzujący materiał (w układzie SI w: m·s^2/kg)

Im większy jest współczynnik K, tym łatwiej materiał poddaje się odkształceniom.

W tablicach materiałów rzadko podaje się współczynnik K; zamiast niego można znaleźć liczbę nazywaną modułem Younga (oznaczaną przez E), która jest odwrotnością K. Moduł Younga charakteryzuje twardość materiału (rozumianą jako oporność na odkształcenia sprężyste, a nie na rozbicie czy rozerwanie).

Po zamianie K na E wzór na wydłużenie przyjmie postać:

Jest to nowe sformułowanie prawa Hook'a - tym razem określające zależność odkształcenia od modułu Younga.

Zjawisko sprężystości

Większość ciał stałych, a nawet powierzchnie wielu cieczy wykazują zjawisko sprężystości. Polega ono na tym, że ciało po zadziałaniu na nie siłą odkształca się nietrwale. Gdy siła przestaje działać ciało wraca do swojego poprzedniego kształtu.

Sprężystość jest wykorzystywana przez człowieka w bardzo wielu sytuacjach:

	do budowy broni - od dawien dawna dzięki niemu działają takie przyrządy miotające jak łuk, czy katapulta
	do polepszania wygody - sprężyny w łóżkach i materacach zapewniają nam miękkie spanie, gumki w bieliźnie umożliwiają dopasowanie się rozmiarów ubrania do różnych kształtów człowieka
	do ochrony przed zderzeniami - większość zderzaków elastycznie reaguje na fakt zderzenia właśnie dzięki zjawisku sprężystości.
	do uprawiania sportu - patrz dyscypliny: skok o tyczce, łucznictwo, tenis, piłka nożna, siatkowa itp.... (wykorzystana jest sprężystość piłki)

Ogólnie, gdyby nie było sprężystości, to przy byle zderzeniu wszystko by się łamało, lub odsuwało. Sprężystość w dużym stopniu sprawia, że ten świat jest...
jaki jest.

Rodzaje odkształceń sprężystych

Rozciągnięcie i ściśnięcie

Sprężystość występuje w kilku odmianach. Np. może ona być związana z odkształceniem w jednym wymiarze, czyli objawiać się jako

 

	rozciągnięcie
	ściśnięcie

 

 

W dwóch i więcej wymiarach możemy mieć jeszcze do czynienia z bardziej zaawansowanymi formami sprężystości:

	ścinaniem
	skręceniem

Ścinanie

W większej ilości wymiarów, czyli dla brył, sprężystość może objawiać się również jako tzw. ścinanie:

Skręcenie

Trochę podobne do ścinania jest skręcenie

 

W przypadku brył o skomplikowanych kształtach i sił działających na ich powierzchnie pod różnymi kątami odkształcenie jest kombinacją ścinania, wydłużania i skręcania, a niekiedy innych jeszcze bardziej złożonych odkształceń.

Zakres stosowalności prawa Hooke'a

Prawo Hooke'a nie jest prawem stuprocentowo ścisłym. Dla materiałów sprężystych (np. guma) stosuje się ono do stosunkowo największych odkształceń. Jednak i tak, prędzej czy później, zwiększenie siły wyprowadzi odkształcane ciało z obszaru proporcjonalności (czyli właśnie stosowalności tego prawa).

Typowy przebieg rozciągania ciała przedstawiony jest na rysunku obok. Zawiera on kilka zakresów zachowania w których zjawisko odkształcenia przebiega w odmienny sposób:

1. obszar stosowalności prawa Hooke'a  w obszarze tym zwiększenie siły np. o 50% spowoduje przyrost wydłużenia w tym samym stosunku - czyli też 50%

2. obszar sprężystości to obszar w którym ciało nie odkształca się trwale, co oznacza, że po ustaniu działania siły ciało wróci do pierwotnego kształtu). Jednak w obszarze tym zwiększenie siły o 10% może spowodować zwiększenie wydłużenia np. o 12%, czy 15%, czyli wzór na prawo Hooke'a tu już nie obowiązuje.

1. obszar stosowalności prawa Hooke'a

2. obszar sprężystości

3. początkowy obszar odkształceń trwałych

4. obszar plastyczności

5. obszar poprzedzający zerwanie

3. początkowy obszar odkształceń trwałych - dalsze zwiększanie siły wiąże się z postępującym rozciąganiem materiału, jednak w obszarze tym ciało zatraca swój pierwotny kształt  - tzn. że odstawienie siły nie spowoduje skurczenia się rozciąganego materiału do początkowej długości.

