Oczekiwana stopa zwrotu

Stopa zwrotu, zwana również stopą zysku, jest podstawową charakterystyką każdej inwestycji, w szczególności każdego instrumentu finansowego. Określa ona dochód przypadający na jednostkę zainwestowanego kapitału. Najłatwiej można obliczyć stopę zwrotu już zrealizowaną, wyznacza się ją ex post.

R_t = [(P_t - P_t-1) + D_t] / P_t-1 (1)

R_t- stopa zwrotu akcji osiągniętych w t-tym okresie

P_t cena akcji w t-tym okresie

D_t- dywidenda wypłacona w t-tym okresie

Inwestor może także zastosować drugą operację przy inwestowaniu w akcje, tz. krótką sprzedaż, polegającą na pożyczeniu akcji, sprzedaniu ich, a następnie odkupieniu tych akcji i oddaniu pożyczającemu.

Inwestor kupuje akcje kiedy ceny akcji zwyżkują, lub stosuje krótką sprzedaż, kiedy spodziewa się zniżki cen akcji.

Krótka sprzedaż nie wszędzie jest dozwolona, należy także pamiętać, że stosujący krótką sprzedaż musi zazwyczaj wpłacić jako zabezpieczenie pewien procent ceny akcji.

Stopa zwrotu przy krótkiej sprzedaży jest następująca:

R_t = [(P_t-1 - P_t) - D_t] / (MP_t-1) (2)

M.- liczba z przedziału (0;1], określająca procentowy depozyt od ceny akcji, wpłacany przez dokonującego krótkiej sprzedaży.

Dla inwestora większe znaczenie ma jednak poznanie przyszłej stopy zwroty, dlatego stopa zwrotu wyznaczana ex post ma mniejsze znaczenie.

Przyszła stopa zwrotu jest nieznana, gdyż z przyszłością wiąże się niepewność.

Syntetyczną miarą, która można zastosować w warunkach niepewności jest oczekiwana stopa zwrotu.

R= ∑_i=1,m. p_iR_i (3)

18. oczekiwana stopa zwrotu

R_i- i-ta możliwa do osiągnięcia wartość stopy zwrotu

p_i- prawdopodobieństwo osiągnięcia możliwej wartość stopy zwrotu

13. liczba możliwych do osiągnięcia wartości stopy zwrotu

Gdy nie ma możliwości uzyskania informacji o rozkładzie stopy zwrotu, do oszacowania oczekiwane stopy zwrotu można wykorzystać dane historyczne, tz. Stopy zwrotu zrealizowane w przeszłości.

R= (∑t_=1,nR_t)/n (4)

18. stopa zwrotu akcji zrealizowana w t-tym okresie,

14. liczba okresów, z których pochodzą dane.

2. Ryzyko w inwestowaniu

Niepewność (ryzyko) występuje wówczas, gdy istnieje więcej niż jeden możliwy wynik naszej decyzji. Im większe jest rozproszenie możliwych wyników, tym większy topień niepewności. Kluczem do podejmowania prawidłowych decyzji w warunkach niepewności jest umiejętności oszacowania wielkości przedziału możliwych wyników i oceny prawdopodobieństwa ich występowania.

Przy analizowaniu ryzyka w inwestowaniu w akcje należy wspomnieć o dwóch aspektach podejmowania decyzji:

• niepewności natury

• stosunku inwestora do ryzyka.

W teorii i praktyce funkcjonują dwa podejścia do ryzyka, rozumianego z punktu widzenia jego efektów. Zwolennicy jednego podejścia określają ryzyka jako możliwość poniesienia szkody lub straty, a więc podkreślają negatywne skutki ryzyka, traktując je jako zagrożenie.

Zwolennicy drugiego podejścia określają ryzyko jako możliwość wystąpienia efektu działania niezgodnego z oczekiwaniami. Jednakże efekt ten może być zarówno gorszy niż oczekiwany (przykra niespodzianka), jak i lepszy niż oczekiwany (przyjemne zaskoczenie). W tej koncepcji ryzyko rozumiane jest z jednej strony jako zagrożenie, z drugiej jako szansa.

