k- elementowa kombinacja zbioru złożonego z n elementów:

k-wyrazowa wariacja zbioru z powtórzeniami- k elementowy ciąg o wyrazach z n-elementowego zbioru:

k-wyrazowa wariacja zbioru bez powtórzeń- k elementowy ciąg o różnych wyrazach z n-elementowego zbioru:

Zad.1

Zmienna losowa x ma dystrybuantę:

1. obliczyć EX

2. obliczyć Var X

Rozw:

P(X=a)=F(a⁺)-F(a)

Rozkład x:

xi	-1	2	4
p(xi)	0,3	0,1	0,6

Zad.2

Zmienna losowa x ma dystrybuantę:

1. obliczyć P(X= -1)

2. obliczyć P(-1<x
   -0,5)

Rozw:

a) P(x= -1)=1/2

b)

Zad.3.

Wiadomo, że 53% elementów ma cechę A, a reszta cechę B. Wiadomo też, że 9% elementów mających cechę A i 12% elementów mających cechę B ma również cechę X. Jeśli wiadomo, że wylosowany element nie ma cechy X, to jakie jest p-stwo, że ma cechę A.

Rozw:

1. element ma cechę A

2. element ma cechę B

P(A)=0,53

P(B)=0,47

P(X'/A)=1-P(X/A)=1-0,09=0,91

P(X'/B)=1-P(X/B)=1-0,12=0,88

Zad.4.

Dobrać stałą C tak, aby funkcja

Była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej.

Rozw.:

Zad.5.

Ziarna groszku ogrodowego są żółte albo zielone. W pewnej krzyżówce odmian groszku stosunek liczby roślin z żółtymi ziarnami do liczby roślin z zielonymi ziarnami jest jak 3:1. Losujemy cztery rośliny z tej populacji. Jakie jest p-stwo, że: a)trzy rośliny będą miały zielone ziarna, b) wszystkie cztery będą miały ziarna tego samego koloru

Rozw.:

P- p-stwo, że wylosowany groszek jest żółty,

X- liczba żółtych

Zad.6.

Czas potrzebny do przeprowadzenia pewnego testu krwi ma rozkład jednostajny na przedziale (50,75)s. Jaki procent testów: a) trwa dłużej niż 70s?, b)kończy się przed upływem minuty?

Rozw.:

x-czas potrzebny do…

X~U(50,75)

X~U(a,b)

a)

b)

Zad.7.

Urządzenie składa się z 20 niezależnie działających jednakowych elementów. Czas życia jednego elementu (mierzony w godzinach) ma rozkład wykładniczy z parametrem
. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po 1500 godzinach działa co najmniej jeden element?

Rozw.:

X_i - czas życia elementu i-tego X_i~E(
)

Zad.8.

Długość produkowanych detali ma rozkład N(0.9,0.003). Norma przewiduje wyroby o wymiarach
. Jaki procent produkowanych detali nie spełnia wymogów normy?

Rozw.:

X-dł. detali

X~N(0.9,0.003)

---