4. obszar plastyczności - w obszarze tym zwiększanie odkształcenia nie wiąże się ze zwiększeniem siły - po prostu siłą o stałej wartości można „wyciągać” ciało i kształtować je w szerokim zakresie wydłużeń

5. obszar poprzedzający zerwanie - całkowite zerwanie ciała następuje w punkcie Z. Jednak aby do niego dojść, trzeba jeszcze nieco zwiększyć siłę w stosunku do tej, która wystarczała w obszarze plastyczności.

Proporcje obszarów przedstawionych na rysunku mogą różnić się w zależności od materiału - np. wykres dla materiałów twardych i kruchych będzie bardzo stromy, a obszar sprężystości będzie krótki; plastelina ma długi obszar plastyczności, a materiały sprężyste mają stosunkowo duże dwa początkowe obszary.

Stosowalność prawa Hooke'a - podsumowanie

Podsumowując należałoby stwierdzić, że prawo Hooke'a działa w sposób przybliżony - stosuje się ono tylko w dość ograniczonych przypadkach - przy niezbyt dużych siłach i odkształceniach. Jednak w wielu sytuacjach prawo to pozwala na dość dobre przewidzenie tego jak dużej siły potrzeba do odkształcenia, dzięki czemu można projektować konstrukcje wyginające się i wydłużające lub skracające pod wpływem sił zewnętrznych.

 

Stała sprężystości

Prawo Hooke'a nie stosuje się ono do ciał o kształtach innych niż prosty pręt. Jest jednak wiele sytuacji w których nie znamy dokładnie ani materiału z którego wykonano odkształcane ciało, ani nawet jest rozmiarów, czy kształtu. Wtedy stosuje się inny, prostszy wzór na wydłużenie, zależny tylko od dwóch parametrów - działającej siły i tzw. stałej sprężystości. W szczególności stała sprężystości odnosi się do sprężyn i innych urządzeń, z natury przeznaczonych do wykorzystywania zjawiska sprężystości. Najczęściej podaje się go stawiając po lewej stronie nie wydłużeni, lecz siłę potrzebną do uzyskania danego wydłużenia (skrócenia).

F_spr = k · x

Znaczenie symboli:

	F - siła sprężystości (w układzie SI w Newtonach N)
	k - stała sprężystości (w układzie SI w N/m)
	x - odkształcenie - poprzednio oznaczane jako l (w układzie SI w metrach m)

Wzór powyższy stosujemy najczęściej w odniesieniu do sprężyn, czy innych ciał o skomplikowanych kształtach, lecz o sile sprężystości reagującej liniowo na odkształcenie.

Wyniki pomiarów i obliczenia:

1) Wyznaczam współczynnika sprężystości metodą statyczną:

W celu wyznaczenia współczynnika sprężystości przy pomocy tej metody zważyliśmy poszczególne obciążniki. A następnie po zanotowaniu położenia końcowego nieobciążonej sprężyny dokonaliśmy statycznego wydłużenia sprężyny x dla różnych obciążników. Pomiary wykonaliśmy dla dwóch sprężyn. A ich wyniki przedstawia poniższa tabela:

Waga obciążnika	Położenie końca sprężyny [cm]		Statyczne wydłużenie sprężyny
M [g]	S1 [cm]	S2 [cm]	S1 [cm]	S2 [cm]
0	13,5	13	0	0
80,6	29,5	15,6	16	2,6
90,6	32	15,8	18,5	2,8
110,8	36,1	16,6	22,6	3,6
158,8	45,6	18,2	32,1	5,2
232,2	61,6	21,2	48,1	8,2
347,8		24,8		11,8
464		29,4		16,4
515,8		30,5		17,5

Wyznaczyłem na podstawie powyższych wartości Siłę grawitacji F działającą na poszczególne obciążniki:

Waga obciążnika	Siła grawitacji		Stała grawitacji
M [g]	F [N]		g [m*s^-2]
0	0		9,806
80,6	0,7903636
90,6	0,8884236
110,8	1,0865048
158,8	1,5571928
232,2	2,2769532
347,8	3,4105268
464	4,549984
515,8	5,0579348

Na podstawie wykonanych pomiarów i obliczeń rysuję wykres zależności F(x), gdzie F jest siłą ciężkości (M*g) działającą na obciążnik zawieszony na badanej sprężynie. Zależność F(x) przedstawia linię prostą opisaną równaniem M*g=k*x.