Możemy wymienić kilka rodzajów ryzyka związanego z inwestowaniem:

• ryzyko stopy procentowej, wynika z tego że na ryku zmieniają się stopy procentowe (wzrost stopy procentowej powoduje spadek ceny instrumentu),

• ryzyko rynku, wynika z tego, że sytuacja pojedynczego inwestora zależy od ogólnej sytuacji na rynku. Przy rynku byka -hossa stopy zwrotu większości akcji rosną, co jest pozytywne dla inwestora posiadającego akcje, a negatywne dla inwestora, który dokonał krótkiej sprzedaży akcji,

• ryzyko biznesu, zwane ryzykiem operacyjnym, wynika ze zmienności dochodów uzyskiwanych przez emitenta instrumentu finansowego, co ma wpływ na wartość instrumentu i dochodu inwestora, wartość stopy zwrotu, wynika z tego, że spółka do finansowania przedsięwzięć inwestycyjnych częściowo wykorzystuje kapitał obcy, co może rzutować na cenę instrumentu finansowego.

• ryzyko bankructwa,

• ryzyko płynności, co do instrumentów finansowych o niewielkim ryzyku, które stosunkowo trudno sprzedać po spodziewanej cenie,

• ryzyko polityczne,

• ryzyko zamienności i inne.

3. Podstawowe miary ryzyka

3.1. Odchylenie standardowe i wariancja stopy zwrotu

Stosowanie kryterium dochodu przy wyborze akcji (czyli wybór wyższej oczekiwanej stopy zwrotu), nie zawsze daje nam pełen obraz sytuacji. Może pojawić się sytuacja, że oczekiwane stopy zwrotu są sobie równe co nie musi oznaczać, że porównywane akcje są równie atrakcyjne.

Ryzyko akcji można określać za pomocą zróżnicowania możliwych stóp zwrotu. Im większe jest to zróżnicowanie, tym większe jest ryzyko akcji.

Miarą ryzyka akcji, którą można tu zastosować jest wariancja stopy zwrotu akcji.

V= ∑_i=1,m p_i(R_i-R)² (5)

5. wariancja stopy zwrotu,

18. oczekiwana stopa zwrotu.

Wzór ten wskazuje ,że im większe są odchylenia możliwych stóp zwrotu, tym większa jest wariancja. Wariancja przyjmuje tylko wartości nieujemne. Przyjmuje ona wartość zero, gdy możliwe stopy zwrotu są sobie równe, brak jest wtedy niepewności co do przyszłej stopy zwrotu.

Inną miarą, częściej stosowaną , jest odchylenie standardowe stopy zawrotu:

S= V^0,5= (∑_i=1,mpi(R_i-R)²)^0,5 (6)

Odchylenie standardowe, które jest zwykle wyrażone w procentach wskazuje przeciętne odchylenie możliwych stóp zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu. Przyjmuje tylko wartości nieujemne. Im wyższe jest odchylenie standardowe, tym większe jest ryzyko związane z danym instrumentem finansowym. Wartość zerowa oznacza brak ryzyka.

Gdy nie ma możliwości uzyskania informacji na temat rozkładów stóp zwrotu, do oszacowania wariancji i odchylenia standardowego można wykorzystać dane historyczne. Stosuje się następujące wzory:

V= (∑_t=1,n(R_t-R)²)/(n-1) (7)

s= V^0,5 (8)

Oczekiwana stopa zwrotu i ryzyko to dwie podstawowe charakterystyki każdego instrumentu finansowego. Naturalna zasada, którą powinien kierować się każdy inwestor, to zasada maksymalizacji dochodu i minimalizacji ryzyka. Inwestor powinien kupić akcje o największej oczekiwanej stopie zwrotu i najmniejszym ryzyku (np. najmniejsze odchylenie standardowe).

Graficzną analizę dochodu i ryzyka przeprowadza się na wykresie ryzyko-dochód. Na osi odciętych zaznacza się wartość odchyleń standardowych stopy zwrotu, a na osi rzędnych wartości oczekiwanych stóp zwrotu

inwestorzy powinni preferować zakup akcji spółki, która charakteryzuje się najwyższą oczekiwaną stopą zwrotu (dochodem) i najniższym odchyleniem standardowym (ryzykiem). Najczęściej jednak wraz ze wzrostem dochodu rośnie ryzyko.

3.2. Semiwariancjia i semiodchylenie stopy zwrotu.

Semiwariancja i semiochylenie stopy zwrotu są miarami ściśle związanymi z odchyleniem standardowym i wariancją stopy zwrotu. Opierają się one na rozumieniu ryzyka jako zjawiska negatywnego, a w związku z tym uwzględniają jedynie ujemne odchylenia od oczekiwanej stopy zwrotu.

Semiwariancja stopy zwrotu wyznacza się wg wzoru:

SV= ∑_i=1,mp_id_i², (9)

SV- semiwariancja stopy zwrotu

d_i= R_i-R, gdy R_i-R<0

d_i=0, gdy R_i-R≥ 0

Semiodchylenie standardowe stopy zwrotu jest pierwiastkiem kwadratowym z semiwariancji.

ss= SV^0,5= (∑_i=1,mp_id_i²)^0,5 (10)

45. semiodchylenie standardowe stopy zwrotu

Semiwariancja i semiodchylenie stopy zwrotu odpowiadają wariancji i odchyleniu standardowemu przy założeniu, że ryzyko rozumiane jest w kategoriach zagrożenia, co oznacza , iż pod uwagę bierze się tylko wartości ujemne odchyleń od oczekiwanej stopy zwrotu.

3.3. Odchylenie i semiodchylenie przeciętne stopy zwrotu

Przy mierzeniu odchylenia standardowego stopy zwrotu, odchylenia możliwych stóp zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu podnosi się do kwadratu. Powoduje to, iż jednorazowe duże odchylenie podniesione do kwadratu może zawyżyć wielkość ryzyka. Wady tej pozbawione jest odchylenie przeciętne stopy zwrotu.

D=∑_i=1,mp_iR_i-R, (11)

4. odchylenie przeciętne stopy zwrotu.

Odchylenie przeciętne wskazuje, o ile średnio odchylają się stopy zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu. Przyjmuje tylko wartości nieujemne, a w sytuacji braku niepewności (braku ryzyka) wartość zero.

Jeśli ryzyko rozumiane jest w kategoriach negatywnych (zagrożenie), to odpowiednikiem przeciętnej stopy zwrotu jest semiodchylenie przeciętne stopy zwrotu, określane wzorem:

sd=∑_i=1,mp_id_i, (12)

Tak jak przy semiodchyleniu standardowym można zastąpić oczekiwane stopy zwrotu stopą określoną przez inwestora.

3.4. Poziom bezpieczeństwa i prawdopodobieństwo nieosiągnięcia poziomu aspiracji

Poziom bezpieczeństwa jest miarą wynikającą z koncepcji ryzyka rozumianego jako zagrożenie. Nazywany jest także poziomem ufności:

P(R<R_b)=α (13)

Poziom bezpieczeństwa to taka stopa zwrotu, że osiągnięcie niżej od niej wartości jest mało prawdopodobne. Jest to zatem bezpieczna stopa zwrotu, gdyż zostanie najprawdopodobniej osiągnięta lub przekroczona. Ryzyko jest tym mniejsze, im większa jest wartość poziomu bezpieczeństwa- oznacza to, że wyższa jest stopa zwrotu, która zostanie osiągnięta lub przekroczona.