Przez punkty doświadczalne przeprowadziłem prostą metodą najmniejszych kwadratów. Z parametrów prostej wyznaczam wartość współczynnika sprężystości k

2) Wyznaczam współczynnika sprężystości metodą dynamiczną

W celu wyznaczenia współczynnika sprężystości przy pomocy tej metody zważyliśmy sprężyny. A następnie wprawiliśmy sprężynę w ruch drgający o malej amplitudzie i zmierzyliśmy stoperem czas 20 pełnych wahań dla kolejnych obciążników zawieszonych na sprężynie. Pomiary wykonaliśmy dla dwóch sprężyn. A ich wyniki przedstawiają poniższe tabele:

Waga sprężyny w [g]
S1:	88
S2:	35,4

Waga obciążnika	Całkowita waga układu drgającego		Czas 20 pełnych wahań układu
M [g]	z S1 [g]	z S2 [g]	z S1 [s]	z S2 [s]
80,6	168,6	116	18,41	7,1
90,6	178,6	126	19,75	7,53
110,8	198,8	146,2	21,25	8,47
158,8	246,8	194,2	25,19	9,75
232,2	320,2	267,6	28,94	11,41
347,8	435,8	383,2		13,69
464	552	499,4		16,32
515,8	603,8	551,2		17

Waga obciążnika	Waga (M+1/3m) układu drgającego
M [g]	z S1 [kg]	z S2 [kg]
80,6	0,109933333	0,0924
90,6	0,119933333	0,1024
110,8	0,140133333	0,1226
158,8	0,188133333	0,1706
232,2	0,261533333	0,244
347,8		0,3596
464		0,4758
515,8		0,5276

Waga obciążnika	Okres drgań układu		Kwadrat okres drgań układu
M [g]	z S1 [s]	z S2 [s]	z S1 [s^2]	z S2 [s^2]
80,6	0,9205	0,355	0,84732025	0,126025
90,6	0,9875	0,3765	0,97515625	0,14175225
110,8	1,0625	0,4235	1,12890625	0,17935225
158,8	1,2595	0,4875	1,58634025	0,23765625
232,2	1,447	0,5705	2,093809	0,32547025
347,8		0,6845		0,46854025
464		0,816		0,665856
515,8		0,85		0,7225

Przy pomocy powyższych obliczeń wykonałem wykresy liniowej zależności kwadratu okresu drgań wahadła T² w funkcji masy układu drgającego M+m/3.

	K
	S1	S2
	5,116831296	28,91575608
	4,850482959	28,4897923
	4,895565467	26,95894721
	4,677229651	28,31060004
	4,92616863	29,56635699
		30,26858128
		28,18145473
		28,79958455
Wartość średnia	4,893255601	28,68638415

3) Wyznaczam moduł sztywności materiału sprężyny:

W tym calu dokonaliśmy pomiaru promienia drutu r sprężyny przy pomocy śruby mikrometrycznej. A następnie zmierzyliśmy suwmiarką promień zwoju R sprężyny. Zanotowaliśmy również liczbę zwojów z sprężyny.

	Sprężyna:	S1	S2
Promień drutu r [mm]		0,265	0,175
Promień zwoju R [mm]		14	5
Liczba zwojów n		128	159

Korzystając ze związku

obliczyłem moduł sztywności drutu sprężyny G.

Współczynnik sprężystości k			S1	S2
	Pomiar statyczny		4,7865	28,531
	Pomiar dynamiczny		4,893255601	28,68638415

Moduł sztywności G			S1	S2
	Pomiar statyczny		1,36361E+12	2,41842E+12
	Pomiar dynamiczny		1,39402E+12	2,43159E+12

Spis przyrządów:

• Waga elektroniczna: RADWAG WPT/R 06C Max=0,6kg Min=4g d=0,2g e=0,2g T=-0,6kg

• Dwie sprężyny S1 i S2

• Komplet obciążników

• Stoper

• Suwmiarka

• Śruba mikrometryczna

Wnioski:

Na uzyskane wyniki największy wpływ miała dokładność wykonania pomiarów wynikająca ze zdolności rozdzielczych użytych w ćwiczeniu przyrządów pomiarowych. Długość wychylenia sprężyn mierzyliśmy przy pomocy podziałki milimetrowej. A czas w pomiarze dynamicznym przy pomocy stopera. Na błąd pomiaru ma zatem wpływ szybkość reakcji osoby mierzącej czas. Nie jest możliwe bardzo dokładne wyznaczenie współczynnika sprężystości przy pomocy tych metod gdyż bardzo dużą rolę w tym pomiarze ma czynnik ludzki. Długość sprężyny też nie da się dokładnie określić ze względu na już ogromne wyeksploatowanie stanowiska pomiarowego. Gdyż za każdym razem długość nieobciążonej sprężyny ulegała zmianie.

Przy pomocy tych metod dokładne wyznaczenie współczynnika sprężystości oraz modułu sztywności nie jest możliwe.

1

---