Prawdopodobieństwo nieosiągnięcia poziomu aspiracji, jest jedyną miarą ryzyka, która wyraża się liczbą będącą prawdopodobieństwem.

P_a=P(R<R_a), (14)

P_a- prawdopodobieństwo nieosiągnięcia poziomu aspiracji,

Ra- stopa zwrotu, określająca poziom aspiracji, ustalona przez inwestora

R- stopa zwrotu.

Ryzyko określane jest jako prawdopodobieństwo zdarzenia, że stopa zwrotu będzie niższa niż określona przez inwestora, odzwierciedlająca jego poziom aspiracji. Im wyższe jest prawdopodobieństwo Pa tym wyższe jest ryzyko.

Podstawowa różnica między prawdopodobieństwo nieosiągnięcia poziomu aspiracji a poziomem bezpieczeństwa jest taka, że przy poziomie bezpieczeństwa ustala się prawdopodobieństwo (bliskie zera) nieosiągnięcia lub przekroczenia tej stopy zwrotu i dąży się do jak największej wartości stopy zwrotu, natomiast przy poziomie aspiracji ustala się stopę zwrotu będącą poziomem aspiracji i dąży się do jak najmniejszej wartości prawdopodobieństwa nieosiągnięcia lub nieprzekroczenia tej stopy. Najczęściej jest tak, że poziom bezpieczeństwa jest niższy od poziomu aspiracji

3.5. Współczynnik zmienności stopy zwrotu

Jest to miara ryzyka względnego, pozwalająca na określenie wielkości ponoszonego ryzyka w stosunku do osiągniętego dochodu.

Współczynnik zmienności stopy zwrotu określa się wzorem:

CV= s/R (15)

105. współczynnik zmienności stopy zwrotu,

18. oczekiwana stopa zwrotu,

19. odchylenie standardowe stopy zwrotu.

Współczynnik zmienności interpretuje się jako wielkość ryzyka przypadającego na jednostkę stopy zwrotu. Inwestor będzie dążyć do zakupu akcji o niskim współczynniku zmienności.

Podejście oparte na współczynniku zmienności może być stosowane wtedy, gdy rozważane akcje mają zbliżone wartości oczekiwanej stopy zwrotu i odchylenia standardowe. Inaczej może dojść do niewłaściwej decyzji.

4. Przykład 1

Pewien inwestor posiada kapitał na zakup akcji. Zleca on firmie doradczej, by oceniła, który pakiet akcji będzie dla niego mniej ryzykowny. Firma analityczna dysponuje informacjami dotyczącymi przewidywanych stop zwrotu akcji na rynku kapitałowym.

Prawdopodobieństwo	Stopa zwrotu z akcji
	A	B
0,6	10%	9%
0,3	3%	6%
0,1	1%	-1%

Firma doradcza dokonała następujących obliczeń:

1. Oczekiwana stopa zwrotu akcji:

a) wg wzoru (3) R= ∑_i=1,m. p_iR_i

Ra= (0,6*0,1) + (0,3*0,03)+ (0,1*0,01)= 0,07 (7%)

Rb= (0,6*0,09)+(0,3*0,06)+(0,1*-0,01)= 0,071 (7,1%)

2. Wariancja i odchylenie standardowe stopy zwrotu:

-wg wzoru (5) V= ∑_i=1,m p_i(R_i-R)²

-wg wzoru (6) S= V^0,5

Va= 0,00138 Vb=0,000909

Sa= 10,19% Sb= 45,37%

Powyższe dane pozwalają stwierdzić, że akcje A są mniej ryzykowne i dlatego inwestor nie powinien inwestować w akcje B ( gdyż mają wyższe odchylenie standardowe, a więc są bardziej ryzykowne).

5. Przykład 2

Analiza sytuacji danych dwóch spółek ma dać nam odpowiedź, które są bardziej atrakcyjne dla potencjalnego inwestora.

Możliwy stan	Prawdopodobieństwo	Stopa zwrotu
		A	B
1	0,15	25%	10%
2	0,2	15%	8%
3	0,4	6%	6%
4	0,2	2%	3%
5	0,05	-6%	0%

Tablica obliczeniowa dzięki której jesteśmy w stanie określić które akcje sa korzystniejsze

	pi*Ri		Ri-R		(Ri-R)^2		Pi*(Ri-R)^2		di		pi*di		pi* IRi*RI
	A	B	A	B	A	B	A	B	A	B	A	B	A	B
1	0,0375	0,015	0,1575	0,039	0,248	0,001521	0,0372	0,00023	0	0	0	0	0,02363	0,0059
2	0,03	0,016	0,0575	0,019	0,0033	0,000361	0,0007	0,000072	0	0	0	0	0,0115	0,0038
3	0,024	0,024	-0,0325	-0	0,0011	0,000001	0,0004	0,0000004	0,0011	0,000001	0,00042	0,0000004	0,013	0,0004
4	0,004	0,006	-0,0725	-0,03	0,0052	0,000961	0,001	0,0001922	0,0052	0,000961	0,00104	0,0001922	0,0145	0,0062
5	-0,003	0	-0,1525	-0,06	0,0233	0,003721	0,0012	0,00018605	0,0233	0,02326	0,00116	0,0001861	0,00763	0,0031
	0,0925	0,061	x	x	x	x	0,0405	0,00068085	x	x	0,00256	0,0003787	0,07025	0,0193

1. Oczekiwane stopy zwrotu są następujące:

Ra= 9,25%, Rb= 6,1%

2. Wariancje jak i odchylenia standardowe pokazują, że akcje B są mniej ryzykowne:

Sa= 20,12%, Sb= 2,6%

Przy danych informacjach wyjściowych należy stwierdzić, że akcje typu B mimo, że dają niższą stopę zwrotu, to są mniej ryzykowne i z punktu widzenia ryzyka są bardziej atrakcyjne.

6. Przykład 3

1. Na podstawie danych z przykładu drugiego, należy za pomocą odchylenia przeciętnego stopu zwrotu potwierdzić większe ryzyko akcji A nad akcjami typu B.

1. Inwestor chce także znać zagrożenie płynące z ewentualnych decyzji inwestowania w niepewne inwestycje. Interesuje go więc poziom ryzyka oceniany w kategoriach zagrożenia, a więc miary negatywnej oceny decyzyjnej jakimi są: semiwariancja i semiodchylenie.

Ad1.

Da= 7,025% , Db= 1,93%

Wyniki te potwierdzają jednoznacznie, ż akcja typu B są mniej ryzykowne.

Ad2.

SVa= 0,002563, SVb= 0,000378

SSa= 5,06%, SSb= 1,395%

Wyniki te potwierdzają wszystkie dokonane wcześniej obliczenia. Akcje typu A są bardziej ryzykowne, charakteryzują się więc większym zagrożeniem

Spis treści

1. Oczekiwana stopa zwrotu 2

2. Ryzyko w inwestowaniu 4

3. Podstawowe miary ryzyka 5

1. Odchylenie standardowe i wariancja

stopy zwrotu 5

2. Semiwariancje i semiodchylenie 7

2. Odchylenie przeciętne i semiodchylenie

stopy zwrotu 7

4. Poziom bezpieczeństwa i prawdopodobieństwo

nieosiągnięcia poziomu aspiracji 9

5. Współczynnik zmienności stopy zwrotu 10

4. Przykład 1 12

4. Przykład 2 13

5. Przykład 3 15

BIBLIOGRAFIA

1. Jajuga K, Jajuga T, Inwestycje instrumenty finansowe ryzyko finansowe inżynieria finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1996.

2. Samuelsom W.F., Marks S.G., Ekonomia menedżerska, Polskie Wydawnictwa Ekonomiczne, Warszawa, 1998.

12

---